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標題: 106高雄女中(相同主題合併討論) [打印本頁]

作者: eyeready    時間: 2017-4-30 14:57     標題: 106高雄女中(相同主題合併討論)

今天剛考的 106 雄女第一題

p和q可以透過琴生不等式得到,但是q和r怎麼比大小呢?
\(
3 < \alpha < \beta < 4
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle p = \log _2 \sqrt[3]{{\alpha \beta ^2 }} \\
\displaystyle q = \log _2 \frac{{\alpha + 2\beta }}{3} \\
\displaystyle r= 2^{\frac{{\alpha + 2\beta }}{3} - 3}  \\
\end{array}
\)
作者: thepiano    時間: 2017-4-30 17:14     標題: 回復 1# eyeready 的帖子

令\(x=\frac{\alpha +2\beta }{3}\)
\(\begin{align}
  & 3<x<4 \\
& 1<\frac{\log 3}{\log 2}<q<2 \\
& 1<r<2 \\
\end{align}\)
畫圖可知\(q>r\)
作者: eyeready    時間: 2017-4-30 18:06     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

哦哦!原來是看範圍變動判別,謝謝thepiano,小弟一直想說是不是要用其他的不等式來代換
\(
那答案應該是 q > p > r (小弟檔案壓縮,有需要的可以自行調整參數)
\)



[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-30 22:09 編輯 ]

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作者: james2009    時間: 2017-4-30 21:52     標題: 回復 3# eyeready 的帖子

小弟不才
想請教q,p什麼時候等號成立?
先跟老師道謝!
作者: eyeready    時間: 2017-4-30 22:08     標題: 回復 4# james2009 的帖子

根據琴生不等式,等號成立在於
\(
\alpha=\beta=\beta
\)
那應該沒有等號才是!
PS:小弟剛剛僅用GGB檢驗(差距太小,電腦就視為相同值了),就忘了檢驗等號成立條件,感謝瑋仔的提醒!
作者: pretext    時間: 2017-4-30 22:08     標題: 回復 4# james2009 的帖子

其實我也有這個疑惑
因為我覺得應該是不會有等號
作者: james2009    時間: 2017-4-30 22:45     標題: 回復 5# eyeready 的帖子

eyeready老師客氣了!
另外,其實我是用算幾不等式做的!
對於詹森不等式其實不熟...
還以為是自己考慮的因素太少....
不過,總算解決疑惑了!!
感謝樓上老師們!
(繼續回憶題目去
作者: 米斯蘭達    時間: 2017-4-30 23:00     標題: 106雄女記憶有缺失版

如附件,希望板友一起補齊,感謝!!!
106雄女.pdf (253.19 KB)

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作者: eyeready    時間: 2017-4-30 23:08     標題: 回復 1# 米斯蘭達 的帖子

有一個是証明
\(
用和差角証明\cos 3\theta=4\cos ^3 \theta-3\cos \theta
再用另證再證一次
\)

再一題
\(
給定 y \ge |3x|+|x - 1|+|x - 2|,找目標函數f(x,y) = y - mx在其範圍內,最小值發生在端點上時,m的範圍?
\)


小弟大概記得的就這樣了!

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-30 23:15 編輯 ]
作者: 5pn3gp6    時間: 2017-5-1 00:33

第一題log的,q,r 可以用\(\log_2 x\) 和 \(2^{x-3}\)(把\(2^x\)往右平移3單位)去看

x=3時,\(\log_2 3\,>\,1=2^{3-3}\)

x=4時,\(\log_2 4\,=\,2=2^{4-3}\)

再稍微畫個圖,p,q,r的大小關係就非常明顯了
如圖,p在紫色線段上 所以 q > p > r 
 
補充兩題:
第6題嗎?
設 \(a_n\) 為費波納係數列\(a_1=1,a_2=1\),\(i=\sqrt{-1}\),

試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2017} i^{2017-a_n}\)
 
第10題?

ABCD為一凸四邊形,設M為兩對角線的交點,P為三角形ADM的重心,Q為三角形BCM的重心,R為三角形ABM的垂心,S為三角形CDM的垂心。
試證 PQ垂直RS

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2017-5-1 00:47 編輯 ]

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作者: james2009    時間: 2017-5-1 00:47     標題: 回復 8# 米斯蘭達 的帖子

檔案中第6題:
數據如下
\(\displaystyle\sum_{i =1}^{10}x_{i}=70,\sum_{i =1}^{10}y_{i}=50,\sum_{i =1}^{10}x_{i}^{2}=1490,\sum_{i =1}^{10}x_{i}y_{i}=420\)

[ 本帖最後由 james2009 於 2017-5-1 02:27 編輯 ]
作者: zidanesquall    時間: 2017-5-1 09:03

有一個正方形舞台,邊長為10公分,在四個頂點上架設兩個以對角線為直徑的半圓,交點在舞台中心點的正上方。
將鐵絲網佈滿後形成一個鳥籠,請以切片法的方式計算出此鳥籠的體積為何?
作者: eyeready    時間: 2017-5-1 14:16

複試58

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-1 14:17 編輯 ]
作者: SCCDCD    時間: 2017-5-2 06:36

感謝大家提供記憶中的題目
已將所有題目盡量完整重現key進電子檔

附件: 106年高雄女中.pdf (2017-5-2 06:36, 407.25 KB) / 該附件被下載次數 733
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作者: eyeready    時間: 2017-5-2 06:44     標題: 回復 14# SCCDCD 的帖子

小弟給SCCDCD 大大一個讚!
作者: eyeready    時間: 2017-5-2 14:18

小弟算的參考答案,有錯誤的地方還請提點一下,感恩^^

1 q>p>r
2 小弟另証為複數極式
3 \(- 5 < m < 5, 但m \ne 1,3 \) (感謝 thepiano 提供)
4 673
5 5.7
6 30
7 \((2a-b+3)(-a^3+2a-b+3)<0 \)
8\( \displaystyle \frac{{{\rm{1000}}\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{3}}} \) (感謝BambooLotns mathguy 提供)
9 (1)略 (2)0  (3)15/16
10 120° 或 60° (已更正)
11 thepiano大好像証過,但忘記了@@"
12 5

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-7 21:19 編輯 ]
作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 08:06     標題: 回復 16# eyeready 的帖子

可以請教第八鳥籠的積分嗎?
作者: mathguy    時間: 2017-5-3 10:33     標題: 奇怪,我的鳥籠答案eyeready 答案有異

1000根號2/3,抱歉,不會發圖,留給別人幫忙。

[ 本帖最後由 mathguy 於 2017-5-3 10:42 編輯 ]
作者: BambooLotus    時間: 2017-5-3 10:53

我跟mathguy答案是一樣的

作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 12:01     標題: 回復 19# BambooLotus 的帖子

我的想法是用正方形堆疊

從中間切一個正方形,面積是\((\sqrt{2}r)^2\),再把這個面積從底部積到頂部

所以變成 \(\displaystyle\int_{0}^{5\sqrt{2}}2r^2dr=\frac{500}{3}\sqrt{2}\)
作者: eyeready    時間: 2017-5-3 13:23     標題: 回復 20# zidanesquall 的帖子

是小弟算錯了> <
PS:另想請問第三題,等號成立是否滿足題意呢?

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-3 13:33 編輯 ]

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作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 13:37     標題: 回復 21# eyeready 的帖子

疑...我的怎麼還是會少一倍...XDD

不好意思,想請教一下我的想法哪邊有沒有注意到的嗎?

平行舞台從中間切一塊面積

如果以對角線的半徑當作\(r\),那正方形的邊長就是\(\sqrt{2}r\),則面積就是\(2r^2\)

這樣子把高度積起來,就是體積了!

但是就是少了一倍...
作者: eyeready    時間: 2017-5-3 13:38     標題: 回復 20# zidanesquall 的帖子

您積分的函數不是題目要求的圖形,會變成正四角錐了
作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 13:57     標題: 回復 23# eyeready 的帖子

感謝!知道盲點在哪裡了!
作者: valkyriea    時間: 2017-5-4 08:05     標題: 回復 21# eyeready 的帖子

原題目:「取得最小值的點只可能在端點。」
根據這句話,我認為等號不能成立。
若m=5 or -5,那最小值就不只在端點才發生了。
作者: eyeready    時間: 2017-5-4 09:55     標題: 回復 25# valkyriea 的帖子

謝謝Valkyriea 的回應!小弟從您身上也學習到不少妙招!
作者: thepiano    時間: 2017-5-4 12:11     標題: 回復 25# valkyriea 的帖子

第 3 題
答案應是 -5 < m < 1,1 < m < 3,3 < m < 5
作者: eyeready    時間: 2017-5-4 15:58     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

thepiano大好細心,小弟還要多加油才行!
作者: james2009    時間: 2017-5-4 22:17     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

請問鋼琴老師:
題目給的目標函數是 \(\displaystyle f(x)=y-mx\)
所以答案應該是 \(\displaystyle -5<m<-3,-3<m<-1,-1<m<5\)
不知道我這樣理解是不是有錯誤?
作者: thepiano    時間: 2017-5-5 08:36     標題: 回復 29# james2009 的帖子

目標函數是 f(x,y) = y - mx
這裡的 f(x,y) 在 x 和 y 代入後是一個常數
故斜率為 m 才對
作者: eyeready    時間: 2017-5-5 10:17     標題: 回復 29# james2009 的帖子

\( 在m=-1,-3時在(0,3)有最小值 \)

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作者: YAG    時間: 2017-5-5 12:14     標題: 回復 16# eyeready 的帖子

請問 第10題 60度那題,謝謝。
作者: shamath    時間: 2017-5-5 12:31     標題: 第一題

不用算幾不等式的話也可以使用函數的凹凸特性來解決

step 1:
因為\(\displaystyle \log_2{x}\)是一凹函數,所以

\(\displaystyle \log_2{\frac{a+2b}{3}} \geq \frac{\log_2{a}+2\log_2{b}}{3}=\log_2{\sqrt[3]{ab^2}}\)

而等號僅成立在\(\displaystyle a=b\)時,所以在本題前提下等號不成立。

step 2:
接著比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{3 \cdot 3^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3}\),前者的值大於1,因此前者大於後者。

比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{4 \cdot 4^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3}\),兩者的值皆為2,相等。

step 3:
對於介於\(\displaystyle (3,4) \)的\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}\),存在唯一的實數\(\displaystyle \alpha \in (0,1)\)使得
\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}=\alpha \cdot 3+(1-\alpha) \cdot 4\)
因此
\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} = \frac{\log_2{a}+2 \log_2{b}}{3} \geq \alpha \log_2{3} + (1- \alpha) \log_2{4}\)
(因為\(\displaystyle (a,b) \subset [3,4]\)且\(\displaystyle \log_2{x}\)為凹)

step 4:
因為\(\displaystyle 2^{x-3}\)是一凸函數,承上步做法,得到

\(\displaystyle \alpha \cdot 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3} + (1-\alpha) \cdot 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3} \geq \frac{2^{\frac{a+2 \cdot a}{3}-3}+2 \cdot 2^{\frac{b+2 \cdot b}{3}-3}}{3} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\)

由第2、3步得知,\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\),

且等號僅成立在\(\displaystyle a=b=4\),此題前提下等號不成立

故答案為\(\displaystyle q>p>r\)
作者: eyeready    時間: 2017-5-5 13:52     標題: 回復 32# YAG 的帖子

請參考!(最近在忙複試的資料,第三部分有空再想了,抱歉)


PS:感謝shamath 大大精闢的解說 ~^_^~ (功力相當深厚呢!)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-6 00:33 編輯 ]

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作者: tommy10127    時間: 2017-5-5 16:56     標題: 回復 34# eyeready 的帖子

請問為什麼向量AO・向量AH=向量AO・向量AO,不太了解
作者: james2009    時間: 2017-5-5 17:03     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師.eyeready老師

我知道盲點在哪了!!
作者: valkyriea    時間: 2017-5-6 22:50     標題: 回復 32# YAG 的帖子

剛好在網路上看到適當的解法,
分享給各位。
如附件

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作者: thepiano    時間: 2017-5-6 23:38

第 11 題
O、E、F 分別是 AC、AD、BC 的中點

OE 平行 CD,直線 MR 垂直 CD
OE 和 MR 垂直
同理,直線 OF 和 MS 垂直
∠EOF = ∠RMS

AB / MS = tan∠AMB = tan∠CMD = CD / MR
OF / OE = AB / CD = MS / MR
△EOF 和 △RMS 相似
由旋轉,EF 和 RS 垂直

而 PQ 和 EF 平行
故 PQ 和 RS 垂直

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-7 08:45 編輯 ]

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作者: eyeready    時間: 2017-5-7 19:27     標題: 回復 37# valkyriea 的帖子

感謝valkyriea師的分享和thepiano大的神解,小弟另外再補充一下鈍角的情形
(尤拉線解法,小弟第三點想不出來,就放棄好了XD)

已知三角形ABC中各角度皆非90°,且垂心為H,外心為O,若\( \overline {{\rm{AO}}} {\rm{ = }}\overline {{\rm{AH}}} \),則∠A=?
[解]
Case 1:當∠A為銳角時

Case2:當∠A為鈍角時


[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-7 21:42 編輯 ]
作者: litlesweetx    時間: 2017-5-20 08:11

請問12題算完底面ABC三邊長
再來要怎麼求高呢?
還是有其他算法嗎?
作者: eyeready    時間: 2017-5-20 09:10     標題: 回復 40# litlesweetx 的帖子

請參閱

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-20 09:15 編輯 ]

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作者: cefepime    時間: 2017-5-28 00:31

11. 凸四邊形 ABCD 對角線相交於 M 點 (彼此不垂直),P,Q 分別為 △AMD,△BMC 的重心,R,S 分別為 △CMD,△AMB 的垂心。試證明 PQ ⊥ RS。

另證: 利用向量內積證明垂直 -- 以 M 點為媒介。

借用 38#  thepiano 老師的圖 (先致謝),以下所述皆指 "向量"。

PQ = MQ - MP = (1/3)*(MB + MC - MA - MD) = (1/3)*(AB + DC)

RS = MS - MR

以下欲證 PQ.RS = 0

⇐ (AB + DC).(MS - MR) = 0

⇐ DC.MS = AB.MR

∵ DC 與 MS 的夾角 = AB 與 MR 的夾角,且 |DC|*|MS| = |DC|*|AB|*|cot∠AMB| = |AB|*|MR|

∴ 待證結果成立


作者: cefepime    時間: 2017-5-29 15:11

12. 四面體 OABC,其中 OA = 3,OB = 4,OC = 5,∠AOB = 45˚,∠AOC = 45˚,∠BOC = 60˚,求四面體體積。


另解: 借用 40# eyeready 老師的圖 (先致謝)

無論欲用 "底面積-高" 或 "向量內外積公式" 求體積,只要求出 OA 與 △OBC 的夾角 θ (圖中的∠AOH) 就簡明了。

利用 cosθ * cos30˚ = cos45˚  (註)

⇒ cosθ = √2 /√3

利用 底面積-高 或 向量公式,所求 = (OA *OB *OC *sin60˚ *sinθ) /6 = 5


註: 當 (A,O,H 所在平面) ⊥ (C,O,H 所在平面) 時成立,式中角度皆銳角時,易由三垂線定理體會。






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