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標題: 106新竹高商 [打印本頁]

作者: weni 時間: 2017-6-5 19:57 標題: 106新竹高商

初試最低錄取分數57。

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作者: litlesweetx 時間: 2017-6-5 23:23

想問填7,填15,計1
謝謝

作者: thepiano 時間: 2017-6-6 07:58 標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

填充第 7 題
在\(1、2、3、\ldots、2017\)中取一組數，使任意兩數的和不能被其差整除，則最多能取　　　個數。
[解答]
取除以 3 餘 1 的數
所求 = [2017/3] + 1 = 673

填充第 15 題
將四位數1746(原數)左右倒過來寫得6471(新數)，新數比原數大4725。試問：滿足新數比原數大4725的所有四位數的原數有　　　個。
[解答]
原數 1000a + 100b + 10c + d，新數 1000d + 100c + 10b + a
(1000d + 100c + 10b + a) - (1000a + 100b + 10c + d) = 4725
111(d - a) + 10(c - b) = 525
易知 d - a = 5，b - c = 3
d 有 6 ~ 9 這 4 種情形，b 有 3 ~ 9 這 7 種情形
所求 = 4 * 7 = 28

作者: laylay 時間: 2017-6-6 11:09 標題: 計1.補充

由答案看來,(0,0),(12c,4\( \sqrt{3} \)c),(12c,-4\( \sqrt{3} \)c),之重心(8c,0)為頂點,
原圖形向右平移8c,再上下壓縮1/3,即得所求圖形
此題若為填充題,這樣猜答案也滿合理的
此題若改為橢圓,是否仿上法得四頂點的橢圓也為所求圖形呢?
此題若改為左右型雙曲線,是否仿上法得兩頂點的雙曲線,再上下壓縮1/3也為所求圖形呢?

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-6 12:24 編輯 ]

作者: eyeready 時間: 2017-6-6 12:01

填充4
已知\(m\)、\(n\)為正整數且\(m^2<7n^2\)，求\(7n^2-m^2\)的最小值　　　。
[解答]
應該還有其它更適當的解釋方法！
\(
\begin{array}{l}
因為7n^2  - m^2  > 0 \\
取m=n-2，7n^2  - (n - 2)^2  = 6n^2  + 4n + 4 \ge 14 \\
取m=n-1，7n^2  - (n - 1)^2  = 6n^2  + 2n - 1 \ge 7 \\
取m=n ，7n^2  - n^2  = 6n^2  \ge 6 \\
取m=n+1 ，7n^2  - (n + 1)^2  = 6n^2  - 2n - 1 \ge 3 \\
取m=n+2，7n^2  - (n + 2)^2  = 6n^2  - 4n - 4 \ge 12 \\
....
\end{array}
\)

填充6
請問滿足\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6^6}\)的正整數解共有　　　組。
[解答]
\(
H_{12}^2  \times H_{12}^2  = 169
\)

填充10
今有16枝相同的筆要全部分給\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四人，每人至少分得一枝，若僅考慮四人所獲得筆的數量，則共有　　　種分筆的方式使得\(A\)獲得的數量大於\(B\)獲得的數量。
[解答]
\(
\displaystyle \frac{{H_{12}^4  - (H_0^2  + H_2^2  + ... + H_{12}^2 )}}{{\rm{2}}} = 203
\)

填充13
圓\(C\)的圓心為\((a,1)\)，且半徑為1，作圓\(C\)的兩條切線\(L_1\)、\(L_2\)，已知\(L_1⊥L_2\)，且\(L_1\)、\(L_2\)和\(x\)軸的交點分別為\((-2,0)\)、\((2,0)\)，求\(a\)的值為　　　。
[解答]
https://math.pro/db/thread-2632-1-1.html

填充14
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)之最小值為　　　。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle  \sqrt {a^2  + b^2 }  + \sqrt {b^2  + c^2 }  + \sqrt {c^2  + a^2 }  \\
\displaystyle  \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {a^2  + b^2 }  \times \sqrt {b^2  + c^2 }  \times \sqrt {c^2  + a^2 } }} \\
\displaystyle  \ge 3 \times \sqrt[3]{{\sqrt {2ab}  \times \sqrt {2bc}  \times \sqrt {2ca} }} = 3\sqrt 2  \times \sqrt[3]{{abc}} \\
又\displaystyle a + b + c \ge 3 \times \sqrt[3]{{abc}} \\
兩式相除即最小值為\sqrt 2，等號成立於a=b=c=1/3
\end{array}
\)

填充16
對於每一正整數\(n\)，\(f(n)+f(n+3)=n^2\)恆成立，若\(f(93)=93\)，求\(f(30)=\)　　　。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
f(93) + f(30) = 90^2  - 87^2  + 84^2  - 81^2  + ... - 33^2  + 30^2  = 4590 \\
f(30) = 4497 \\
\end{array}
\)

填充18
已知\(2x+y+2=0\)，試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為　　　。
[解答]
\(
\left\{ \begin{array}{l}
令 y = ax^2  \\
2x + y + 2 = 0 \\
\end{array} \right.
當相切時有最大值，此時a=1/2
\)

作者: 小姑姑 時間: 2017-6-6 12:28 標題: 填充6的答案是否公布有誤

請教各位，填充6是仿全國的題型，
可是公布答案是49，是否有誤？
謝謝。

作者: thepiano 時間: 2017-6-6 13:22 標題: 回復 6# 小姑姑的帖子

應是 169 才是

作者: eyeready 時間: 2017-6-6 15:42 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

小弟不才，想請教thepiano大大第七題的解題構思是如何引入的呢？

作者: thepiano 時間: 2017-6-6 16:00 標題: 回復 8# eyeready 的帖子

eyeready 大大客氣了

由於要取最多的數，任兩數之間的差越小越好
差 1 不合題意，差 2 的話，任兩數之和是偶數，也不合題意
所以就差 3

都取除以 3 餘 1 的數，任兩數之和除以 3 餘 2，任兩數之差是 3 的倍數，符合題意

作者: thepiano 時間: 2017-6-6 16:09 標題: 回復 6# 小姑姑的帖子

官方公布更改後填充第 6 題的答案為 169
http://www.hccvs.hc.edu.tw

作者: eyeready 時間: 2017-6-6 16:44 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

感謝thepiano老師長期的熱心回覆並分享解法，小弟受到許多的幫助！感恩~~

作者: JOE 時間: 2017-6-6 19:05 標題: 回復 5# eyeready 的帖子

抱歉，我想請教填充14的第一行是如何整理得來

另外想請教填充4的做法，感謝指導

作者: eyeready 時間: 2017-6-6 19:45 標題: 回復 12# JOE 的帖子

已編輯！

作者: cefepime 時間: 2017-6-7 01:45

填充題 4. 已知 m，n 為正整數且 m² < 7n²，求 7n² - m² 的最小值為 ?

另解: 題意即考慮不定方程  7n² - m² = k，k 的情形。

基於左式有係數 7，分析以 7 為模的餘數是合理的。

m² ≡ 0，1，4，2  (mod 7)

⇒ 7n² - m² ≡ 0，6，3，5  (mod 7)

題目求最小值，故從最小的候選者依序考慮。

先試 k = 3，對應的 m ≡ ±2  (mod 7)，故再試 m = 2，得 n = 1。 ^_^ !  (m = 5，n = 2 亦可)

所求最小值 = 3。

填充題 14. 設 a, b, c 為正實數，且 a + b + c = 1，求 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) 之最小值為 ?

解 1: 由冪平均不等式，有

√ [ (a²+b²) /2 ] ≥ (a+b) /2

√ [ (b²+c²) /2 ] ≥ (b+c) /2

√ [ (c²+a²) /2 ] ≥ (c+a) /2

三式相加並移項，得 √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )
110.1.30補充
我的教甄準備之路　a+b=1求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079

解 2: 由柯西不等式: (a²+b²)*(1²+1²) ≥ (a+b)²，其餘類推，則與上法殊途同歸。

解 3: 由三角不等式: √(a²+b²) + √(b²+c²) + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b)² + (b+c)²] + √(c²+a²) ≥ √ [(a+b+c)² + (b+c+a)²] = √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )

解 4: 數形結合

令向量 u = (a, b)，v = (b, c)， w = (c, a)，則向量和 u + v + w = (1, 1)

所求即 |u| + |v| + |w| ≥ | u+v+w | = √2 ( 當 a = b = c 時取等號 )

(不用向量的話，亦可畫個邊長為 1 的正方形說明)

註: 由上列若干方法知，題目設 a, b, c 為 "實數" 即可 (不需為正)

作者: JOE 時間: 2017-6-7 09:53 標題: 回復 13# eyeready 的帖子

感謝 eyeready 老師與 cefepime老師的指導

讓我獲益良多

作者: JOE 時間: 2017-6-7 09:55 標題: 回復 4# laylay 的帖子

請問這個問題有計算題適用的解法嗎，感謝指導

作者: thepiano 時間: 2017-6-7 12:59 標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

計算第 1 題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2778

作者: thepiano 時間: 2017-6-7 12:59 標題: 回復 1# weni 的帖子

初試最低錄取分數變成 60 分

作者: satsuki931000 時間: 2019-1-22 18:45

想請問第九第18題

作者: weiye 時間: 2019-1-22 21:30 標題: 回復 19# satsuki931000 的帖子

9.
設實數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)滿足\(a^2+b^2=4\)和\((c-5)^2+(d-12)^2=36\)，試求\(ad-bc\)的最大值為　　　。

18.
已知\(2x+y+2=0\)，試求\(\displaystyle log_2 \frac{y}{x^2}\)的最大值為　　　。

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