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標題: 106師大附中 [打印本頁]

作者: thepiano 時間: 2017-4-26 11:20 標題: 106師大附中

參考附件

附件: 106 師大附中_答案.pdf (2017-4-26 11:20, 118.19 KB) / 該附件被下載次數 10203
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附件: 106 師大附中.pdf (2017-4-26 11:20, 239.02 KB) / 該附件被下載次數 10727
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3987&k=fbc92ddd926e5944ba28781b04207dd0&t=1714205757

作者: laylay 時間: 2017-4-26 13:20 標題: 填充 1.填

設\(a_n\)表傳球\(n\)次後球在林的方法數
則\( a_7+a_6=4^6 \)，\( a_6+a_5=4^5\) ......\(a_2+a_1=4^1\)，\(a_1=0 \)
=>\( a_7=4^6-4^5+4^4-4^3+4^2-4=3276 \)

作者: laylay 時間: 2017-4-26 19:36 標題: 計算4.

\(t^4-zt^3-yt-x=0 \)有\(a,b,c\)三根
=>\( \displaystyle t^4-zt^3-yt-x=(2t^3-2t^2+3t-1) \left( \frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right) \)
=>\( \displaystyle x=\frac{3}{4},y=-\frac{7}{4},z=-\frac{1}{2} \)

作者: eyeready 時間: 2017-4-26 20:13

填充1
感謝laylay老師的說明，小弟另外再補充個作法
題意所求可視為7個區塊(傳7次)，5種不同顏色(人)，相鄰區域不同色，因為必須傳給Lin，故最後一個區域必須固定，故除5
\(
\displaystyle \frac{{(5-1)^7 +(-1)^7(5-1)}}{5} = 3276
\)

填充6 除了三角函數硬爆外，大家有其他想法嗎？

填充7 當A、D、P共線時周長最大

填充8 答案錯了，應該是\(-2\)

填充13
\(
\displaystyle 一路領先問題 \frac{{C_{51}^{99+51-1+2} +C_{51-1}^{99+51-1+2} }}{{C_{51}^{150} }} = \frac{{151}}{{202}}
\)

計算6
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( {\frac{{a^2 }}{{a+3b}}+\frac{{b^2 }}{{a+3b}}+\frac{{b^2 }}{{b+3c}}+\frac{{c^2 }}{{b+3c}}+\frac{{c^2 }}{{c+3a}}+\frac{{a^2 }}{{c+3a}}} \right)\left( {a+3b+a+3b+b+3c+b+ 3c+c+3a+c+3a} \right) \\
\displaystyle \ge \left( {a + b + b + c + c + a} \right)^2 \\
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-27 10:30 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2017-4-27 10:27 標題: 填充5.

(3/13)*(6/10)(最後為白球)+(6/13)*(3/7)(最後為黑球)=153/455
建議再加5顆黃球,其他不變,有興趣的請討論看看

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-27 11:05 編輯 ]

作者: windin0420 時間: 2017-4-27 12:16

第一部分填充11

[ 本帖最後由 windin0420 於 2017-4-27 12:23 編輯 ]

圖片附件: 11.JPG (2017-4-27 12:20, 90.8 KB) / 該附件被下載次數 6543
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作者: g112 時間: 2017-4-27 16:42

想請問填充2.3.6.8.12
填充6...1/2的答案想不出來
填充8...半徑要怎麼算
剩下的完全沒想法
感謝

作者: pgcci7339 時間: 2017-4-27 18:42

填充12.

圖片附件: IMG_9124.JPG (2017-4-27 18:42, 643.13 KB) / 該附件被下載次數 6698
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3992&k=a19542097cd72e15818c4a2b2a00f648&t=1714205757

作者: thepiano 時間: 2017-4-27 19:46 標題: 回復 7# g112 的帖子

填充第3題
\( \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\)

\(\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right)=1\)，恆成立

\(\begin{align}
& \left( 2 \right)r>1 \\
& 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\
& 0\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{r-1}{3} \\
& 1\le f\left( x \right)\le \frac{r+2}{3} \\
& 1+1>\frac{r+2}{3} \\
& 1<r<4 \\
& \\
& \left( 3 \right)r<1 \\
& 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\
& \frac{r-1}{3}\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le 0 \\
& \frac{r+2}{3}\le f\left( x \right)\le 1 \\
& \frac{r+2}{3}>0 \\
& \frac{r+2}{3}+\frac{r+2}{3}>1 \\
& -\frac{1}{2}<r<1 \\
\end{align}\)

綜合以上，\(-\frac{1}{2}<r<4\)

作者: g112 時間: 2017-4-27 20:01

懂了,感謝鋼琴和pgcci7339兩位老師

作者: thepiano 時間: 2017-4-27 20:27 標題: 回復 7# g112 的帖子

填充第 6 題
在 △ADC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AD}}{\sin \theta }=\frac{\overline{AC}}{\sin \left( \pi -2\theta  \right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin \theta \cos \theta } \\
& \overline{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta } \\
\end{align}\)

在 △BDC 中，由正弦定理
\(\begin{align}
  & \frac{\overline{BD}}{\sin \left( \pi -2\theta -\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\overline{CD}}{\sin \frac{\pi }{3}} \\
& \frac{1}{\sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\cos \theta } \\
& \sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \theta  \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{2} \\
& \theta =\frac{\pi }{18}\ or\ \frac{\pi }{6} \\
& \sin 3\theta =\frac{1}{2}\ or\ 1 \\
\end{align}\)

作者: eyeready 時間: 2017-4-28 10:52 標題: 回復 10# g112 的帖子

請參閱
另想請教g112 兄填充10 您是怎麼算的呢？

填充8
\(
己知線段\overline {AB} 是以C(0,1)為圓心且與函數y = \frac{1}{{|x|-1}}的圖形有交點
\)
\(
的所有圓中半徑最小的圓的一條直徑，O為原點，則向量OA\) \(\cdot \)\(向量 OB？\)

\(如上圖所示，最小圓發生於相切時，可用判別式等於0求得半徑之值\)
\(
取右半圓x>0，設x^2+(y-1)^2=r^2代入\displaystyle y = \frac{1}{{|x|-1}}
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 可得r^2-(y-1)^2 = (\frac{1}{y}+1)^2整理完後得到
\displaystyle y^2-2y+2+\frac{2}{y}+\frac{1}{{y^2 }} =r^2
\end{array}
\)
\(
\displaystyle 再令t = y - \frac{1}{y},整理可得t^2-2t+4-r^2=0
\)
\(
因為最小圓相切恰一解，判別式=0，可得r^2=3，
可取A(0, - \sqrt 3+1)
\)
\(
B(0,\sqrt 3+1)求出所求為-2
(設參數式亦可)
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-28 21:50 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2017-5-4 21:37 標題: 回復 7# g112 的帖子

填充 2. 寫得有得長，前面是合理推測答案，後面是證明，順序有得亂，請見諒

\( 106^{106} = 53^{106} \times 2^{106} \)

重點在 53 這個質因數，當兩數模 53 同餘時，兩數相減會有53 這個因數。

因此我們將\( S_n \) 中的元素以模 53 來分類，各分類的元素個數記作 \( x_i \)，滿足 \( \sum x_i =n \)。

令 \( p = \sum \frac{x_i(x_i-1)}{2} \)，則 \( 53^p \) 整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)

而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數，因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。

當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 26 \), \( x_i =2 \), \( i =27,28,\dots 53 \) 時，\( p = 26\times 2 + 27 = 105 \)

取 \( S_n = \{1,2,3 \ldots 132 \} \)，此 \( S_n \) 滿足上行 \( x_i \)，且無 \( 53^2 \mid a_i - a_j \) 之情況，故 \( 53^{105} \) 整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)，但 \( 53^{106} \) 不整除 \( \prod\limits_{i\neq j} (a_i-a_j) \)。

因此 \( n > 132 \)。

當 \( x_i =3 \), \( i=1,2,3,\ldots, 27 \), \( x_i =2 \), \( i =28,29,\dots 53 \) 時，\( p = 27\times 2 + 26 = 107 \)

至此，可相信 \( n \) 之最小值為 \( 3\times 27 + 2\times 26 =133 \)

但證明部分尚缺「而函數 \( f(x) = \frac12 x(x-1) \) 是凸函數，因此 \( p \) "應"在 \( x_i \) 盡量接近時有最小值。」即最小值發生的情況正好是上上行，因為其餘情況，\( 53^{106} \) 必整除 \( \prod\limits_{i \neq j} (a_i-a_j) \)。

而最小值的證明，本等上與凸函數不等式相同，但在這裡 \( x_i \) 是非負整數，也就是離散版的。

運用反證法，假設有 \( x_i,  x_j \) 滿足 \( x_i \geq x_j +2 \)

易驗 \( \frac12 x_i(x_i-1) + \frac12 x_j(x_j-1) > \frac12 (x_i-1)(x_i-2) +\frac12 (x_j+1)x_j \)

因此我們將 \( x_i,  x_j \) 換成 \( x_i-1,  x_j+1 \)，可保持 \( n = \sum x_k \) 不變，但 \( p \) 的值更小。

因此當 \( p \) 達最小值時，任兩個 \( x_i,  x_j \) 必須滿足 \( |x_i -  x_j| \leq 1 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-8-6 14:20 編輯 ]

作者: eyeready 時間: 2017-5-10 17:29

第十題小弟試著用GGB繪圖會比較直觀一些
PS：想請教各位老師們Case 1 有沒有比較快的討論法呢？

[解]
Case1：正四面體邊長為6的相交情況

Case2：正四面體邊長為6根號3的相交情況

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-10 17:51 編輯 ]

作者: Chen 時間: 2017-5-17 15:46

請問4樓
填充7如何證明A,D,P共線時，周長最大。

作者: eyeready 時間: 2017-5-17 16:05 標題: 回復 15# Chen 的帖子

\(
\begin{array}{l}
\overline {AF} + \overline {PF} + \overline {PA} = \overline {AF} + \overline {PA} + (2a - \overline {PD} ) \\
= \overline {AF} + 2a + \overline {PA} - \overline {PD} \le \overline {AF} + 2a + \overline {AD} \\
\end{array}
\)
可知當P、A、D共線時有最大值
PS：106新北聯招有出類似題

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-17 16:38 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2017-5-17 23:58

填充題 13 另解:

公式: 某次選舉，甲得 m 票，乙得 n 票 (m ≥ n)，則開票過程中，甲的票數一路領先的機率 = (m - n) / (m + n)

本題所求為: 開票過程中，甲最多落後乙 1 票的機率 -- 仍可借助上列公式 (若求 "甲一路不落後的機率"，亦可)。

原理: 甲得 99 票、乙得 51 票，甲最多落後乙 1 票的方法數 = 甲得 101 票、乙得 51 票，甲一路領先的方法數。

解: [ C(152, 101)*(50 /152) ] / C(150, 99) = 151 /202

--------------------------------------

一般用方格圖解，則:

[ C(150, 99) - C(150, 101) ] / C(150, 99) = 151 /202

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-18 23:21 編輯 ]

作者: litlesweetx 時間: 2017-5-19 15:02

想請教計算4
有類似的題目嗎?
謝謝~

作者: yinchou 時間: 2017-5-19 15:34 標題: 回復 18# litlesweetx 的帖子

前面3#就有laylay老師的解答了
小弟把符號打好再貼一次

圖片附件: 106師大附中計算4.PNG (2017-5-19 15:34, 7.61 KB) / 該附件被下載次數 3876
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4094&k=2c8b326d7ec159e9c266415382256651&t=1714205757

作者: Chen 時間: 2017-5-20 18:39

請問有高手會證第二部分第5題嗎？！

我想好久，但還是證不嚴謹@@

作者: thepiano 時間: 2017-5-20 22:01 標題: 回復 20# Chen 的帖子

計算證明第 5 題
(1) 若 AB = AD，則 CD = BC，ABCD 是箏形，易知有內切圓

(2) 若 AB = BC，則 CD = AD，ABCD 是箏形，易知有內切圓

(3) 若 (1) 和 (2) 均不成立
不失一般性，設 AB ＞ AD，則 BC ＞ CD
在 AB 上取 AE = AD，在 BC 上取 CF = CD
則 △ADE、△BEF、△CDF 均為等腰三角形
設 O 為 △DEF 之外心，由全等，易知 O 到 AB、BC、CD、AD 之距離均相等
即 ABCD 有內切圓圓 O

圖片附件: 20170520.jpg (2017-5-20 22:01, 24.23 KB) / 該附件被下載次數 4625
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4098&k=61e9f2c83bdc17eb0e2b0f7793ddd013&t=1714205757

作者: Chen 時間: 2017-5-20 23:31

謝謝21樓

您的證明中這裡：「由全等，易知 O 到 AB、BC、CD、AD 之距離均相等」

我可看出 O 到 AB、AD 之距離相等且 O 到 BC、CD 之距離相等。

但是如何看出 O 到 AD、CD 之距離相等呢？？

作者: thepiano 時間: 2017-5-21 05:20 標題: 回復 22# Chen 的帖子

最後用 O 到 AB、BC 之距離相等

作者: Chen 時間: 2017-5-21 10:40

回23樓，我明白了，謝謝 thepiano 老師的說明！

作者: anyway13 時間: 2017-6-5 00:02 標題: 請教計算第三題

請問板上老師計算第三題乙學生這樣解對嗎?

作者: BambooLotus 時間: 2017-6-5 14:47

以前鋼琴老師用直角三角形推導的公式"2/3*r^3*tan日"來驗算是對的

這題題目給的解法應該只能用在剛好碰到圓柱的頂端吧，正常要用重積分

補個鋼琴老師推導的連結

http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1451

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-5 14:50 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2017-6-6 02:16 標題: 回復 26# BambooLotus的帖子

謝謝 BambooLotus 老師熱心的答覆!

作者: fortheone 時間: 2017-6-19 20:06

計算證明題3
乙的解法也是錯的，只是剛好答案是對的
以平行E的方式所得截面是半橢圓，不是正三角形

作者: kyrandia 時間: 2017-8-6 12:03

引用:

原帖由 tsusy 於 2017-5-4 21:37 發表
填充 2. 寫得有得長，前面是合理推測答案，後面是證明，順序有得亂，請見諒

\( 106^{106} = 53^{106} \times 2^{106} \)

重點在 53 這個質因數，當兩數模 53 同餘時，兩數相減會有53 這個因數。

因此我們將\( S_n \) 中的元素 ...

圖片附件: 白話版.png (2017-8-6 12:03, 331.22 KB) / 該附件被下載次數 3952
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4244&k=6f823f7656721f771fd88086b106333d&t=1714205757

作者: leonyo 時間: 2017-8-15 00:32 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

請問不能等於嗎? 我覺得等號是可以成立的呀

作者: leonyo 時間: 2017-8-15 01:48

引用:

原帖由 thepiano 於 2017-4-27 19:46 發表
填充第3題
\( \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\)

\(\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right) ...

我是這麼作的, 令
\(\displaystyle f(x)=\frac{x^4+rx^2+1}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2+r+\frac{1}{x^2}}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{y+r}{y+1}=1+\frac{r-1}{y+1}=g(y)\), 其中 \(y=x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2\).
(i) 當 \(r=1\) 時, 顯然成立.
(ii) 當 \(r>1\) 時, \(g(y)\) 為遞減函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(g(a)\leq g(b)\leq g(2)\).
由題意可得 \(g(a)+g(b)>g(2)  \forall  a\geq b\geq 2\),
即 \(\displaystyle1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}>1+\frac{r-1}{2+1}  \forall  a\geq b\geq 2\), 對 \(a,b\) 取極限可得
\(\displaystyle \lim_{a, b\to\infty}1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}\geq1+\frac{r-1}{2+1} \), 可得\(\displaystyle 1\geq\frac{r-1}{3}\), 亦即 \(r\leq4\).
因此 \(1<r\leq4\).
(iii) 當 \(r<1\) 時, \(g(y)\) 為遞增函數, 設 \(a\geq b\geq 2\), 則 \(\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(2)=1+\frac{r-1}{3}>0\), 因此 \(r>-2\).
由題意可得 \(g(a)<g(b)+g(2)  \forall  a\geq b\geq 2\), 亦即 \(g(a)-g(b)<g(2)  \forall  a\geq b\geq 2\).
故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)\leq g(2)\).
因為 \(g(x)\) 為一嚴格遞增函數, 故 \(\sup_{a\geq b\geq 2}g(a)-g(b)=\lim_{a\to\infty,b\to 2}g(a)-g(b)=1-g(2)\).
故得 \(1-g(2)\leq g(2)\), 即 \(\displaystyle\frac{1}{2}\leq g(2)=1+\frac{r-1}{3}\), 即 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r\).
因此 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r<1\).
綜合(i)(ii)(iii)可得 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq r\leq 4\).

以下證明 \(r=4\) 和 \(\displaystyle r=-\frac{1}{2}\) 時, 對任意實數 \(a\geq b\geq c\geq 2\), \(g(a), g(b), g(c)\) 均可形成三角形三邊長.
(i) 當 \(r=4\) 時, \(g(a)\leq g(b)\leq g(c)\leq g(2)=2\).
此時 \(\displaystyle g(a)+g(b)=1+\frac{3}{a+1}+1+\frac{3}{b+1}>2=g(2)\geq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.
(ii) 當 \(\displaystyle r=-\frac{1}{2}\) 時, \(\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(c)\geq g(2)=\frac{1}{2}\).
此時 \(\displaystyle g(a)-g(b)\leq g(a)-g(2)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}=g(2)\leq g(c)\),
因此 \(g(a), g(b), g(c)\) 可形成三角形三邊長.

好奇怪, 為什麼測試時能用 \dfrac, 正式發文時卻不行@@?

[ 本帖最後由 leonyo 於 2017-8-15 06:54 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2017-8-15 11:01 標題: 回復 30# leonyo 的帖子

r=4時，取a=b=0，c=1，f(a)=f(b)=1，f(c)=2，無法構成三角形

作者: leonyo 時間: 2017-8-15 12:00 標題: 回復 32# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大, 原來差在x=0這地方

作者: floot363 時間: 2017-9-4 19:31 標題: 回復 31# leonyo 的帖子

不知道 leonyo 老師你所謂的測試是指在 WinEdt 或 TeXwords 或 Lyx 平台測試
若是上敘三者，可能老師您在環境設定時已經設定
\renewcommand{\d}{\displaystyle}
所以 mathpro 是無法讀懂何謂
\dfrac
可能還是得打字為
\displaystyle\frac
網頁才能顯示出來老師您所要的樣式

[ 本帖最後由 floot363 於 2017-9-4 19:37 編輯 ]

作者: jackyxul4 時間: 2018-2-12 18:04

填充第2題

只有我認為答案應該是2的嗎?XD

"設 Sn為由 n 個整數為元素所構成的集合"----------完全沒說到要連續整數的條件

因此隨便弄個集合{1,1+106^106}就一定整除了

如果是限定連續整數，則連乘積為1^(n-1)*2^(n-2)*....*53^(n-53)*....*106^(n-106)*.....

取53的次數要>=106次，因此(n-53)+(n-106)>=106,n>=132.5,取整數就是133

作者: tsusy 時間: 2018-2-12 20:53 標題: 回復 35# jackyxul4 的帖子

填充2.
沒有連續整數的條件，記得前面我寫過，也沒有當連續整數，而是題意中

欲使 \( 106^{106} \) "恆" 可整除，意思是不管哪個 S，只要元素 n 個，就整除，所以不能指定 S

[ 本帖最後由 tsusy 於 2018-2-16 00:06 編輯 ]

作者: jackyxul4 時間: 2018-2-13 16:01 標題: 回復 36# tsusy 的帖子

我知道我哪邊搞錯了，的確是任取133個數就必然可整除

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