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標題: 106新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: johncai 時間: 2017-5-14 16:11 標題: 106新北市高中聯招

如題

作者: thepiano 時間: 2017-5-14 18:10

計算證明第 1 題

出這題應是向波蘭數學家 Wacław Sierpiński 致敬

此題出自他的大作 "250 Problems in Elementary Number Theory" 一書中的第 61 題

以下連結中有 PDF 檔
http://www.isinj.com/mt-usamo/25 ... pinski%20(1970).pdf

作者: weiye 時間: 2017-5-14 21:00

順便附上 pdf 檔，如附件。

附件: 106新北聯招_試題及答案.pdf (2017-5-14 21:00, 244.95 KB) / 該附件被下載次數 11836
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4079&k=5d5c782852db4a72d2b24baf1b8d35ea&t=1713981181

作者: pork0524 時間: 2017-5-14 23:49

計算第一題

此等差數列可看成是{ 5k+6 } 的形式。

考慮 k=10萬 !

則考慮以下此數列的連續2017個數： 5k+6 , 5(k+1)+6 ,...............,5(k+2016)+6

顯然每個數都是合數。 (其實k不用取到10萬! ，取大點方便而已)

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 05:40

計算第 2 題
P 點有以下 16 種情形
(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)
(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)
(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)
(8，1)、(8，2)、(8，3)、(8，4)

以 P(2，1) 為例，邊界上的 10 個點依順時針方向可取
(0，0)、(0，5)、(2.5，5)、(5，5)、(7.5，5)、(10，5)、(10，3.75)、(10，2.5)、(10，1.25)、(10，0)

作者: son249 時間: 2017-5-15 06:51

請教填充9，12

作者: son249 時間: 2017-5-15 06:52

填充10

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 07:31 標題: 回復 7# son249 的帖子

填充第10題
1號球有3種丟法，2號到12號球各有2種丟法
所求\(=3\times {{2}^{11}}-6=6138\)種方法
扣掉的6種是單號都丟一箱，雙號都丟另一箱

作者: eyeready 時間: 2017-5-15 08:45

填充 9 106師大填充7 有相似題
第12題表示法有唯一嗎？不知道這樣的列法有否不恰當之處呢？

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-15 08:49 編輯 ]

圖片附件: image.jpg (2017-5-15 08:45, 1.22 MB) / 該附件被下載次數 7032
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4080&k=bd9a8f4e824175003be723d95767d889&t=1713981181

作者: eyeready 時間: 2017-5-15 09:20

填充8 (算得有些麻煩@@")
PS：106 麗山師大都有出過類似題

111.6.3補充
已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC=\)　　　。
(111彰化女中，https://math.pro/db/thread-3649-1-1.html)

圖片附件: 螢幕快照 2017-05-15 上午9.20.06.png (2017-5-15 09:20, 66.91 KB) / 該附件被下載次數 7507
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4081&k=6d129b2619a2893d7451c5233be13160&t=1713981181

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 09:28 標題: 回復 6# son249 的帖子

填充第 9 題
兩焦點為 A(-2，0)，A'(2，0)
PA + PB ≦ PA + PA' + A'B = 2a + A'B = 12 + 10 = 22
即 P 點是直線 A'B 和橢圓在第三象限的交點

作者: laylay 時間: 2017-5-15 10:19 標題: 填充8.

PA/sin80度=PB/sinPAB
PB/sin10度=PC/sin20度
PC/sinPAC=PA/sin30度
上面三式相乘得sinPACsin80度sin10度=sinPABsin20度/2（A）
因為sin80度=cos10度,cos10度sin10度=sin20度/2
=>sinPAC=sinPAB,又PAC+PAB<180度=>PAC=PAB=40度/2=20度
=>APC=180度-30度-20度=130度
由(A) 以後要馬上看出兩組三錯角正弦之積必相等

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:17 編輯 ]

作者: yinchou 時間: 2017-5-15 11:25 標題: 填充6

不失一般性可設\(xf(x)=a(x-1)(x-2)\ldots(x-2018)+1\)
則以\(x=0\)代入\(0=a \times 2018!+1\)，\( \displaystyle a=-\frac{1}{2018!} \)
故\( \displaystyle 2020f(2020)=-\frac{1}{2018!}\times 2019!+1 \)
\( \displaystyle f(2020)=-\frac{2018}{2020}=-\frac{1009}{1010} \)

作者: 米斯蘭達 時間: 2017-5-15 13:31

請教第三題、第五題

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 13:42

填充第 8 題
純幾何解

圖片附件: 20170515.jpg (2017-5-15 13:42, 49.99 KB) / 該附件被下載次數 4120
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4083&k=6b4b7cc5fc99658ef1b349ce2297ddd2&t=1713981181

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 13:51 標題: 回復 14# 米斯蘭達的帖子

填充第3題
\(\begin{align}
& {{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}-28{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=0 \\
& {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-28+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{3}}}=0 \\
& x+\frac{1}{x}=t \\
& \left( {{t}^{3}}-3t \right)+\left( {{t}^{2}}-2 \right)+t-28=0 \\
& {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-30=0 \\
& t=3 \\
& x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\)

作者: laylay 時間: 2017-5-15 14:43 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

請問您圖中D點最先是怎麼產生的?

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 14:45 標題: 回復 14# 米斯蘭達的帖子

填充第5題
以\(\displaystyle a=2\cos \frac{2\pi }{7},b=2\cos \frac{4\pi }{7},c=2\cos \frac{6\pi }{7}\)為三根之方程式為\({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x-1=0\)
參考https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid15215
\(\begin{align}
& a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c} \\
& =a+b+c+\frac{ab+bc+ca}{abc} \\
& =-\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2}{4}}{\frac{1}{8}} \\
& =-\frac{9}{2} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 14:46 標題: 回復 17# laylay 的帖子

以AB為邊，作正△DAB

作者: laylay 時間: 2017-5-15 15:56 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

謝謝您，若在題目中10改12,20改24,
80改78,幾何還好做嗎?
此時由兩組錯角正弦之積會相等知
sinPACsin78度sin12度＝sinPABsin24度sin30度
＝>PAC＝PAB＝18度＝>APC＝132度。

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 21:27 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2017-5-15 21:10 標題: 回復 20# laylay 的帖子

這樣改，純幾何就很難囉
其實您用的是角元塞瓦定理
\(\frac{\sin BAP}{\sin PAC}\times \frac{\sin ACP}{\sin PCB}\times \frac{\sin CBP}{\sin PBA}=1\)

作者: laylay 時間: 2017-5-15 21:39 標題: 回復 21# thepiano 的帖子

您真博學,我不知有此定理,角元塞瓦定理有提到D,E,F,我所提的用不到,而且很輕易的推廣到凸n邊形內部一點P,兩組n個錯角正弦之積必相等.

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-15 22:19 編輯 ]

作者: eyeready 時間: 2017-5-15 21:49 標題: 回復 12# laylay 的帖子

獲益良多，謝謝laylay 師！

作者: weiye 時間: 2017-5-15 23:41

計算第二題：

扣除 \(A,B,C,D\) 四點，需在 \(\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}\) 四個線段分別取若干個等分點，

且按題意 \(P\) 到任兩個相鄰的等分點(含 \(A,B,C,D\))所連接的三角形面積皆相等，

由於 \(\triangle PAB+\triangle PCD\) 面積＝\(\triangle PAD+\triangle PBC\) 面積，

可知當且僅當滿足「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和＝\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和」即可達成題目要求，

所以，「\(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\) 上的等分點個數和＝\(\overline{AD}\) 與 \(\overline{BC}\) 上的等分點個數和＝３」

所求＝ \(H^2_3 \times H^2_3 = 4\times4 =16 \) 種情況，每種情況況恰可決定唯一的 \(P\) 點。

作者: tuhunger 時間: 2017-5-16 00:24 標題: 計算2 (補充瑋岳的解法)

如附件

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4085&k=1f1966dd8e39ed31ed7f8a2192ae33ce&t=1713981181

作者: tuhunger 時間: 2017-5-16 01:13 標題: 填充1,2,7,9

附件題號6 ,改正為7

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-16 12:47 編輯 ]

圖片附件: 67490.jpg (2017-5-16 01:13, 114.96 KB) / 該附件被下載次數 3742
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4086&k=e43aebac56808e55e77cc206d461125a&t=1713981181

作者: eyeready 時間: 2017-5-16 17:30 標題: 回復 26# tuhunger 的帖子

填充2 提供另解
\(
\displaystyle \frac{{C_4^{10} \times C_3^6 \times C_3^3 }}{{{\rm{2!}}}} - C_4^5 \times \frac{{C_3^6 \times C_3^3 }}{{2!}} - C_3^5 \times C_4^7 \times C_3^3 = 1700
\)

作者: tuhunger 時間: 2017-5-16 22:01 標題: 填充5

參考看看

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2017-5-17 08:26 編輯 ]

圖片附件: 5.png (2017-5-17 08:26, 25.03 KB) / 該附件被下載次數 3760
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4088&k=cd10ec35525d679048f918854c2297c4&t=1713981181

作者: tuhunger 時間: 2017-5-16 22:16 標題: 第10題

另外一個想法

圖片附件: 10.png (2017-5-16 22:16, 16.64 KB) / 該附件被下載次數 3651
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4089&k=b241d029f06bd08690dae24f415f1f50&t=1713981181

作者: cefepime 時間: 2017-5-16 23:48

回復 9# eyeready 的帖子

填充題 12

(一) 官方答案可用以下方式推得:

1. 原則上，一個 "兩線交點" 可以分別在所處的兩條直線上對應 2 條 "線段" (分別在該點兩側)，共 4 條; 而一個 "三線交點" 可以分別在所處的三條直線上對應 2 條 "線段"，共 6 條。

2. 但對於一直線上位於兩端的點，在沒有相鄰點的一側並無對應 "線段"，故應減去 2n。

3. 至此，每一條 "線段" 皆算了 2 次，故應再除以 2。

4. 綜上，所求 = [ 4*k + 6*(m - k) - 2n ] /2 = 3m - k - n

(二) eyeready 老師的方法，我認為也是正確的，基本上為:

1. 任一直線皆與其它 n-1 條直線相交。若交點皆相異，則在該直線上構成 n-2 條 "線段"。

2. 當存在一個 "三線交點" (即交點重合)，則與 "交點皆相異" 比較，該三條直線上的 "線段" 皆會少 1。

3. 綜上，所求 = n*(n - 2) - 3*(m - k) = n² - 2n - 3m + 3k

(三) 以上兩個答案會相等，因為:

1. 任二直線皆相交 1 次，故 n 條直線共相交 C(n, 2) 次。

2. 一個 "兩線交點" 代表相交 1 次，而一個 "三線交點" 代表相交 3 次，故有:

C(n, 2) = k + 3*(m - k)

⇒ n² - n = 6m - 4k ...(#)

把 (#) 式代入 (二) 的答案，即得 (一) 的答案。

因此，本題的答案可有無限多種。究其原因，是因為題目多給了非獨立的條件所致。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-23 22:56 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2017-5-17 00:41

填充題 5

如果沒有 thepiano 老師和 tuhunger 老師的功力，亦可直接用三角函數解:

1. 由對稱性，a + b + c = -1/2

2. 1/a + 1/b + 1/c = (ab + bc + ca) /abc

2-1. 由積化和差， ab + bc + ca = a + b + c = -1/2

2-2. 由 cos (kπ /n) 的連乘公式 (從複數導出)，abc = 1/8

故所求 = -9 /2

作者: eyeready 時間: 2017-5-17 07:51 標題: 回復 30# cefepime 的帖子

謝謝cefepime大精闢的分析和解說！

作者: oceanli 時間: 2017-5-17 11:45 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

請教大大，如何找到這16個點？感恩
另外想請教填充12，沒啥想法

作者: thepiano 時間: 2017-5-17 12:05 標題: 回復 33# oceanli 的帖子

扣掉 A、B、C、D 這 4 個點，還有 6 個點

先假設 AD 上有 0 個點，因底 AD = 5，高須為 2，面積才會是 5，故 P 在直線 x = 2 上
此時 △PBC = 20，故要分成 4 個三角形，在 BC 上取 3 個等分點

設 P(2，1)，△PAB = 5
△PCD = 20，故要分成 4 個三角形，在 CD 上取 3 個等分點

其餘的 15 個點，同上

作者: 小姑姑 時間: 2017-5-18 23:00

請教填充第4題，謝謝。

作者: laylay 時間: 2017-5-19 07:23 標題: 回復 35# 小姑姑的帖子

填充4.取CD為單位長=>AD=2,AB=3=>BD=ㄏ(9+4-2*3*2*cos60度)=ㄏ7
cosDBA=(7+9-4)/(2*3*ㄏ7)=2/ㄏ7
=> BF=(BD/2)/cosDBA=7/4 =>AF/AB=(5/4)/3=5/12

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-19 07:24 編輯 ]

作者: 小姑姑 時間: 2017-5-20 03:07

請教填充11。
先令直線L上的動點為P(t+1,t,ㄏ2t)
直接計算PA+PB
會有兩個根號內有二次函數
後面如何找最小值？

謝謝！

作者: eyeready 時間: 2017-5-20 10:34 標題: 回復 37# 小姑姑的帖子

請參閱

圖片附件: image.jpg (2018-5-29 05:26, 1.41 MB) / 該附件被下載次數 4480
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4097&k=b3576155eb8184ed0d112a39a12793d6&t=1713981181

作者: Chen 時間: 2017-5-21 15:10

填充12中，舉一例如下：
如圖，n=5，m=6，k=5，題目中所說的恰有兩條直線過k個交點，那兩條直線即為 L_1、L_2。

那麼答案顯然不是 3m-k-n = 8 ，答案是 9 才對。

是題意不清，還是我誤解題目的意思@@

圖片附件: P_20170521_150339.jpg (2017-5-22 00:07, 261.9 KB) / 該附件被下載次數 3871
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4099&k=6f3d1e35cd3b500361a17571dc64b1bb&t=1713981181

作者: thepiano 時間: 2017-5-21 16:55 標題: 回復 39# Chen 的帖子

您舉的這個例子，k 應等於 4

作者: Chen 時間: 2017-5-21 22:38 標題: 回復 40# thepiano 的帖子

可是這兩條直線共通過 5 個交點，應該是 k = 5

作者: thepiano 時間: 2017-5-22 05:37 標題: 回復 41# Chen 的帖子

題目是以點來看
圖上的 A、B、C、D 這 4 點都恰有兩條直線通過
圖上的 E、F 這 2 點都恰有三條直線通過

圖片附件: 20170522.jpg (2017-5-22 05:37, 242.48 KB) / 該附件被下載次數 4985
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4100&k=db8ae31e9ace3e4f268e48a5e9f3e337&t=1713981181

作者: Chen 時間: 2017-5-22 21:59 標題: 回復 24# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師給的答案，
但是我想，需要進一步確認16種情況的 P 都存在且這 16 個 P 彼此都不一樣才可以。
我驗證過(求出 P 的坐標)，確實是有 16 個可能的 P 沒錯。
(後來知有簡單的方法可看出，可不用確實將P的坐標求出來。)
覺得考試就算會寫這題，也需要相當多的時間。

另外，回42樓，謝謝 thepiano 老師的說明，我之前誤解題意了。

[ 本帖最後由 Chen 於 2017-5-24 01:21 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2017-5-23 00:07 標題: 回復 42# the piano 的帖子

請問鋼琴老師,題目上面所問的是說相鄰的交點,所圍成的線段有幾條?

理解成這樣:  對B點來說  相鄰的點只有A(2),E(3),D(2),C(2)
                  所以  這個例子的所求為 2+3+2+2=9
(A(2)表示通過A點的線段有兩條)
                  那麼對A點來說相鄰的點只有B(2),C(2),D(2)
                  所以  這個例子的所求為 2+2+2=6
如果是這樣, 就湊不出9

另外就算知道這個例子的所求是9,要怎模聯想到一般式為3m-k-n呢?
謝謝

作者: thepiano 時間: 2017-5-23 08:07 標題: 回復 44# anyway13 的帖子

在第 30 樓，有 cefepime 老師的妙解，請參考

以 42 樓的圖而言，它的 9 個線段指的是
AB、BE、EF、FC、CA、DB、DC、DE、DF

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-23 08:20 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2017-5-23 18:57 標題: 回復 45# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師的答覆,感謝您

作者: cefepime 時間: 2017-5-26 23:44

計算證明題 1.

關於結論的預測:

令 π(x) 表示不大於正實數 x 的質數個數。如在該數列中，不存在 2017 個連續項都是合數，則當 x 趨近 ∞，π(x) /x 將恆大於某正數 k (例如:取 k = 1/20171)，這個結果與 "質數定理" 矛盾。

(另，本題如果僅用以上推論作答，不知可否得分?)

作者: oceanli 時間: 2017-6-28 13:45

填充12

106.6.28版主補充
將圖轉正

圖片附件: 1498628665899-78302832.jpg (2017-6-28 14:20, 580.51 KB) / 該附件被下載次數 4601
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4207&k=73f40f382863faca3ce866be629424c8&t=1713981181

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