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標題: 106松山工農 [打印本頁]

作者: bugmens    時間: 2017-6-15 19:21     標題: 106松山工農

 

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4156&k=7f464cd05ea6ccb8d73bf2cc59d2d57c&t=1531999397
作者: litlesweetx    時間: 2017-6-15 19:55

請問4,13,15
謝謝
作者: thepiano    時間: 2017-6-15 20:22     標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

第 4 題
設\(a,b,c\)為正實數,求\( \displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c} \)的最小值   
[解答]
令 x = a + b + 2c,y = a + 2b + c,z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z,b = y - z,c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z,再用算幾

第 13 題
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根,試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值   
2014 AIME
作者: laylay    時間: 2017-6-15 23:24     標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

15.
在\(\Delta ABC\)中,\( \overline{AB}=6,\overline{BC}=4,\overline{CA}=5 \),圓\(O_1,O_2,O_3\)為\(\Delta ABC\)的三個旁切圓,圓\(O_1\)和\(\overline{BC}\)相切於\(D\),圓\(O_2\)和\(\overline{CA}\)相切於\(E\),圓\(O_3\)和\(\overline{AB}\)相切於\(F\)。試求\( \displaystyle \frac{\Delta DEF面積}{\Delta ABC面積}= \)   
[解答]
r3(tan(A/2)+(tan(B/2))=c
AEF=1/2*(r3tan(A/2))(r2tan(A/2))*sinA
       =1/2*c/(1+tan(B/2)/tan(A/2))*b/(1+tan(C/2)/tan(A/2))*sinA
ABC=1/2*bc*sinA , tan(A/2)=\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
AEF/ABC=1/{[1+(s-a)/s-b)][1+(s-a)/(s-c)]}=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
或者 AF=r3*tan(A/2)=ABC/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
                             =\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)=s-b
同理AE=s-c
AEF/ABC=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
a=4,b=5,c=6,s-a=7/2,s-b=5/2,s-c=3/2
所求=1-(4*5/2*3/2+5*7/2*3/2+6*7/2*5/2)/(4*5*6)=7/32

13.
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根,試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值   
[解答]
f(-1)<0,f(0)>0,f(1)<0,f(1000000)>0 =>-1<x1<0<x2<1<x3
令t=\(\sqrt{2014}\) ,
則 tx^3-(2t^2+1)x^2+2=0 => (-2x^2)t^2+(x^3)t+(-x^2+2)=0
=> ((x)t-1)((-2x)t+(x^2-2))=0 => x=1/t=x2 or x^2-2xt-2=0 =>x1x3=-2
x1x2+x1x3+x2x3=0 => 所求=-x1x3=2

[ 本帖最後由 bugmens 於 2018-4-5 06:59 編輯 ]
作者: 小姑姑    時間: 2017-6-16 09:50

請教鋼琴老師,第4題的詳解,謝謝。
作者: tsusy    時間: 2017-6-16 13:25     標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

來個 15 另解.
利用圓外一點到圓的兩切線段等長

設 \( \overline{AF} =x, \overline{BF} = y \)

則 \( x+y = c \) ( \(a,b,c \) 為角 A, B, C 的對邊長)
    \( x+ b = x + \) (C 到圓 \( O_3 \) 的切線段長) \( = y +a \)

兩式解聯立得 \( x = s -b,  y = s-a \),其中  \( s = \frac{a+b+c}{2} \)

同理得 \( \overline{AE}, \overline{CE}, \overline{BD}, \overline{CD} \)

六線段長為 \( \overline{AF} = s-b = \frac52, \overline{AE} = s-c = \frac32\)
                   \( \overline{BF} = s-a = \frac72, \overline{BD} = s-c = \frac32\)
                   \( \overline{CE} = s-a = \frac72, \overline{CD} = s-b = \frac52\)

所求  \( \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}=\frac{\triangle AEF+\triangle BFD+\triangle CDE}{\triangle ABC}=1-\left(\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{12}+\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{8}\right)=\frac{7}{32} \)
作者: gamaisme    時間: 2017-6-16 14:24     標題: 回復 5# 小姑姑 的帖子

令 x = a + b + 2c,y = a + 2b + c,z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z,b = y - z,c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z,再用算幾

2*(Y-X)/X+2*(X-Y-Z)/Y+(Y-Z)/Z
其中
2*(Y-X)/X=-2+2*Y/X
2*(X-Y-Z)/Y=2*X/Y-2+2*Z/Y
(Y-Z)/Z=Y/Z-1
再算幾即可

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2017-6-16 14:28 編輯 ]
作者: peter0210    時間: 2017-6-18 09:29

請教第12題 感謝
作者: gamaisme    時間: 2017-6-18 09:57     標題: 回復 8# peter0210 的帖子

12.
坐標平面上的橢圓\(\Gamma\):\(\displaystyle \frac{(x-8)^2}{121}+\frac{(y-15)^2}{100}=1\)上有   個點與原點的距離正好是整數值?
[解答]
依照題目設定
長軸一半a為11
短軸一半b為10
此設定造成橢圓上的點與橢圓中心點的距離皆在10~11之間
中心點在(8,15),表示中心點與O距離為17
推得橢圓上的每一個點與O的距離皆在6~28之間
所以有21個點離O為整數點
21*2=42(因為橢圓中心點與O連線,橢圓被切一半有兩邊要算)
作者: 小姑姑    時間: 2017-6-18 12:09     標題: 附上我自行計算的答案,不知是否正確?

我的筆試成績不高,這兩日重新計算出來的答案,如附件!
請有計算的大大們可以跟我校對,
最後,
我想請教兩題的做法,填充3、12,感激感恩。

更新答案1060618

[ 本帖最後由 小姑姑 於 2017-6-18 22:17 編輯 ]

附件: 106松山工農答案.pdf (2017-6-18 22:17, 166.54 KB) / 該附件被下載次數 729
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4170&k=945a94c3eba3eae5e42b733a21af54e0&t=1531999397
作者: thepiano    時間: 2017-6-18 15:25     標題: 回復 10# 小姑姑 的帖子

填充第 3 題
分成三種情況
(1) 甲抽中紅,乙抽中紅,機率\(\displaystyle=\frac{4}{15}\times \frac{3}{14}\)
(2) 甲抽中紅,乙抽中白、紅,機率\(\displaystyle=\frac{4}{15}\times \frac{1}{14}\times \frac{3}{13}\)

(3) 甲抽中白、紅,乙抽中紅,機率\(\displaystyle=\frac{1}{15}\times \frac{4}{14}\times \frac{3}{13}\)
加總後是\(\displaystyle\frac{6}{91}\)

另外,小弟有算第 2 題,答案應是 5
第 12 題上面已有 gamaisme 老師的妙解,答案是 42

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-6-18 15:31 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2017-6-18 16:49

填充題 3. 另解:

直接把白球丟掉,剩 4 紅 10 黃。

所求 = (4/14)*(3/13) = 6/91
作者: thepiano    時間: 2017-6-18 18:52     標題: 回復 12# 小姑姑 的帖子

除以10餘7的數,除以11不一定餘6
作者: laylay    時間: 2017-6-18 19:55     標題: 回復 12# 小姑姑 的帖子

2.
若\(n=2017^{2017}\),則\(n\)除以11的餘數為   
[解答]
底數2017除以11 餘4 ,4^5=1024除以11 餘1  (因為(4+0)-(2+1)=1,又 2^10=1024大家很熟吧 !
或者由尤拉定理馬上可以知道2^10除以11 餘1)
指數2017除以5 餘2 ,
4^2=16除以11 餘 5.....為所求
作者: laylay    時間: 2017-6-18 20:19     標題: 5.

在右圖的正立方體上有三質點分別自頂點\(A,C,E\)同時出發,各自以等速直線運動分別向頂點\(B,D,F\)前進,且在1秒後分別同時到達\(B,D,F\)。則三質點運動時所構成的三角形其最小面積為   
[解答]
設運動了t秒,則此正三角形面積=\(\sqrt{3}\)/4*(1^2+t^2+(1-t)^2)AB^2......(長方體對角線長的平方)
=\(\sqrt{3}\)/2*[(t-1/2)^2+3/4]>=3/8*\(\sqrt{3}\)AB^2......為所求
作者: martinofncku    時間: 2017-6-18 20:34

想請問 填充 1, 9
作者: thepiano    時間: 2017-6-18 20:58     標題: 回復 17# martinofncku 的帖子

填充第1題
設\(a,b\)為實數,\(f(x)\)為5次實係數多項式且其最高次項係數為\(a\)。若\(f(x)\)滿足\( \displaystyle \int_b^x f(t)dt=\frac{1}{2}(x^2+6x+10)^3-\frac{1}{2} \),則數對\((a,b)=\)   
104數甲

填充第9題
若直線\(y=x\)與曲線\(y=x^3-3x^2+ax\)相切,試求\(a=\)   
[解答]
設切點坐標為\(\left( t,t \right)\)

\(\displaystyle\begin{align}
  & {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+at=t \\
& y'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t+a=1 \\
& \left( 1 \right)t=0,a=1 \\
& \left( 2 \right)t\ne 0,{{t}^{2}}-3t+a=1 \\
& 3{{t}^{2}}-6t={{t}^{2}}-3t \\
& t=\frac{3}{2},a=\frac{13}{4} \\
\end{align}\)
作者: laylay    時間: 2017-6-18 21:11     標題: 回復 18# thepiano 的帖子

我這邊看到您的過程會重疊在一起,看不清楚,不知別人會如此嗎?
作者: 小姑姑    時間: 2017-6-18 21:19     標題: 回復 14# thepiano 的帖子

一語道破,謝謝您。
作者: thepiano    時間: 2017-6-18 21:27     標題: 回復 10# 小姑姑 的帖子

問答第 4 題
答案應是 435

整份題目的答案請重打一次,造福後人
作者: bugmens    時間: 2017-6-18 21:43

引用:
原帖由 laylay 於 2017-6-18 21:11 發表
我這邊看到您的過程會重疊在一起,看不清楚,不知別人會如此嗎?
Chrome瀏覽器的確會疊在一起,不知道是不是使用多行數學式的關係


但在firefox,IE11,Opera看起來都是正常的


圖片附件: chrome.gif (2017-6-18 21:43, 8.66 KB) / 該附件被下載次數 249
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4164&k=9c947ea9966851731814f4b88c2b8a3f&t=1531999397



圖片附件: firefox.gif (2017-6-18 21:43, 12.28 KB) / 該附件被下載次數 257
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4165&k=ef8577d5a65178f76aa9d94591e74085&t=1531999397


作者: 小姑姑    時間: 2017-6-18 21:53     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

已經更新,請鋼琴師幫我校對看看, 謝謝。

[ 本帖最後由 小姑姑 於 2017-6-18 22:16 編輯 ]

附件: 106松山工農答案.pdf (2017-6-18 22:16, 166.54 KB) / 該附件被下載次數 437
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4169&k=9704d865f190a7bfbd8f8097f4b78623&t=1531999397
作者: thepiano    時間: 2017-6-18 21:59     標題: 回復 22# 小姑姑 的帖子

第 9 題
還有另一個答案 a = 1
作者: 小姑姑    時間: 2017-6-18 22:18     標題: 回復 23# thepiano 的帖子

真的拍謝!自己錯一堆。已經修正並更新了。
作者: gamaisme    時間: 2017-6-19 15:34     標題: 回復 15# laylay 的帖子

考試當下覺得這題很詭異
因為它給的正方體沒有給邊長
不曉得要怎麼做?
考完與其他朋友討論
他們告知小弟可以用邊長AB表示
殘念.....

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2017-6-19 15:36 編輯 ]
作者: gamaisme    時間: 2017-6-19 15:55     標題: 回復 23# thepiano 的帖子

請教thepiano老師
第4題算幾的答案是多少?
我算出來是2^(11/4)-5

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2017-6-19 15:57 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2017-6-19 16:02     標題: 回復 26# gamaisme 的帖子

是 \(2\sqrt{2}-1\)
作者: BambooLotus    時間: 2017-6-19 21:35

一直覺得第六題的圖形很眼熟,來去google才想起來原來是106學測的多選題
作者: BambooLotus    時間: 2017-6-19 21:59

第9題自己很喜歡用判別式硬解,因為連想都不用想很適合懶人用,不過有時候二次項很醜或是一些其他因素就不好用了

因為二次式是3,所以知道待會用綜合除法的時候可以很輕鬆的消掉

\( \displaystyle {x^3} - 3{x^2} + \left( {a - 1} \right)x = 0 \),\( \displaystyle {\left( {x - 1} \right)^3} + \left( {a - 4} \right)\left( {x - 1} \right) + \left( {a - 3} \right) = 0 \)

方程式有重根:判別式=0,故\( \displaystyle 4{p^3} + 27{q^2} = 4{\left( {a - 4} \right)^3} + 27{\left( {a - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {4a - 13} \right) = 0 \)

......

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-19 22:08 編輯 ]
作者: eyeready    時間: 2017-6-19 22:32     標題: 回復 29# BambooLotus 的帖子

第九題 小弟第一個想法是比較係數,請參考看看
\(
\begin{array}{l}
因為相切,因此x^3  - 3x^2  + ax = x有重根 \\
\left\{ \begin{array}{l}
x^3  - 3x^2  + (a - 1)x = x(x - t)^2,當t為重根(不為0)  \\
x^3  - 3x^2  + (a - 1)x = x^2 (x - s),當0為重根 \\
\end{array} \right. \\
兩者比較係數得出
a = 1 or \frac{{13}}{4} \\
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-19 22:35 編輯 ]
作者: kyrandia    時間: 2017-10-2 15:49

引用:
原帖由 gamaisme 於 2017-6-19 15:55 發表
請教thepiano老師
第4題算幾的答案是多少?
我算出來是2^(11/4)-5
不能用四項的算幾不等式,等號不會成立, 必須要兩項兩項使用算幾不等式
作者: ppbartack    時間: 2018-2-10 17:31     標題: 再次請教第三題(抽球問題)

請教各位老師,我的想法如下,
我是用古典機率做的。
但我實在想不出哪裡有錯,
以至於我的答案133/143與6/91有所不同,
請各位賜教,感謝。

圖片附件: 106松山工農第三題(抽球).png (2018-2-10 17:31, 69.33 KB) / 該附件被下載次數 73
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4323&k=f0262695f170396ef019f46b13806912&t=1531999397


作者: tsusy    時間: 2018-2-10 21:53     標題: 回復 32# ppbartack 的帖子

填充3. 是您誤會題意

題意只說甲先乙後,沒有輪流取球
作者: ppbartack    時間: 2018-2-10 23:21     標題: 回復 33# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師,一語驚醒夢中人
作者: Christina    時間: 2018-3-26 10:01     標題: 回復 9# gamaisme 的帖子

請教老師 要怎麼保證剛好就是21個,有沒有可能更少呢?^_^




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