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標題: 106 新北聯招 [打印本頁]

作者: johncai    時間: 2017-5-14 16:11     標題: 106 新北聯招

如題

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作者: thepiano    時間: 2017-5-14 18:10

計算證明第 1 題

出這題應是向波蘭數學家 Wacław Sierpiński 致敬

此題出自他的大作 "250 Problems in Elementary Number Theory" 一書中的第 61 題

以下連結中有 PDF 檔
http://www.isinj.com/mt-usamo/25 ... pinski%20(1970).pdf
作者: weiye    時間: 2017-5-14 21:00

順便附上 pdf 檔,如附件。

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作者: pork0524    時間: 2017-5-14 23:49

計算第一題

此等差數列可看成是{ 5k+6 } 的形式。

考慮 k=10萬 !   

則 考慮以下此數列的連續2017個數  : 5k+6 , 5(k+1)+6 ,...............,5(k+2016)+6  

顯然每個數都是合數。 (其實k不用取到10萬! ,取大點方便而已)
作者: thepiano    時間: 2017-5-15 05:40

計算第 2 題
P 點有以下 16 種情形
(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)
(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)
(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)
(8,1)、(8,2)、(8,3)、(8,4)

以 P(2,1) 為例,邊界上的 10 個點依順時針方向可取
(0,0)、(0,5)、(2.5,5)、(5,5)、(7.5,5)、(10,5)、(10,3.75)、(10,2.5)、(10,1.25)、(10,0)
作者: son249    時間: 2017-5-15 06:51

請教填充9,12
作者: son249    時間: 2017-5-15 06:52

填充10
作者: thepiano    時間: 2017-5-15 07:31     標題: 回復 7# son249 的帖子

填充第10題
1號球有3種丟法,2號到12號球各有2種丟法
所求\(=3\times {{2}^{11}}-6=6138\)種方法
扣掉的6種是單號都丟一箱,雙號都丟另一箱
作者: eyeready    時間: 2017-5-15 08:45

填充 9  106師大填充7 有相似題
第12題 表示法有唯一嗎?不知道這樣的列法有否不恰當之處呢?

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-15 08:49 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-5-15 09:20

填充8 (算得有些麻煩@@")
PS:106 麗山 師大都有出過類似題

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-15 09:23 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2017-5-15 09:28     標題: 回復 6# son249 的帖子

填充第 9 題
兩焦點為 A(-2,0),A'(2,0)
PA + PB ≦ PA + PA' + A'B = 2a + A'B = 12 + 10 = 22
即 P 點是直線 A'B 和橢圓在第三象限的交點
作者: laylay    時間: 2017-5-15 10:19     標題: 填充8.

PA/sin80度=PB/sinPAB
PB/sin10度=PC/sin20度
PC/sinPAC=PA/sin30度
上面三式相乘得sinPACsin80度sin10度=sinPABsin20度/2(A)
因為sin80度=cos10度,cos10度sin10度=sin20度/2
=>sinPAC=sinPAB,又PAC+PAB<180度=>PAC=PAB=40度/2=20度
=>APC=180度-30度-20度=130度
由(A) 以後要馬上看出兩組三錯角正弦之積必相等

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:17 編輯 ]
作者: yinchou    時間: 2017-5-15 11:25     標題: 填充6



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作者: 米斯蘭達    時間: 2017-5-15 13:31

請教第三題、第五題
作者: thepiano    時間: 2017-5-15 13:42

填充第 8 題
純幾何解

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作者: thepiano    時間: 2017-5-15 13:51     標題: 回復 14# 米斯蘭達 的帖子

填充第3題
\(\begin{align}
  & {{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-28{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=0 \\
& {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-28+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=0 \\
& x+\frac{1}{x}=t \\
& \left( {{t}^{3}}-3t \right)+\left( {{t}^{2}}-2 \right)+t-28=0 \\
& {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-30=0 \\
& t=3 \\
& x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\)
作者: laylay    時間: 2017-5-15 14:43     標題: 回復 15# thepiano 的帖子

請問您圖中D點最先是怎麼產生的?
作者: thepiano    時間: 2017-5-15 14:45     標題: 回復 14# 米斯蘭達 的帖子

填充第5題
以\(a=2\cos \frac{2\pi }{7},b=2\cos \frac{4\pi }{7},c=2\cos \frac{6\pi }{7}\)為三根之方程式為\({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1=0\)
參考https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid15215
\(\begin{align}
  & a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \\
& =a+b+c+\frac{ab+bc+ca}{abc} \\
& =-\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2}{4}}{\frac{1}{8}} \\
& =-\frac{9}{2} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2017-5-15 14:46     標題: 回復 17# laylay 的帖子

以AB為邊,作正△DAB
作者: laylay    時間: 2017-5-15 15:56     標題: 回復 19# thepiano 的帖子

謝謝您,若在題目中10改12,20改24,
80改78,幾何還好做嗎?
此時由兩組錯角正弦之積會相等知
sinPACsin78度sin12度=sinPABsin24度sin30度
=>PAC=PAB=18度=>APC=132度。

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 21:27 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2017-5-15 21:10     標題: 回復 20# laylay 的帖子

這樣改,純幾何就很難囉
其實您用的是角元塞瓦定理
\(\frac{\sin BAP}{\sin PAC}\times \frac{\sin ACP}{\sin PCB}\times \frac{\sin CBP}{\sin PBA}=1\)
作者: laylay    時間: 2017-5-15 21:39     標題: 回復 21# thepiano 的帖子

您真博學,我不知有此定理,角元塞瓦定理有提到D,E,F,我所提的用不到,而且很輕易的推廣到凸n邊形內部一點P,兩組n個錯角正弦之積必相等.

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:19 編輯 ]
作者: eyeready    時間: 2017-5-15 21:49     標題: 回復 12# laylay 的帖子

獲益良多,謝謝laylay 師!
作者: weiye    時間: 2017-5-15 23:41

計算第二題:

扣除 \(A,B,C,D\) 四點,需在 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}\) 四個線段分別取若干個等分點,

且按題意 \(P\) 到任兩個相鄰的等分點(含 \(A,B,C,D\))所連接的三角形面積皆相等,

由於 \(\triangle PAB+\triangle PCD\) 面積=\(\triangle PAD+\triangle PBC\) 面積,

可知當且僅當滿足 「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和 =\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和」即可達成題目要求,

所以,「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和 =\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和=3」

所求= \(H^2_3 \times H^2_3 = 4\times4 =16 \) 種情況,每種情況況恰可決定唯一的 \(P\) 點。
作者: tuhunger    時間: 2017-5-16 00:24     標題: 計算2 (補充瑋岳的解法)

如附件

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作者: tuhunger    時間: 2017-5-16 01:13     標題: 填充1,2,7,9

附件題號6 ,改正為7

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-16 12:47 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-5-16 17:30     標題: 回復 26# tuhunger 的帖子

填充2 提供另解
\(
\displaystyle  \frac{{C_4^{10}  \times C_3^6  \times C_3^3 }}{{{\rm{2!}}}} - C_4^5  \times \frac{{C_3^6  \times C_3^3 }}{{2!}} - C_3^5  \times C_4^7  \times C_3^3  = 1700
\)
作者: tuhunger    時間: 2017-5-16 22:01     標題: 填充5

參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-17 08:26 編輯 ]

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作者: tuhunger    時間: 2017-5-16 22:16     標題: 第10題

另外一個想法

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作者: cefepime    時間: 2017-5-16 23:48

回復 9# eyeready 的帖子

填充題 12

(一) 官方答案可用以下方式推得:

1. 原則上,一個 "兩線交點" 可以分別在所處的兩條直線上對應 2 條 "線段" (分別在該點兩側),共 4 條; 而一個 "三線交點" 可以分別在所處的三條直線上對應 2 條 "線段",共 6 條。

2. 但對於一直線上位於兩端的點,在沒有相鄰點的一側並無對應 "線段",故應減去 2n。

3. 至此,每一條 "線段" 皆算了 2 次,故應再除以 2。

4. 綜上,所求 = [ 4*k + 6*(m - k) - 2n ] /2 = 3m - k - n


(二) eyeready 老師的方法,我認為也是正確的,基本上為:

1. 任一直線皆與其它 n-1 條直線相交。若交點皆相異,則在該直線上構成 n-2 條 "線段"。

2. 當存在一個 "三線交點" (即交點重合),則與 "交點皆相異" 比較,該三條直線上的 "線段" 皆會少 1。

3. 綜上,所求 = n*(n - 2) - 3*(m - k) = n² - 2n - 3m + 3k


(三) 以上兩個答案會相等,因為:

1. 任二直線皆相交 1 次,故 n 條直線共相交 C(n, 2) 次。

2.  一個 "兩線交點" 代表相交 1 次,而一個 "三線交點" 代表相交 3 次,故有:

C(n, 2) = k + 3*(m - k)

n² - n = 6m - 4k ...(#)

把 (#) 式代入 (二) 的答案,即得 (一) 的答案。


因此,本題的答案可有無限多種。究其原因,是因為題目多給了非獨立的條件所致。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-23 22:56 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2017-5-17 00:41

填充題 5  

如果沒有 thepiano 老師 和 tuhunger 老師的功力,亦可直接用三角函數解:

1. 由對稱性,a + b + c = -1/2

2. 1/a + 1/b + 1/c = (ab + bc + ca) /abc

2-1. 由積化和差, ab + bc + ca = a + b + c = -1/2

2-2. 由 cos (kπ /n) 的連乘公式 (從複數導出),abc = 1/8


故所求 = -9 /2
作者: eyeready    時間: 2017-5-17 07:51     標題: 回復 30# cefepime 的帖子

謝謝cefepime大 精闢的分析和解說!
作者: oceanli    時間: 2017-5-17 11:45     標題: 回復 5# thepiano 的帖子

請教大大,如何找到這16個點?感恩
另外想請教填充12,沒啥想法
作者: thepiano    時間: 2017-5-17 12:05     標題: 回復 33# oceanli 的帖子

扣掉 A、B、C、D 這 4 個點,還有 6 個點

先假設 AD 上有 0 個點,因底 AD = 5,高須為 2,面積才會是 5,故 P 在直線 x = 2 上
此時 △PBC = 20,故要分成 4 個三角形,在 BC 上取 3 個等分點

設 P(2,1),△PAB = 5
△PCD = 20,故要分成 4 個三角形,在 CD 上取 3 個等分點

其餘的 15 個點,同上
作者: 小姑姑    時間: 2017-5-18 23:00

請教填充第4題,謝謝。
作者: laylay    時間: 2017-5-19 07:23     標題: 回復 35# 小姑姑 的帖子

填充4.取CD為單位長=>AD=2,AB=3=>BD=ㄏ(9+4-2*3*2*cos60度)=ㄏ7
cosDBA=(7+9-4)/(2*3*ㄏ7)=2/ㄏ7
=> BF=(BD/2)/cosDBA=7/4 =>AF/AB=(5/4)/3=5/12

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-19 07:24 編輯 ]
作者: 小姑姑    時間: 2017-5-20 03:07

請教填充11。
先令直線L上的動點為P(t+1,t,ㄏ2t)
直接計算PA+PB
會有兩個根號內有二次函數
後面如何找最小值?

謝謝!
作者: eyeready    時間: 2017-5-20 10:34     標題: 回復 37# 小姑姑 的帖子

請參閱

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作者: Chen    時間: 2017-5-21 15:10

填充12中,舉一例如下:
如圖,n=5,m=6,k=5,題目中所說的恰有兩條直線過k個交點,那兩條直線即為 L_1、L_2。

那麼答案顯然不是 3m-k-n = 8 ,答案是 9 才對。

是題意不清,還是我誤解題目的意思@@

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作者: thepiano    時間: 2017-5-21 16:55     標題: 回復 39# Chen 的帖子

您舉的這個例子,k 應等於 4
作者: Chen    時間: 2017-5-21 22:38     標題: 回復 40# thepiano 的帖子

可是這兩條直線共通過 5 個交點,應該是 k = 5
作者: thepiano    時間: 2017-5-22 05:37     標題: 回復 41# Chen 的帖子

題目是以點來看
圖上的 A、B、C、D 這 4 點都恰有兩條直線通過
圖上的 E、F 這 2 點都恰有三條直線通過

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作者: Chen    時間: 2017-5-22 21:59     標題: 回復 24# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師給的答案,
但是我想,需要進一步確認16種情況的 P 都存在且這 16 個 P 彼此都不一樣才可以。
我驗證過(求出 P 的坐標),確實是有 16 個可能的 P 沒錯。
(後來知有簡單的方法可看出,可不用確實將P的坐標求出來。)
覺得考試就算會寫這題,也需要相當多的時間。

另外,回42樓,謝謝 thepiano 老師的說明,我之前誤解題意了。

[ 本帖最後由 Chen 於 2017-5-24 01:21 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2017-5-23 00:07     標題: 回復 42# the piano 的帖子

請問鋼琴老師,題目上面所問的是說相鄰的交點,所圍成的線段有幾條?

理解成這樣:  對B點來說  相鄰的點只有A(2),E(3),D(2),C(2)
                    所以  這個例子的所求為 2+3+2+2=9
(A(2)表示通過A點的線段有兩條)
                    那麼對A點來說 相鄰的點只有B(2),C(2),D(2)
                    所以  這個例子的所求為 2+2+2=6
如果是這樣, 就湊不出9

另外就算知道這個例子的所求是9,要怎模聯想到一般式為3m-k-n呢?
謝謝
作者: thepiano    時間: 2017-5-23 08:07     標題: 回復 44# anyway13 的帖子

在第 30 樓,有 cefepime 老師的妙解,請參考

以 42 樓的圖而言,它的 9 個線段指的是
AB、BE、EF、FC、CA、DB、DC、DE、DF

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-23 08:20 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2017-5-23 18:57     標題: 回復 45# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師的答覆,感謝您
作者: cefepime    時間: 2017-5-26 23:44

計算證明題 1.

關於結論的預測:

令 π(x) 表示不大於正實數 x 的質數個數。如在該數列中,不存在 2017 個連續項都是合數,則當 x 趨近 ∞,π(x) /x 將恆大於某正數 k (例如:取 k = 1/20171),這個結果與 "質數定理" 矛盾。

(另,本題如果僅用以上推論作答,不知可否得分?)








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