Board logo

標題: 107新竹高中(記憶版) [打印本頁]

作者: tommy10127    時間: 2018-4-15 12:33     標題: 107新竹高中(記憶版)

新竹高中這幾年都沒有公開題目,我想今年也不例外
(感謝大家的回覆,22F的czk0622老師已幫大家整理成PDF檔)
底下內容為大家回憶集結而成,還請幫忙檢查

第一部分:
01. 設\( A=\{a,b,c,d\} \),\( B=\{1,2,3\} \),\( f:A→B \),使\( f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=8 \)有幾種?

02.實係數四次方程式\(x^{4}-8x^{3}+24x^{2}+ax+b=0\)為兩實根兩虛根,兩實根和為4,兩虛根積為5,求\((a,b)\)

03.A,B為相異四位數的正整數,\(logA\)的尾數為\(logB\)的3倍,若A的最大值為m,此時B的最大值為n,求\((m,n)\)

04.某老師一天可能有3到5堂數學課(一天有8堂),然後不能有連3而且第4第5節不能同時排,問一天有多少種排數學課方式(不考慮不同班級)

05.有兩條直線\(L1:y=2x−106,L2:y=3x−107\),平面座標上有一點\(P(4,5)\) 對\(L_{1}\)的對稱點為Q,Q對\(L_{2}\)的對稱點為R,\(L_{1},L_{2}\)的交點為K,則\(tan\angle PKR\) 為?

06. \(x,y\in R\),\(−2\leq y\leq\sqrt{25−x^{2}} \),\(x+2y\)的最大值為M、最小值為m,數對\((M,m)\) 為?

07. \(a,b,c \in\mathbb{R}\),若\(a^2+b^2+c^2=10,d^2\leq 4\),則\(\left |\begin{array}{ccc}
a&b&c\\1&d&4\\2&-1&4\end{array}\right| \)

08. \(\displaystyle\omega =cos\frac{2\pi}{7}+i sin\frac{2\pi}{7}\),求\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+\dots+|2-\omega^6|^2\)

09.\(\displaystyle a_{n}=(1-(\frac{n-1}{n})^{4})+(1-(\frac{n-2}{n})^{4})+(1-(\frac{n-3}{n})^{4})+\cdots+(1-(\frac{n-2n}{n})^{4})\),求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}\)

10.\(\displaystyle L:\frac{x+6}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-1}{6}\)上的一點\(A(-6,-4,1)\),\(E:19x-4y+8z=8\),L與E交於一點B,在平面上有一點C,使得\(\overline{AB}=\overline{AC}\),則當三角形ABC面積最大時,C點座標為?

第二部分
01. \(f(x)\)為3次實係數多項式,\(f(x)\)在\(x=1\)以及\(x=5\)時有極值,且\(f(x)\)在\((3,f(3))\)的切線方程式為\(y=4x-12+f(3)\),求\(\displaystyle \int_{0}^{2}f'(x)dx\)

02. \(\displaystyle a_1=\frac{4}{3} \),\((4^n -1)a_n =3\) x \(4^{n-1} S_n \)
      (1) 求\( S_n \)

      (2)\(\displaystyle b_{n}=\frac{n}{3a_n} \), \(T_{n}\)為<\(b_{n}\)>之和,求\(\displaystyle \lim_{n→\infty}T_{n}= \)

03. (1)\(x^2+y^2=2 \) 與 \(y=1 \) 圍成的弓形繞 \(x\) 軸旋轉的旋轉體體積。

      (2)\(x^2+y^2=2 \) 與 \( \displaystyle x+y= \sqrt{2} \) 圍成的弓形繞  \( \displaystyle x+y= \sqrt{2} \) 旋轉的體體積。

04.設\(X\)~\(B(n,p)\),求\( \displaystyle E(\frac{1}{X+1})\)

05.用4種顏色塗九宮格,顏色可重複使用,相鄰不同色,每區只能塗一色,有幾種塗法?

[ 本帖最後由 tommy10127 於 2018-4-15 23:00 編輯 ]

附件: 107新竹高中_記憶版(感謝czk0622老師).pdf (2018-4-15 22:47, 303.07 KB) / 該附件被下載次數 747
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4357&k=5fd196449a5e9f97481c652fb8f79265&t=1537297765
作者: violent519    時間: 2018-4-15 13:13

第二部分
03. (1) \(x^2+y^2=2 \) 與 \(y=1 \) 圍成的弓形繞 \(x\) 軸旋轉的旋轉體體積。
      (2) \(x^2+y^2=2 \) 與 \( \displaystyle x+y= \sqrt{2} \) 圍成的弓形繞  \( \displaystyle x+y= \sqrt{2} \) 旋轉的旋轉體體積。
作者: czk0622    時間: 2018-4-15 13:54

印象中大概是這樣子

圖片附件: 未命名.png (2018-4-15 13:54, 5.71 KB) / 該附件被下載次數 111
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4347&k=8bd21dae47cddcd9916c32b6e4e019ba&t=1537297765


作者: z78569    時間: 2018-4-15 14:50

正努力回想中 印象中有這四題

[ 本帖最後由 z78569 於 2018-4-15 16:43 編輯 ]

圖片附件: 30739774_1959682627438093_1158062443021205504_n.jpg (2018-4-15 14:50, 704.36 KB) / 該附件被下載次數 113
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4348&k=a4d4850b9868cc0a693232f25727f09b&t=1537297765



圖片附件: 30705665_1959696330770056_5487173002447552512_n.jpg (2018-4-15 15:05, 139.55 KB) / 該附件被下載次數 100
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4349&k=1094969fb0c9ec99fe5b7bcc584fc4ad&t=1537297765



圖片附件: 30704825_1959777247428631_1528243251901890560_n.jpg (2018-4-15 16:42, 652.69 KB) / 該附件被下載次數 153
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4353&k=ecb4702efc572e086a9ed22f724c4adb&t=1537297765


作者: Christina    時間: 2018-4-15 14:57     標題: 回復 3# czk0622 的帖子

請教答案是9612嗎^_^
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-15 15:51

1. \(a,b,c \in\mathbb{R}\),若\(a^2+b^2+c^2=10,d^2\leq 4\),則\(\left |\begin{array}{ccc}
a&b&c\\1&d&2\\2&1&3\end{array}\right| \)的最大值為?

第三列忘記對不對了,只記得第一列跟第二列的1,d

2.\(x,y\in\mathbb{R},-2\leq y\leq\sqrt{25-x^2}\),\(x+2y\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\),數對\((M,m)\)為?

3.有兩條直線\(L_1:y=2x-106\)、\(L_2:y=3x-107\),平面座標上有一點\(P(4,5)\)對\(L_1\)的對稱點為\(Q\),\(Q\)對\(L_2\)的對稱點為\(R\),\(L_1,L_2\)的交點為\(K\),則\(\tan PKR\)為?

4.一題極限,忘記函數是什麼了

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-15 16:17 編輯 ]
作者: royan0837    時間: 2018-4-15 16:14

這是我記得的部分(有些剛好與前面分享的互補)

想問:填充3、4、7、計算3、4、5

圖片附件: 107789.jpg (2018-4-15 16:14, 139.92 KB) / 該附件被下載次數 115
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4351&k=95b561ea7acedd4e962a3f03916ed5ce&t=1537297765


作者: thepiano    時間: 2018-4-15 16:15     標題: 回復 5# Christina 的帖子

9612 正確
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-15 16:15     標題: 回復 4# z78569 的帖子

第三張圖片,是不是有平方啊?

\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+\dots+|2-\omega^6|^2\)
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-15 16:31     標題: 回復 7# royan0837 的帖子

填充3

設\(\log A=3+3n,\log B=3+n\),\(3\log B-\log A=6\rightarrow\frac{B^3}{A}=10^6\rightarrow(\frac{B}{10^2})^3=A\)

B為四位正整數,所以可以知道B為100的倍數,\((\frac{B}{10^2})^3\)最大值要接近9999

\(A=21^3=9261\)最接近,則\(\frac{B}{10^2}=21\rightarrow B=2100\)

填充7,我是看成三向量所展開的平行六面體最大值,那就是互相垂直,直接長度相乘,不確定對不對...XD

ps. 這邊不能直接用\implies的指令嗎?

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-19 08:44 編輯 ]
作者: z78569    時間: 2018-4-15 16:36     標題: 回復 9# zidanesquall 的帖子

沒錯 有平方  感謝老師 不好意思我改一下><

[ 本帖最後由 z78569 於 2018-4-15 16:43 編輯 ]
作者: z78569    時間: 2018-4-15 16:46     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

想請問 piano老師  九宮格塗色可以怎麼算
我想仿造2*n的塗色問題來造遞迴,但是沒甚麼辦法
作者: czk0622    時間: 2018-4-15 16:47     標題: 回復 10# zidanesquall 的帖子

填充7應該是 \((1,d,3)\times (2,-1,4) \) 的最大值乘上 \(\sqrt{10}\)
作者: thepiano    時間: 2018-4-15 17:09     標題: 回復 12# z78569 的帖子

討論跟中間那格相鄰的那 4 格
(1) 四同:小計 972 種
(2) 三同一異:小計 3456 種
(3) 二同二同:小計 2112 種
(4) 二同二異:小計 3072 種
總計 9612 種
作者: thepiano    時間: 2018-4-15 17:19

填充第 4 題
排課問題
一天 3 堂:小計 46 種
一天 4 堂:小計 39 種
一天 5 堂:小計 12 種
總計 97 種
作者: z78569    時間: 2018-4-15 17:50     標題: 回復 14# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師!
作者: mojary    時間: 2018-4-15 17:52     標題: 填充2、填充3

容小弟我做點補充—填充題2、3

圖片附件: 螢幕快照 2018-04-15 下午5.51.47.png (2018-4-15 17:52, 132.83 KB) / 該附件被下載次數 72
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4354&k=a9601383615eb7455cbd8eee89b206d6&t=1537297765


作者: z78569    時間: 2018-4-15 18:19

不好意思 想再詢問填充五,小弟在考場計算的時候是想到用鏡射矩陣然後暴力把p,r都求出來但是數字很醜,想請問有沒有其他做法!
作者: CyberCat    時間: 2018-4-15 18:46     標題: 回復 18# z78569 的帖子

兩直線夾角正切值,再取二倍角正切值,試看看
作者: z78569    時間: 2018-4-15 19:25     標題: 回復 19# CyberCat 的帖子

謝謝CyberCat老師的題點 ,我畫圖畫好久才找到兩直線夾角的兩倍角正切值即為所求,希望考試的時候可以那麼快一點看出來><
作者: laylay    時間: 2018-4-15 19:26

05.用4種顏色塗九宮格,顏色可重複使用,相鄰不同色,每區只能塗一色,有幾種塗法?

D C E            A  B     C D E   C D E  *
B A B   :        4 * 3 * (1*3*3 + 2*2*2)^2=3468
*  *  *

E D F            A  B  C      D E F   D E F  *
B A C           4 * 3 * 2 * (1*2*2 + 2*3*2)^2=6144        3468+6144=9612
*  *  *
作者: czk0622    時間: 2018-4-15 20:06

試題pdf整理,若有錯誤請不吝指教。

[ 本帖最後由 czk0622 於 2018-4-15 20:57 編輯 ]

附件: 新竹高中107學年度數學科教師甄試試題.pdf (2018-4-15 20:57, 303.07 KB) / 該附件被下載次數 463
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4356&k=5fe311e5f6bd3a6a78fece44b90454e2&t=1537297765
作者: z78569    時間: 2018-4-15 20:12     標題: 回復 22# czk0622 的帖子

感謝老師的無私奉獻! 辛苦了
作者: JingLai    時間: 2018-4-15 21:12

想請問計算4
沒什麼想法...
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-15 21:56

計算4

\(E(\frac{1}{X+1})=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}C^n_{k}p^k(1-p)^{1-k}\)

其中\(\displaystyle\frac{1}{k+1}C^n_{k}=\frac{1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times n!}=\frac{n+1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times k!\times(n+1)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times(n-k)!}\times\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}\)

所以\(\displaystyle E(\frac{1}{X+1})=\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}\)

設\(t=k+1\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}=\sum_{t=1}^{n+1}\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}=\frac{1}{(n+1)p}\times(\sum_{t=0}^{n+1}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}-(1-p)^{n+1})\)
\(\displaystyle=\frac{1}{p(n+1)}\times((p+1-p)^{n+1}-(1-p)^{n+1})=\frac{1-(1-p)^{n+1}}{p(n+1)}\)

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-15 22:02 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2018-4-15 22:02     標題: 回復 24# JingLai 的帖子

計算4  令 q=1-p  ,p+q=1
E(1/(X+1) ) = SUM( 1/(k+1) * C( n,k) * p^k * q^(n-k)  ,  k=0..n )
=1/[(n+1)p] * SUM(  C( n+1,k+1) * p^(k+1) * q^(n-k)  ,  k=0..n )
=1/[(n+1)p] * [ (p+q)^(n+1)- C( n+1,0) * p^0 * q^(n+1)]
= [ 1- (1-p)^(n+1)] / [(n+1)p]
作者: thepiano    時間: 2018-4-15 22:41     標題: 回復 7# royan0837 的帖子

計算第 3 題第 (2) 小題
把\(x+y=\sqrt{2}\)視為新的\(x\)軸,\(y=x\)視為新的\(y\)軸
圓\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\),變為\({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2\)
所求\(=\int_{-1}^{1}{\pi {{y}^{2}}dx=}\pi \int_{-1}^{1}{{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}dx=}\frac{10}{3}\pi -{{\pi }^{2}}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-15 23:18 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2018-4-16 12:14

一. 8  設P0(X0,Y0)=(1,0) , Pi(Xi,Yi) i=0..6 為圓心在原點,半徑1的圓周上七個等分點 , Xi+iYi=w^i
          SUM ( Xi , i=0..6 )=0 (七個半徑向量和為0向量)
則所求=SUM ( (2-Xi)^2+(0-Yi)^2 , i=1..6 )
           =SUM ( 4+1-4Xi , i=1..6 )
           =5*6-4*SUM ( Xi , i=1..6 )
           =30 - 4*(0-X0)
           =34

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-16 12:25 編輯 ]
作者: mojary    時間: 2018-4-16 14:27     標題: 請益計算第5題

很抱歉,小弟發現第五題的答案與大家不一樣,請問各位高手。
我算出來是2904

圖片附件: IMG_6720.JPG (2018-4-16 14:27, 203.39 KB) / 該附件被下載次數 70
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4358&k=6f85a8915540ce31f219a3b368cf3649&t=1537297765



圖片附件: IMG_6721.jpg (2018-4-16 14:27, 353.18 KB) / 該附件被下載次數 64
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4359&k=e00c3b899b545cfb67d8bf965443048c&t=1537297765


作者: thepiano    時間: 2018-4-16 14:49     標題: 回復 29# mojary 的帖子

先塗 D、E、F 是 4 * 3 * 3
後續討論時還要分,D、F 同色和 D、F 不同色
作者: wuha0914    時間: 2018-4-16 17:00

這個方法在沒有絕對值的時候可以應用
有絕對值的時候  要如何改進才能使用

[ 本帖最後由 wuha0914 於 2018-4-16 17:07 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2018-4-16 17:00, 16.83 KB) / 該附件被下載次數 47
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4361&k=175559de858470c21cf0bae3a548239a&t=1537297765


作者: cefepime    時間: 2018-4-17 00:00

計算題 4   印象中有看過如下方法:


所求 = ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ] C(n,k) p^k * q^(n-k)   [ 在此 q = 1 - p ]


由形態聯想到 1. 二項式定理  2. 反導函數,於是考慮:

f(t) = (pt + q)ⁿ = ∑(k=0 to n) C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^k

取反導函數得:

[1/p(n+1)] (pt + q)ⁿ⁺¹ = { ∑(k=0 to n) [ 1/(k+1) ]*C(n,k) p^k * q^(n-k) * t^(k+1) } +  qⁿ⁺¹/p(n+1)

比較所求式,只要 t = 1 代入即可:

所求 = (1- qⁿ⁺¹) / p(n+1) = [ 1- (1 - p)ⁿ⁺¹ ] /  p(n+1)




作者: mojary    時間: 2018-4-17 08:11     標題: 謝謝鋼琴老師

針對計算5

還是鋼琴老師的一開始的方法好懂!

原來是我把題目看不懂了。

謝謝。
作者: Christina    時間: 2018-4-17 08:47     標題: 回復 15# thepiano 的帖子

請教老師這題是如何計算的呢?^_^
作者: laylay    時間: 2018-4-17 09:50     標題: 回復 32# cefepime 的帖子

您的 方法滿棒的  f(t)=(pt+q)^n
如此一來 令 g(t)=f的二重積分=[ (pt+q)^(n+2)-(n+2)(pt)*q^(n+1)-q^(n+2) ] / [ p^2*(n+2)(n+1) ] (必須讓 g(t)為t^2 的倍式)
則 E(1/[(X+1)(X+2)] )=g(1)=[ 1-(n+2)p*q^(n+1)-q^(n+2) ] /  [ p^2*(n+2)(n+1) ]
令 h(t)=f的三重積分=[ (pt+q)^(n+3)-C(n+3,2)(pt)^2*q^(n+1))-(n+3)(pt)*q^(n+2)-q^(n+3) ] / [ p^3*(n+3)(n+2)(n+1) ] (必須讓 h(t)為t^3 的倍式)
則 E(1/[(X+1)(X+2)(X+3)] )=h(1)=[ 1-C(n+3,2)p^2*q^(n+1)-(n+3)p*q^(n+2)-q^(n+3) ] /  [ p^3*(n+3)(n+2)(n+1) ]


令m(t)=f(t)的微分=np(pt+q)^(n-1) , 則 E(X)=m(1)=np
令r(t)=f(t)的二重微分=n(n-1)p^2*(pt+q)^(n-2) ,
則 E(X(X-1))=r(1)=n(n-1)p^2  =>VAR(X)=E(X^2)-E(X)^2= E(X(X-1))+E(X)-E(X)^2=n(n-1)p^2+np-(np)^2=npq
E(X(X-1)(X-2))=n(n-1)(n-2)p^3 => E(P(X,k))=P(n,k)*p^k

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-17 12:28 編輯 ]
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-17 11:42

第八題我是這麼算的,不知道有沒有哪邊有錯誤?

\(\omega=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)為\(z^7=1\)的一個複數根

\(z^7-1=0\)可以分解成\((z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0\)

所以\((\omega-1)(\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)=0\)

\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2\)展開可得

\(24-3(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=27-3(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)\)

因為\(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6=0\)

所以\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+|2-\omega^3|^2+|2-\omega^4|^2+|2-\omega^5|^2+|2-\omega^6|^2=27\)
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-17 11:43     標題: 回復 13# czk0622 的帖子

謝謝老師~~我搞錯方向了!!
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-17 11:50     標題: 回復 34# Christina 的帖子

我不知道鋼琴老師有沒有更方便的方式

我的方式是慢慢算XD

(1)一天三節:全部-連三節排-四五同時排但不連三
\(\displaystyle C^8_3-\displaystyle\frac{6!}{5!}-4=46\)

(2)一天四節:全部-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三也不連四
\(\displaystyle C^8_4-\displaystyle{5!}{4!}-C^5_2 \times 2!-(2+C^2_1 \times C^2_1)=39\)

(3)一天五節:全部-連五節排-連四節排-連三節排-四五同時排但不連三、不連四、不連五
\(\displaystyle C^8_5-\displaystyle{4!}{3!}-C^4_2 \times 2!-(C^4_2 \times 2!+C^4_3 \times\displaystyle\frac{3!}{2!})=12\)

一共97種

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-17 11:52 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2018-4-17 11:51     標題: 回復 34# Christina 的帖子

討論跟中間那格相鄰的那四格

(1) 四同
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 種填法,角落四格各有 3 種填法
4 * 3 * 3^4 = 972 種

(2) 三同一異
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 * 2 * 4 種填法,角落四格中有兩格是 3 種填法,有兩格是 2 種填法
4 * (3 * 2 * 4) * (3^2 * 2^2) = 3456 種

(3) 二同二同
(i) 二同相對,另兩同也相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 C(3,2) * 2 種填法,角落四格各有 2 種填法
4 * [C(3,2) * 2] * 2^4 = 384 種

(ii) 二同均不相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 C(3,2) * 4 種填法,角落四格中有兩格是 3 種填法,有兩格是 2 種填法
4 * [C(3,2) * 4] * (3^2 * 2^2) = 1728 種

小計 2112 種

(4) 二同二異:
(i) 二同相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 * 2 * 2 種填法,角落四格各有 2 種填法
4 * (3 * 2 * 2) * 2^4 = 768 種

(ii) 二同不相對
中間有 4 種填法,相臨四格有 3 * 4 * 2 種填法,角落四格中有一格是 3 種填法,有三格是 2 種填法
4 * (3 * 4 * 2) * (3 * 2^3) = 2304 種

小計 3072 種

總計 972 + 3456 + 2112 + 3072 = 9612 種
作者: thepiano    時間: 2018-4-17 12:08     標題: 回復 38# zidanesquall 的帖子

排課問題,小弟是這樣算的

(1) 一天三堂
與您相同做法

(2) 一天四堂
(a) 排四不排五
(最前面三節,最後面三節) = (2,1) 、(1,2)
2 * 3 + 3 * 3 = 15

(b) 排五不排四
同 (a),15 種

(c) 四五都不排
(最前面三節,最後面三節) = (2,2)
3 * 3 = 9 種

小計 39 種

(3) 一天五堂
(d) 排四不排五
(最前面三節,最後面三節) = (2,2)
2 * 3 = 6

(e) 排五不排四
同 (d),6 種

小計 12 種

總計 46 + 39 + 12 = 97 種
作者: zidanesquall    時間: 2018-4-17 12:27     標題: 回復 40# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師,比我想得快多了!

在考場還在想是不是要用到取捨,想來想去一直到出考場才確定...5分飛了XD
作者: bibibobo    時間: 2018-4-17 14:04     標題: 回復 36# zidanesquall 的帖子

您的展開式子是沒有加上絕對值的平方之展開

而非有絕對值的平方之展開喔


因為2-W等六項本身是虛數  所以加上絕對值平方是指實部平方加上虛部平方之和(必為正數或0)

您那個展開後的式子會有i喔
作者: jfy281117    時間: 2018-4-17 21:54

想請問各位老師填充第9題的作法,感謝!
作者: thepiano    時間: 2018-4-17 22:24     標題: 回復 43# jfy281117 的帖子

填充第9題
黎曼和
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{n}=\int_{0}^{2}{\left[ 1-{{\left( 1-x \right)}^{4}} \right]}dx=\frac{8}{5}\)
作者: Ellipse    時間: 2018-4-17 22:38     標題: 回復 4# z78569 的帖子

填8 也可以畫圖,然後用餘弦定理,最後會跟z78569兄所寫一樣
作者: BambooLotus    時間: 2018-4-17 23:32     標題: 回復 43# jfy281117 的帖子

補個看起來比較好看的
\( \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a_n}}}{n} = \int_{ - 1}^1 {1 - {x^4}} dx \)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2018-4-17 23:35 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2018-4-17 23:58

填充題 4  某老師一天可能有 3 到 5 堂數學課 (一天有 8 堂),但不能有連續 3 堂,且第 4 與第 5 堂不能皆排課,則一天有多少種排數學課的方法 (不考慮不同班級) ?  


想法: 基於 "4,5 皆排,但無連 3" 的方法數容易求得,故構思如下解法。


解: 所求 = (3 到 5 堂) - (3 到 5 堂且有連 3) - (3 到 5 堂且無連 3,但 4,5 皆排)

A. 3 到 5 堂:  ΟΟΟΟΟΟΟΟ

C(8,3) + C(8,4) + C(8,5) = 182


B. 3 到 5 堂且有連 3:  (至此再用取捨原理)  ΟΟΟΟΟΟΟΟ

6*[ 1 + C(5,1) + C(5,2) ] - 5*[ 1+ C(4,1) ] - 連 5 + 連 5 = 96 - 25 = 71

註: 6: 連 3 的位置;  5: 連 4 的位置。連 5 方法數 = 4,但會相消不算亦可。


C. 3 到 5 堂且無連 3,但 4,5 皆排:  ΟΟ×ΟΟ×ΟΟ

C(4,1) + C(4,2) + C(4,3) = 14


所求 = A - B - C = 182 - 71 - 14 = 97


註: 亦可用  (3 到 5 堂) - (3 到 5 堂且4,5 皆排) - (3 到 5 堂且無 4,5 皆排,但有連 3)



作者: z78569    時間: 2018-4-18 06:03

不好意思,由於昨天看了自己的成績跟自己回家重新算一邊差了13分,所以想請問某些題目各位老師的答案和想法

第一部分
1.重複組合來算
3.(9261,2100)
10. 我的想法:A的投影點M會是B和C的中點(面積最大)不知道這樣有沒有錯

還有計算
1.我是用微積分基本定理,算出來很像是-2/3
2.後來推論出來是an為等比數列



考完試最重要要的是把不會的搞懂
麻煩各位老師可以幫我看一下
作者: tsusy    時間: 2018-4-18 10:59     標題: 回復 48# z78569 的帖子

10. AB、AC長度固定,以 \( \frac 12 \overline{AB} \overline{AC} \sin A \) 計算面積

當 ∠A 最接近90° 時有最大值。
若所有的 C (在一個圓扣除B) 均使 ∠A 為銳角,此時最大值才會發生在 BC 為該圓直徑,也就是你所說的狀況。
落該直徑的兩端與 A 相連所形成的三角形,使 \( \angle A \geq 90^\circ \),則必存在 C 使得 \( \angle A = 90^\circ \)
作者: z78569    時間: 2018-4-18 18:02     標題: 回復 49# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師的解釋! 我明白了
作者: thepiano    時間: 2018-4-18 21:05     標題: 回復 48# z78569 的帖子

這兩題小弟算的答案,給您參考
填充
1. 19

計算
2. \(\left( 1 \right)\quad \frac{{{4}^{n+1}}-4}{9}\quad \left( 2 \right)\quad \frac{4}{9}\)
作者: g112    時間: 2018-4-19 00:13

想請教一下
第10題我算  \( \left( \frac{4}{9},\frac{-32}{9} ,\frac{-13}{9} \right) \),不曉得有沒有算錯

這張一堆計算錯誤....

[ 本帖最後由 g112 於 2018-4-19 00:21 編輯 ]
作者: laylay    時間: 2018-4-19 09:07     標題: 回復 52# g112 的帖子

一 10 .  先找過A與L垂直的平面F, E,F的交線為C(0,2t,1+t) 由AC=AB=7得 t =-3,-1/5  (若 t 無解,則 C=2*A至E的投影點-B)
C(0,-6,-2)或C(0,-2/5,4/5)......檢驗 : C在 E上且AC=AB 且AC垂直AB

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-19 09:44 編輯 ]
作者: mojary    時間: 2018-4-19 09:35     標題: 請教鋼琴老師填1怎麼算?

填1
我是假設H
請教老師指正。

圖片附件: IMG_6732.jpg (2018-4-19 09:35, 247.62 KB) / 該附件被下載次數 65
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4362&k=a356aa391872aa6f7b93bd84e7626eb4&t=1537297765


作者: z78569    時間: 2018-4-19 09:52     標題: 回復 51# thepiano 的帖子

感謝piano老師的分享

我的答案跟您一樣,在此貼上小弟的作法
mojary老師,我的作法給您參考

[ 本帖最後由 z78569 於 2018-4-19 09:53 編輯 ]

圖片附件: image.jpg (2018-4-19 09:52, 1.36 MB) / 該附件被下載次數 74
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4363&k=c9aa9cca7708c3d09f14d8692828b5bc&t=1537297765



圖片附件: image.jpg (2018-4-19 09:52, 1.46 MB) / 該附件被下載次數 90
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4364&k=eb2c6f89965a0325b0dc951da3265ee5&t=1537297765



圖片附件: image.jpg (2018-4-19 09:52, 1.36 MB) / 該附件被下載次數 103
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4365&k=b7cef3ee2e182cfa1eeccad8afd2f33d&t=1537297765


作者: laylay    時間: 2018-4-19 09:53     標題: 回復 54# mojary 的帖子

您的作法會有X=0的狀況
改成H(4,4)-C(4,1)*H(4,1)=19
另法 : ( 1 , 2 , 3 )    x+y+z+w=8
-----------------------
          ( 0 , 4 , 0 ) :  1  ( x,y,z,w 中 ,  2 的 有 4 個)
          ( 1 , 2 , 1 ) :  C(4,2)*2!=12
           (2 , 0 , 2 ) :  C(4,2)=6             1+12+6=19

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-19 12:11 編輯 ]
作者: mojary    時間: 2018-4-19 10:12     標題: 感謝Z78569老師與laylay老師

感謝感謝。
作者: z78569    時間: 2018-4-19 10:23     標題: 回復 53# laylay 的帖子

想請問laylay老師,為什麼是找過A點且垂直E的平面?
我這裡看不太懂,謝謝老師的分享,這個方法看起來簡潔有力!
作者: laylay    時間: 2018-4-19 11:47     標題: 回復 58# z78569 的帖子

因為AC垂直AB,C必在F上,所以C在EF 交線上

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-19 11:48 編輯 ]
作者: poemghost    時間: 2018-4-19 11:50

引用:
原帖由 g112 於 2018-4-19 00:13 發表
想請教一下
第10題我算  \( \left( \frac{4}{9},\frac{-32}{9} ,\frac{-13}{9} \right) \),不曉得有沒有算錯

這張一堆計算錯誤....
我的y坐標算出來是 -25/9。

[ 本帖最後由 poemghost 於 2018-4-19 18:20 編輯 ]
作者: z78569    時間: 2018-4-19 12:53     標題: 回復 59# laylay 的帖子

感謝老師,我懂了!
作者: g112    時間: 2018-4-19 16:10

引用:
原帖由 laylay 於 2018-4-19 09:07 發表
一 10 .  先找過A與L垂直的平面F, E,F的交線為C(0,2t,1+t) 由AC=AB=7得 t =-3,-1/5  (若 t 無解,則 C=2*A至E的投影點-B)
C(0,-6,-2)或C(0,-2/5,4/5)......檢驗 : C在 E上且AC=AB 且AC垂直AB ...
謝謝老師,我知道我那裡想錯了

原本我也是想說A的投影點會是中點的想法去算,剛才注意到如果投影點是中點的話,那d(A,E)的距離是 \(\frac{7}{\sqrt{2}}\) ,但實際上並不是

所以這個想法是錯的
作者: 小姑姑    時間: 2018-4-21 21:08     標題: 回復 52# g112 的帖子

我算的y坐標也是 -25/9。
作者: Chen    時間: 2018-4-29 11:29     標題: 回復 44# thepiano 的帖子

這題最後答案應是 9/5
作者: thepiano    時間: 2018-4-29 15:03     標題: 回復 64# Chen 的帖子

請教 Chen 老師,不知小弟哪裡觀念有誤呢?




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0