Math Pro 數學補給站

標題: 107中科實中國中部 [打印本頁]

作者: jim1130lc 時間: 2018-4-21 21:20 標題: 107中科實中國中部

參考附件

附件: 107中科實中.pdf (2018-4-21 21:20, 427.02 KB) / 該附件被下載次數 11969
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4366&k=f666bd6f4760aa381abbadecca45466f&t=1732234186

附件: 107中科實中數學解答.pdf (2018-4-21 21:20, 188.28 KB) / 該附件被下載次數 11059
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4367&k=6e5d93bba10578be89ae78397d18ceb5&t=1732234186

作者: laylay 時間: 2018-4-22 07:07 標題: 填充

4.
\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)為方程式\(x^4+x^3+1=0\)的四個根，試求\(\left|\ \matrix{\alpha&1&1&1\cr 1&\beta&1&1\cr 1&1&\gamma&1\cr 1&1&1&\delta} \right|=\)　　　。
[解答]
所求=abcd-(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+2(a+b+c+d)-3 (直接觀察 abcd 的係數 = 1 ,abc 的係數 = 0 ,ab 的係數 = 1 0 = -1
         = 1 -    0    +2 (    -1    ) -3 = -4                   a 的係數 = 0 1 1= 2       常數項=0111 =3111=3 1 1 1=3(-1)=-3
                                                                                                      1 0 1                         1011 3011 0-1 0 0
                                                                                                      1 1 0                         1101 3101 0 0-1 0
                                                                                                                                          1110 3110 0 0 0-1
                                                                                       推廣 :  係數 = 1, 0 ,-1, 2 ,-3, 4 ,-5, 6 .........

5.
化簡\(\root 3\of{40+11\sqrt{13}}+\root 3\of{40-\sqrt{13}}=\)　　　。
[解答]
令所求  x =a+b ,  由 a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)  得 80=x^3-9x => (x-5)(x^2+5x+16)=0
   故所求實數 x = 5

11.
\(a,b,c\in R\)，\(a+b+c=0\)，\(abc=100\)，若\(a\)、\(b\)、\(c\)三數中最大的數為\(a\)，試求\(a\)的最小值為　　　。
[解答]
a 為最大值 => a>0  ,  b+c=-a , bc=100/a => (b-c)^2= (b+c)^2-4bc=(a^3-400)/a>=0 => a>=20^(2/3) 為所求
   此時 b=c<0<a 符合 a 為最大值的條件

12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\)，求此正方形之面積為　　　。
[解答]
令 AB^2=BC^2=x 則 cos(PBC)^2+cos(PBA)^2=1 =>
      ( x+3^2-5^2)^2+(x+3^2-7^2) ^2=2^2*3^2*x  =>  (x-58)(x-16)=0 , 所求=x=58 (16不合)
另法 : 以B為軸心將ABP旋轉90度至CBQ 則PQ=3ㄏ2,角BPQ=45度 COS(QPC)=(18+25-49)/(2*3ㄏ2*5)=-1/(5ㄏ2)
         SIN(QPC)=7/(5ㄏ2) ,
         所求=BC^2=9+25-2*3*5*COS(BPC)=34-30(CC-SS)=34-30 [ (1/ㄏ2)*(-1/(5ㄏ2))-(1/ㄏ2)*(7/(5ㄏ2)) ] = 58

16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值，例如：\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\)，已知\(x\)滿足\(\displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546\)，試求：\([100x]=\)　　　。
[解答]
  共有 73 個 [ ] , 546/73=7....35 故後面35 個 [ ] 都是 8 即 [x+0.56]=7  ,  [x+0.57]=8 =>x=7.43....=> [100x]=743

作者: empty 時間: 2018-4-22 08:15 標題: 計算1.填充10

計算1
角APC=角EPF=135度
設AF為x
tanAEB=2+x/2
tan(FCB)=tan(AEB-45)=2/3
解得x=6
矩形面積=6*10=60

填充10
過A點作L2垂線交L1於D點，L3於E點
設AB=x=AC
xCosDAB=2
xCosEAC=6=xSinDAB

CosDAB^2+SinDAB^2=1
得x^2=40
三角形ABC面積=20

[ 本帖最後由 empty 於 2018-4-22 08:30 編輯 ]

作者: exin0955 時間: 2018-4-22 15:38

想請益填充2 為什麼不用考慮負的因數呢
我的想法是先移項xy=520(x+y)再整理成(x-520)(y-520)=520*520=2^6 * 5^2 * 13^2
故正因數有(6+1)(2+1)(2+1)=63
考試當下我覺得除了x=0 y=0以外還有負的因數所以我又乘以2了QQ

作者: thepiano 時間: 2018-4-22 15:46 標題: 回復 4# exin0955 的帖子

題目有說 x 和 y 是正整數

作者: exin0955 時間: 2018-4-22 15:54 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師我大概理解了一個可以是正的但另一個就會比0還小
ex x=260 y= - 520就會是 (- 260)*( - 1040) 哈哈想太多了＝＝

作者: jim1130lc 時間: 2018-4-22 16:25 標題: 回復 4# exin0955 的帖子

考試當下我也在考慮負的因數，好在舉了例子有發現不合

作者: z78569 時間: 2018-4-22 17:37

我忘記報名了>< 但是還是來分享一下做法

[ 本帖最後由 z78569 於 2018-4-22 17:39 編輯 ]

圖片附件: 31166864_1968969849842704_3669550264483840000_n.jpg (2018-4-22 17:39, 446.58 KB) / 該附件被下載次數 6968
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4370&k=cc4d0802147083e62e6f14015d74a5b8&t=1732234186

作者: peter0210 時間: 2018-4-22 19:22

填充9

圖片附件: IMAG0800.jpg (2018-4-22 19:22, 220.17 KB) / 該附件被下載次數 6832
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4371&k=3babd1657461e177478d7ee2d91e5f1b&t=1732234186

作者: bugmens 時間: 2018-4-22 19:42

填充題
3.
空間中有20個相異的平面，最多可以將空間分割成　　　個區域。
[解答]
\(C_0^{20}+C_1^{20}+C_2^{20}+C_3^{20}\)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid4597

7.
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為　　　。
[解答]
100楊梅高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118

9.
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=10\)，\(M\)為\(\overline{AB}\)中點，\(\Delta ABC\)內切圓恰將線段\(\overline{CM}\)三等份，試求\(\Delta ABC\)面積=　　　。
106新竹高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2727&page=1#pid16747

10.
已知\(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\)為三平行直線，且\( ∠BAC=90^{\circ} \)。若\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，且\(L_1\)與\(L_2\)的距離為2、\(L_2\)與\(L_3\)的距離為6，試問：\(\Delta ABC\)的面積=　　　。

相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6230

12.
正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\(\overline{PA}=7\)、\(\overline{PB}=3\)、\(\overline{PC}=5\)，求此正方形之面積為　　　。
[提示]
建中通訊解題第17期

14.
已知\(p\)為質數，且\(p^3+2p^2+p\)恰有42個正因數，試求：所有符合\(p\)值之最小值為　　　。
[解答]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1122&page=2#pid10125

16.
\([x]\)表示不超過\(x\)的最大整數值，例如：\([2.8]=2\)、\([-2.8]=-3\)，已知\(x\)滿足
\( \displaystyle [x+\frac{19}{100}]+[x+\frac{20}{100}]+\ldots+[x+\frac{91}{100}]=546 \)，試求：\([100x]=\)　　　。
1991AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_6

計算題
1.
如圖，點\(E\)、\(F\)分別在矩形\(ABCD\)的邊\(\overline{BC}\)、\(\overline{AB}\)上，已知\(\overline{BF}=4\)，\(\overline{BE}=2\)，\(\overline{CE}=4\)，\(\overline{AE}\)與\(\overline{CF}\)交於點\(P\)，且\(∠APC =∠AEB +∠CFB\)，則矩形\(ABCD\)的面積為何？
[提示]
建中通訊解題第91期

作者: z78569 時間: 2018-4-22 20:53 標題: 回復 10# bugmens 的帖子

感謝老師的分享! 同樣的題目一起準備起來會比較有感覺!

作者: cut6997 時間: 2018-4-23 16:54

關於第6題
小弟資質駑鈍
採用的算法是取兩次三點共面與直線交點
得到P.Q座標後算距離
可是算起來十分費時
想請教各位先進正確做法為何

[ 本帖最後由 cut6997 於 2018-4-23 17:30 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2018-4-23 19:10 標題: 回復 12# cut6997 的帖子

第 6 題
\(\begin{align}
& P\left( t,2t,4-t \right),Q\left( 3-6s,-1+6s,2-3s \right),R\left( -13,36,-9 \right) \\
& \frac{t+13}{3-6s+13}=\frac{2t-36}{-1+6s-36}=\frac{4-t+9}{2-3s+9} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s} \\
& \frac{2t-36}{6s-37}=\frac{13-t}{11-3s}=\frac{2t-36+2\left( 13-t \right)}{6s-37+2\left( 11-3s \right)}=\frac{2}{3} \\
& \frac{t+13}{16-6s}=\frac{2t-36}{6s-37}=\frac{t+13+2t-36}{16-6s+6s-37}=\frac{3t-23}{-21}=\frac{2}{3} \\
& t=3,s=-\frac{4}{3} \\
& P\left( 3,6,1 \right),Q\left( 11,-9,6 \right) \\
& \overline{PQ}=\sqrt{314} \\
\end{align}\)

作者: jim1130lc 時間: 2018-4-23 21:28

想請問填充1
我從答案看出z1z2直線為圓的切線，因此最小值顯而易見
但若z1z2不是切線呢？
是否有任意兩點求距離和最小值的方法？

作者: cut6997 時間: 2018-4-23 22:15 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師
當初也有想過直接用向量成比例做
可是寫出來看到有兩個變數相乘的st項就沒繼續往下做了

作者: laylay 時間: 2018-4-25 09:45 標題: 15.

所求相當於x^2+(y-3)^2<=9 即 x^2+y^2-6y<=0 與 x^2+y^2<=1,兩交集圖形繞y軸繞出來的體積,其中兩圓周有一交點是(x1,1/6)
故所求=積分( (6y-y^2)*PI*dy ,y=0..1/6) + 積分( (1-y^2)*PI*dy ,y=1/6..1)=7PI/12

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-25 09:46 編輯 ]

作者: koeagle 時間: 2018-4-26 03:15

想請問各位老師計算第2題的做法，謝謝。

作者: laylay 時間: 2018-4-26 11:27 標題: 回復 17# koeagle 的帖子

設大球球心\(O\),三小球球心\(A,B,C\)，\( \Delta ABC\)的重心\(G\)，射線\(OA\)上的大小兩球切點\(D\)，\(\overline{OG}=10\),\( \displaystyle \overline{AG}=10 \frac{2}{\sqrt{3}} \)
則所求\(=\overline{OD}=\overline{OA}+\overline{AD}=\sqrt{\overline{OG}^2+\overline{GA}^2}+10=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)

107.6.17新增

圖片附件: 三球和大球相切laylay.gif (2018-6-17 22:24, 34.04 KB) / 該附件被下載次數 5658
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4591&k=f3e0af20a019cfa046115b5710c2d511&t=1732234186

附件: 三球和大球相切SketchUp檔.zip (2018-6-17 22:25, 85.07 KB) / 該附件被下載次數 7560
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4592&k=bd299c0223c093b07f5c18839b509851&t=1732234186

作者: thepiano 時間: 2018-4-26 11:32 標題: 回復 17# koeagle 的帖子

計算第 2 題
設三球與碗面 ( 即題目中的水平面 ) 的切點分別是 A、B、C
半球的球心 O，半徑 R
則 △ABC 是邊長 20 的正三角形，\(\displaystyle \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 20\times \frac{2}{3}=\frac{20}{3}\sqrt{3}\)
\(\displaystyle R=10+\sqrt{10^2+\left(10 \frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}=10(1+\sqrt{\frac{7}{3}})\)

107.6.17新增

圖片附件: 三球和大球相切thepiano.gif (2018-6-17 22:21, 35.71 KB) / 該附件被下載次數 5692
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4589&k=78c1c315b592fd99c7ddea3fd24a404f&t=1732234186

附件: 三球和大球相切SketchUp檔.zip (2018-6-17 22:26, 85.47 KB) / 該附件被下載次數 7398
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4590&k=bbfba537d5aaae405cb1738393bc83e0&t=1732234186

作者: koeagle 時間: 2018-4-26 16:33 標題: 回復 18# laylay 的帖子

謝謝老師的解答！
也謝謝thepiano老師的解答！

作者: Ling 時間: 2018-4-26 16:49

請教填充第1題謝謝~

作者: thepiano 時間: 2018-4-26 19:30 標題: 回復 21# Ling 的帖子

填充第 1 題
z_1 在高斯平面是點：A(-3，- √3)
z_2 在高斯平面是點：B(√3，1)
z 在高斯平面是圓：x^2 + (y - 2)^2 = 3
所求即圓上一點到 A 和 B 之距離和最小值
由於直線 AB 和圓相切，故所求為線段 AB 長

作者: martinofncku 時間: 2020-4-29 17:03 標題: 請問

請問 2# 5. 中所求出的其中一解16 為什麼不合？

作者: thepiano 時間: 2020-4-29 21:16 標題: 回復 23# martinofncku 的帖子

您的 16 這答案是怎麼算出來的？

作者: martinofncku 時間: 2020-4-30 01:50 標題: 回復 24# thepiano 的帖子

如 2# 中 laylay 所列第一個方法, 求出的其中一解16

作者: thepiano 時間: 2020-4-30 15:12

引用:

原帖由 martinofncku 於 2020-4-30 01:50 發表
如 2# 中 laylay 所列第一個方法, 求出的其中一解16

laylay 老師的方法，只會得到 5 這個答案，您要不要寫一下您的算式?

作者: martinofncku 時間: 2020-4-30 18:15 標題: 回復 26# thepiano 的帖子

老師，真地很對不起，我發文沒檢查，是第 12 題，真地很抱歉...............

作者: thepiano 時間: 2020-4-30 18:42 標題: 回復 27# martinofncku 的帖子

第 12 題
這樣的話，PB + AB = PA，P 點會在正方形外，與題意不合

作者: youngchi 時間: 2022-5-11 18:09

引用:

原帖由 laylay 於 2018-4-26 11:27 發表
設大球球心\(O\),三小球球心\(A,B,C\)，\( \Delta ABC\)的重心\(G\)，射線\(OA\)上的大小兩球切點\(D\)，\(\overline{OG}=10\),\( \displaystyle \overline{AG}=10 \frac{2}{\sqrt{3}} \)
則所求\(=\overline{OD}=\overlin ...

您好
請問如何確定O ,A ,D 三點共線?
謝謝!!

作者: tsusy 時間: 2022-5-12 10:37 標題: 回復 29# youngchi 的帖子

計算 2 . 承 18# 的記號
大球和小球相切，在切點 D 點，有相同的的切平面
小球心 O, A和切點 D 相連，均垂直切面，故 OAD 共線

※小建議引用回覆時，可先點右下回復，複製標題。再使用引用，將複製的標題貼入標題
也可以在內文，重打一下題號，這樣大家閱讀時，會方便很多

作者: youngchi 時間: 2022-5-12 14:29 標題: 回覆 30# tsusy 的帖子

感謝 tsusy老師的解釋
Thanks a million.

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0