標題: 106高雄女中 [打印本頁]

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作者: eyeready    時間: 2017-4-30 14:57     標題: 106高雄女中

今天剛考的 106 雄女第一題

p和q可以透過琴生不等式得到，但是q和r怎麼比大小呢？
\(
3 < \alpha < \beta < 4
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle p = \log _2 \sqrt[3]{{\alpha \beta ^2 }} \\
\displaystyle q = \log _2 \frac{{\alpha + 2\beta }}{3} \\
\displaystyle r= 2^{\frac{{\alpha + 2\beta }}{3} - 3}  \\
\end{array}
\)

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作者: thepiano    時間: 2017-4-30 17:14     標題: 回復 1# eyeready 的帖子

令\(x=\frac{\alpha +2\beta }{3}\)
\(\begin{align}
  & 3<x<4 \\
& 1<\frac{\log 3}{\log 2}<q<2 \\
& 1<r<2 \\
\end{align}\)
畫圖可知\(q>r\)

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作者: eyeready    時間: 2017-4-30 18:06     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

哦哦！原來是看範圍變動判別，謝謝thepiano，小弟一直想說是不是要用其他的不等式來代換
\(
那答案應該是 q > p > r (小弟檔案壓縮，有需要的可以自行調整參數)
\)



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作者: james2009    時間: 2017-4-30 21:52     標題: 回復 3# eyeready 的帖子

小弟不才
想請教q,p什麼時候等號成立?
先跟老師道謝!

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作者: eyeready    時間: 2017-4-30 22:08     標題: 回復 4# james2009 的帖子

根據琴生不等式，等號成立在於
\(
\alpha=\beta=\beta
\)
那應該沒有等號才是！
PS：小弟剛剛僅用GGB檢驗(差距太小，電腦就視為相同值了)，就忘了檢驗等號成立條件，感謝瑋仔的提醒！

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作者: pretext    時間: 2017-4-30 22:08     標題: 回復 4# james2009 的帖子

其實我也有這個疑惑
因為我覺得應該是不會有等號

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作者: james2009    時間: 2017-4-30 22:45     標題: 回復 5# eyeready 的帖子

eyeready老師客氣了!
另外,其實我是用算幾不等式做的!
對於詹森不等式其實不熟...
還以為是自己考慮的因素太少....
不過,總算解決疑惑了!!
感謝樓上老師們!
(繼續回憶題目去

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作者: 米斯蘭達    時間: 2017-4-30 23:00     標題: 106雄女記憶有缺失版

如附件，希望板友一起補齊，感謝!!!

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作者: eyeready    時間: 2017-4-30 23:08     標題: 回復 1# 米斯蘭達 的帖子

有一個是証明
\(
用和差角証明\cos 3\theta=4\cos ^3 \theta-3\cos \theta
再用另證再證一次
\)

再一題
\(
給定 y \ge |3x|+|x - 1|+|x - 2|，找目標函數f(x,y) = y - mx在其範圍內，最小值發生在端點上時，m的範圍？
\)


小弟大概記得的就這樣了！

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-30 23:15 編輯 ]

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作者: 5pn3gp6    時間: 2017-5-1 00:33

第一題log的，q,r 可以用\(\log_2 x\) 和 \(2^{x-3}\)(把\(2^x\)往右平移3單位)去看

當x=3時，\(\log_2 3\,>\,1=2^{3-3}\)

當x=4時，\(\log_2 4\,=\,2=2^{4-3}\)

再稍微畫個圖，p,q,r的大小關係就非常明顯了
如圖，p在紫色線段上　所以　q > p > r　
　
補充兩題：
第6題嗎?
設 \(a_n\) 為費波納係數列\(a_1=1,a_2=1\)，\(i=\sqrt{-1}\)，

試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2017} i^{2017-a_n}\)
　
第10題?

ABCD為一凸四邊形，設M為兩對角線的交點，P為三角形ADM的重心，Q為三角形BCM的重心，R為三角形ABM的垂心，S為三角形CDM的垂心。
試證　PQ垂直RS

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作者: james2009    時間: 2017-5-1 00:47     標題: 回復 8# 米斯蘭達 的帖子

檔案中第6題:
數據如下
\(\displaystyle\sum_{i =1}^{10}x_{i}=70,\sum_{i =1}^{10}y_{i}=50,\sum_{i =1}^{10}x_{i}^{2}=1490,\sum_{i =1}^{10}x_{i}y_{i}=420\)

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作者: zidanesquall    時間: 2017-5-1 09:03

有一個正方形舞台，邊長為10公分，在四個頂點上架設兩個以對角線為直徑的半圓，交點在舞台中心點的正上方。
將鐵絲網佈滿後形成一個鳥籠，請以切片法的方式計算出此鳥籠的體積為何？

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作者: eyeready    時間: 2017-5-1 14:16

複試58

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作者: SCCDCD    時間: 2017-5-2 06:36

感謝大家提供記憶中的題目
已將所有題目盡量完整重現key進電子檔

附件: 106年高雄女中.pdf (2017-5-2 06:36, 407.25 KB) / 該附件被下載次數 6182
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作者: eyeready    時間: 2017-5-2 06:44     標題: 回復 14# SCCDCD 的帖子

小弟給SCCDCD 大大一個讚！

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作者: eyeready    時間: 2017-5-2 14:18

小弟算的參考答案，有錯誤的地方還請提點一下，感恩^^

1 q>p>r
2 小弟另証為複數極式
3 \(- 5 < m < 5, 但m \ne 1,3 \) (感謝 thepiano 提供)
4 673
5 5.7
6 30
7 \((2a-b+3)(-a^3+2a-b+3)<0 \)
8\( \displaystyle \frac{{{\rm{1000}}\sqrt {\rm{2}} }}{{\rm{3}}} \) (感謝BambooLotns mathguy 提供)
9 (1)略 (2)0  (3)15/16
10 120° 或 60° (已更正)
11 thepiano大好像証過，但忘記了@@"
12 5

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作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 08:06     標題: 回復 16# eyeready 的帖子

可以請教第八鳥籠的積分嗎？

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作者: mathguy    時間: 2017-5-3 10:33     標題: 奇怪，我的鳥籠答案eyeready 答案有異

1000根號2/3，抱歉，不會發圖，留給別人幫忙。

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作者: BambooLotus    時間: 2017-5-3 10:53

我跟mathguy答案是一樣的
\(r\)為正方形對角線的一半，\(\displaystyle r=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\)
所求為\(\displaystyle \int_0^r \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\times 2 \sqrt{r^2-x^2}\right)^2dx=\frac{4}{3}r^3=\frac{1000}{3}\sqrt{2}\)

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作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 12:01     標題: 回復 19# BambooLotus 的帖子

我的想法是用正方形堆疊

從中間切一個正方形，面積是\((\sqrt{2}r)^2\)，再把這個面積從底部積到頂部

所以變成 \(\displaystyle\int_{0}^{5\sqrt{2}}2r^2dr=\frac{500}{3}\sqrt{2}\)

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作者: eyeready    時間: 2017-5-3 13:23     標題: 回復 20# zidanesquall 的帖子

是小弟算錯了> <
PS：另想請問第三題，等號成立是否滿足題意呢？

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作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 13:37     標題: 回復 21# eyeready 的帖子

疑...我的怎麼還是會少一倍...XDD

不好意思，想請教一下我的想法哪邊有沒有注意到的嗎？

平行舞台從中間切一塊面積

如果以對角線的半徑當作\(r\)，那正方形的邊長就是\(\sqrt{2}r\)，則面積就是\(2r^2\)

這樣子把高度積起來，就是體積了！

但是就是少了一倍...

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作者: eyeready    時間: 2017-5-3 13:38     標題: 回復 20# zidanesquall 的帖子

您積分的函數不是題目要求的圖形，會變成正四角錐了

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作者: zidanesquall    時間: 2017-5-3 13:57     標題: 回復 23# eyeready 的帖子

感謝！知道盲點在哪裡了！

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作者: valkyriea    時間: 2017-5-4 08:05     標題: 回復 21# eyeready 的帖子

原題目：「取得最小值的點只可能在端點。」
根據這句話，我認為等號不能成立。
若m=5 or -5，那最小值就不只在端點才發生了。

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作者: eyeready    時間: 2017-5-4 09:55     標題: 回復 25# valkyriea 的帖子

謝謝Valkyriea 的回應！小弟從您身上也學習到不少妙招！

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作者: thepiano    時間: 2017-5-4 12:11     標題: 回復 25# valkyriea 的帖子

第 3 題
答案應是 -5 ＜ m ＜ 1，1 ＜ m ＜ 3，3 ＜ m ＜ 5

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作者: eyeready    時間: 2017-5-4 15:58     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

thepiano大好細心，小弟還要多加油才行！

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作者: james2009    時間: 2017-5-4 22:17     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

請問鋼琴老師:
題目給的目標函數是 \(\displaystyle f(x)=y-mx\)
所以答案應該是 \(\displaystyle -5<m<-3,-3<m<-1,-1<m<5\)
不知道我這樣理解是不是有錯誤?

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作者: thepiano    時間: 2017-5-5 08:36     標題: 回復 29# james2009 的帖子

目標函數是 f(x，y) = y - mx
這裡的 f(x，y) 在 x 和 y 代入後是一個常數
故斜率為 m 才對

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作者: eyeready    時間: 2017-5-5 10:17     標題: 回復 29# james2009 的帖子

\( 在m=-1,-3時在(0,3)有最小值 \)

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作者: YAG    時間: 2017-5-5 12:14     標題: 回復 16# eyeready 的帖子

請問 第10題 60度那題，謝謝。

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作者: shamath    時間: 2017-5-5 12:31     標題: 第一題

不用算幾不等式的話也可以使用函數的凹凸特性來解決

step 1:
因為\(\displaystyle \log_2{x}\)是一凹函數，所以

\(\displaystyle \log_2{\frac{a+2b}{3}} \geq \frac{\log_2{a}+2\log_2{b}}{3}=\log_2{\sqrt[3]{ab^2}}\)

而等號僅成立在\(\displaystyle a=b\)時，所以在本題前提下等號不成立。

step 2:
接著比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{3 \cdot 3^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3}\)，前者的值大於1，因此前者大於後者。

比較\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{4 \cdot 4^2}}\)和\(\displaystyle 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3}\)，兩者的值皆為2，相等。

step 3:
對於介於\(\displaystyle (3,4) \)的\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}\)，存在唯一的實數\(\displaystyle \alpha \in (0,1)\)使得
\(\displaystyle \frac{a+2b}{3}=\alpha \cdot 3+(1-\alpha) \cdot 4\)
因此
\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} = \frac{\log_2{a}+2 \log_2{b}}{3} \geq \alpha \log_2{3} + (1- \alpha) \log_2{4}\)
(因為\(\displaystyle (a,b) \subset [3,4]\)且\(\displaystyle \log_2{x}\)為凹)

step 4:
因為\(\displaystyle 2^{x-3}\)是一凸函數，承上步做法，得到

\(\displaystyle \alpha \cdot 2^{\frac{3+2 \cdot 3}{3}-3} + (1-\alpha) \cdot 2^{\frac{4+2 \cdot 4}{3}-3} \geq \frac{2^{\frac{a+2 \cdot a}{3}-3}+2 \cdot 2^{\frac{b+2 \cdot b}{3}-3}}{3} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\)

由第2、3步得知，\(\displaystyle \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} \geq 2^{\frac{a+2b}{3}-3}\)，

且等號僅成立在\(\displaystyle a=b=4\)，此題前提下等號不成立

故答案為\(\displaystyle q>p>r\)

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作者: eyeready    時間: 2017-5-5 13:52     標題: 回復 32# YAG 的帖子

請參考！(最近在忙複試的資料，第三部分有空再想了，抱歉)


PS：感謝shamath 大大精闢的解說 ~^_^~ (功力相當深厚呢！)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-6 00:33 編輯 ]

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作者: tommy10127    時間: 2017-5-5 16:56     標題: 回復 34# eyeready 的帖子

請問為什麼向量AO・向量AH=向量AO・向量AO，不太了解

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作者: james2009    時間: 2017-5-5 17:03     標題: 回復 27# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師.eyeready老師

我知道盲點在哪了!!

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作者: valkyriea    時間: 2017-5-6 22:50     標題: 回復 32# YAG 的帖子

剛好在網路上看到適當的解法，
分享給各位。
如附件

附件: 2017050601.pdf (2017-5-6 22:50, 207.03 KB) / 該附件被下載次數 6531
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作者: thepiano    時間: 2017-5-6 23:38

第 11 題
O、E、F 分別是 AC、AD、BC 的中點

OE 平行 CD，直線 MR 垂直 CD
OE 和 MR 垂直
同理，直線 OF 和 MS 垂直
∠EOF = ∠RMS

AB / MS = tan∠AMB = tan∠CMD = CD / MR
OF / OE = AB / CD = MS / MR
△EOF 和 △RMS 相似
由旋轉，EF 和 RS 垂直

而 PQ 和 EF 平行
故 PQ 和 RS 垂直

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作者: eyeready    時間: 2017-5-7 19:27     標題: 回復 37# valkyriea 的帖子

感謝valkyriea師的分享和thepiano大的神解，小弟另外再補充一下鈍角的情形
(尤拉線解法，小弟第三點想不出來，就放棄好了XD)

已知三角形ABC中各角度皆非90°，且垂心為H，外心為O，若\( \overline {{\rm{AO}}} {\rm{ = }}\overline {{\rm{AH}}} \)，則∠A=？
[解]
Case 1：當∠A為銳角時

Case2：當∠A為鈍角時

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作者: litlesweetx    時間: 2017-5-20 08:11

請問12題算完底面ABC三邊長
再來要怎麼求高呢?
還是有其他算法嗎?

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作者: eyeready    時間: 2017-5-20 09:10     標題: 回復 40# litlesweetx 的帖子

請參閱

圖片附件: image.jpg (2017-5-20 09:15, 703 KB) / 該附件被下載次數 5880
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4096&k=ee549cb68d0bc80dea90a9a29c524957&t=1732544533

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作者: cefepime    時間: 2017-5-28 00:31

11. 凸四邊形 ABCD 對角線相交於 M 點 (彼此不垂直)，P，Q 分別為 △AMD，△BMC 的重心，R，S 分別為 △CMD，△AMB 的垂心。試證明 PQ ⊥ RS。

另證: 利用向量內積證明垂直 -- 以 M 點為媒介。

借用 38#  thepiano 老師的圖 (先致謝)，以下所述皆指 "向量"。

PQ = MQ - MP = (1/3)*(MB + MC - MA - MD) = (1/3)*(AB + DC)

RS = MS - MR

以下欲證 PQ．RS = 0

⇐ (AB + DC)．(MS - MR) = 0

⇐ DC．MS = AB．MR

∵ DC 與 MS 的夾角 = AB 與 MR 的夾角，且 |DC|*|MS| = |DC|*|AB|*|cot∠AMB| = |AB|*|MR|

∴ 待證結果成立

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作者: cefepime    時間: 2017-5-29 15:11

12. 四面體 OABC，其中 OA = 3，OB = 4，OC = 5，∠AOB = 45˚，∠AOC = 45˚，∠BOC = 60˚，求四面體體積。


另解: 借用 40# eyeready 老師的圖 (先致謝)

無論欲用 "底面積-高" 或 "向量內外積公式" 求體積，只要求出 OA 與 △OBC 的夾角 θ (圖中的∠AOH) 就簡明了。

利用 cosθ * cos30˚ = cos45˚  (註)

⇒ cosθ = √2 /√3

利用 底面積-高 或 向量公式，所求 = (OA *OB *OC *sin60˚ *sinθ) /6 = 5


註: 當 (A,O,H 所在平面) ⊥ (C,O,H 所在平面) 時成立，式中角度皆銳角時，易由三垂線定理體會。

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作者: france42    時間: 2019-1-16 14:25

想請教第七題 三條切線 a和b的關係式 感謝各位老師喔

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作者: anyway13    時間: 2020-2-1 14:09     標題: 請教第4題

版上老師好!

請問第四題 sigma 的足標是k=1到2017, 費波南希ㄧ般式求出是(1/根號5)((1+根號5)/2)^n+(1-根號5)/2)^n))

之後算到2017Xi^(2017-費波南希ㄧ般式)  請問哪裡做錯了,或是該怎麼做呢?

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作者: Lopez    時間: 2020-2-1 18:32     標題: 回復 44# france42 的帖子



抱歉,有一段打錯:
"上式三有個不等的實根" 應更正為 "上式有三個不等的實根"

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作者: thepiano    時間: 2020-2-1 22:18     標題: 回復 45# anyway13 的帖子

第 4 題
指數有 2017 個
mod 4 後是 0、0、3、2、0、1，六個一循環，有 336 組 + 1 個
故所求 = 2 * 336 + 1 = 673

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作者: anyway13    時間: 2020-2-1 23:45     標題: 回復 47# thepiano 的帖子

鋼琴老師您好!  謝謝答覆第四題

小弟資質愚鈍,把過程寫在pdf裡面,不知道哪裡誤解沒做對

麻煩指點迷津

附件: 第4題.pdf (2020-2-1 23:45, 114.2 KB) / 該附件被下載次數 5010
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5333&k=a7444cbf4043bead7241f86b7e819baf&t=1732544533

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作者: thepiano    時間: 2020-2-2 07:56     標題: 回復 48# anyway13 的帖子

倒數第二行應是
(2 - i) + 335(-1 + 1 + i + 1 + 1 - i) + (-1 + 1 + i + 1)

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作者: anyway13    時間: 2020-2-2 12:41     標題: 回復 49# thepiano 的帖子

鋼琴老師,知道哪裡做錯了,感謝您的指點

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作者: anyway13    時間: 2020-2-6 18:36     標題: 請教第6題

版上老師好,對於第六題提供的答案是30

計算過程如附件,不知道哪裡有做錯?

應該是有更簡單的做法

圖片附件: IMAG1227 (1).jpg (2020-2-6 18:39, 29.43 KB) / 該附件被下載次數 3645
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5352&k=f7aa3015e87400d34dc7772136c0fd7c&t=1732544533

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作者: thepiano    時間: 2020-2-6 21:59     標題: 回復 51# anyway13 的帖子

第 6 題
10 顆紅球排成一列有 11 個空隙
把 22 顆白球平分到 11 個空隙中，每個空隙 2 顆
所求 = （2 + 1）* 10 = 30

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作者: anyway13    時間: 2020-2-7 16:18     標題: 回覆#52 thepiano的帖子

謝謝鋼琴老師，這麼有效率的作法。

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作者: jeanvictor    時間: 2021-5-3 17:42     標題: 回復 41# eyeready 的帖子

想請問：為什麼投影點是角平分線?  謝謝~

自己回復：https://math.pro/db/thread-2082-1-1.html

證明秒懂~謝謝piano老師

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