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$$\left| {{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+\cdots +n{{a}_{n}} \right|=\left| f'\left( 0 \right) \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0} \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin x}{x} \right|=1$$

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-7-18 18:20 編輯 ]

$$\int_0^1 {\int_x^1 {{x^2}\sqrt {1 + {y^4}} dydx} = \int_0^1 {\int_0^y {{x^2}\sqrt {1 + {y^4}} dxdy} } } = \int_0^1 {\left( {\frac{1}{3}{x^3}\sqrt {1 + {y^4}} \left| {_0^y} \right.} \right)dy}$$
$$= \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}\sqrt {1 + {y^4}} dy} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}{\left( {1 + {y^4}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left| {_0^1} \right. = \frac{{\sqrt 2 }}{9} - \frac{1}{{18}}$$

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-7-18 21:53 編輯 ]

10. 假設長方體三個不同方向的邊長分別為 $$a, b, c$$

$$\begin{cases} \frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} & =2\sqrt{5}\\ \frac{ca}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}} & =\frac{30}{\sqrt{13}}\\ \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} & =\frac{15}{\sqrt{10}} \end{cases}$$

$$13b^{2}=85b^{2}-1800$$

9. 想到兩個本質上相同的方法

⇒ P(贏) = 4/7，P(補) = 2/7，P(輸) = 1/7

http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7Ba%5E2%2Bb%5E2%2Ba*b%3D9%7D,%7Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bb*c%3D16%7D,%7Bc%5E2%2Ba%5E2%2Bc*a%3D25%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7B(c-a)*t%3D7%7D,%7B(a-b)*t%3D9%7D,%7B(c-b)*t%3D16%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

[ 本帖最後由 cut6997 於 2017-7-21 03:26 編輯 ]

2.

11.

[100k]=103
[1000k]=1036

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-7-28 14:23 編輯 ]

1. 另解:

⇒ 104 > 100k > 103.∙∙∙

⇒ 所求 = 103

=> 3k-5, 2k+1=+-1 都不合

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-7-28 13:23 編輯 ]

f(x)=(x^2006-1)-(x^2004+x^2002+....+x^2+1)=0
=>f(x)(x^2-1)=(x^2006-1)(x^2-1)-(x^2006-1)=(x^2006-1)(x^2-2)=0
=>x=1,-1,ㄏ2,-ㄏ2

=>所求=2+2=4

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-7-28 14:11 編輯 ]

COD與AOB為相似形

=>a(1+r+r+rr)=1=>AOD的面積=ra=r/(1+r+r+rr)=1/(r+1/r+2)<=1/4為所求

=>所求=(4^2+5^2+7^2)/3=30

$$f(x)=x+x^{2}\sin\frac{1}{x}$$, 以定義檢查可知 $$f'(0)=1$$

$$f'(x)=1+2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}, \lim\limits _{x\to0} \frac{f'(x)}1$$ 不存在

$$f(x) = x + {x^2}\sin (\frac{1}{x})$$在x=0的地方沒有定義，不符合f(0)=0的題目條件

$$x\neq 0$$ 時，$$f(x) = x + x^2 \sin \frac1x$$

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