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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3987&k=afc57d9fd0311ef1dd41476f454c6f57&t=1603683652

=>$$a_7=4^6-4^5+4^4-4^3+4^2-4=3276$$

$$t^4-zt^3-yt-x=0$$有$$a,b,c$$三根
=>$$\displaystyle t^4-zt^3-yt-x=(2t^3-2t^2+3t-1) \left( \frac{t}{2}+\frac{3}{4}\right)$$
=>$$\displaystyle x=\frac{3}{4},y=-\frac{7}{4},z=-\frac{1}{2}$$

$$\displaystyle \frac{{(5-1)^7 +(-1)^7(5-1)}}{5} = 3276$$

$$\displaystyle 一路領先問題 \frac{{C_{51}^{99+51-1+2} +C_{51-1}^{99+51-1+2} }}{{C_{51}^{150} }} = \frac{{151}}{{202}}$$

$$\begin{array}{l} \displaystyle \left( {\frac{{a^2 }}{{a+3b}}+\frac{{b^2 }}{{a+3b}}+\frac{{b^2 }}{{b+3c}}+\frac{{c^2 }}{{b+3c}}+\frac{{c^2 }}{{c+3a}}+\frac{{a^2 }}{{c+3a}}} \right)\left( {a+3b+a+3b+b+3c+b+ 3c+c+3a+c+3a} \right) \\ \displaystyle \ge \left( {a + b + b + c + c + a} \right)^2 \\ \end{array}$$

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-27 10:30 編輯 ]

(3/13)*(6/10)(最後為白球)+(6/13)*(3/7)(最後為黑球)=153/455

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-27 11:05 編輯 ]

[ 本帖最後由 windin0420 於 2017-4-27 12:23 編輯 ]

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$$\displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$$

$$\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right)=1$$，恆成立

\begin{align} & \left( 2 \right)r>1 \\ & 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\ & 0\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{r-1}{3} \\ & 1\le f\left( x \right)\le \frac{r+2}{3} \\ & 1+1>\frac{r+2}{3} \\ & 1<r<4 \\ & \\ & \left( 3 \right)r<1 \\ & 0\le \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le \frac{1}{3} \\ & \frac{r-1}{3}\le \frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\le 0 \\ & \frac{r+2}{3}\le f\left( x \right)\le 1 \\ & \frac{r+2}{3}>0 \\ & \frac{r+2}{3}+\frac{r+2}{3}>1 \\ & -\frac{1}{2}<r<1 \\ \end{align}

\begin{align} & \frac{\overline{AD}}{\sin \theta }=\frac{\overline{AC}}{\sin \left( \pi -2\theta \right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sin \theta \cos \theta } \\ & \overline{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta } \\ \end{align}

\begin{align} & \frac{\overline{BD}}{\sin \left( \pi -2\theta -\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\overline{CD}}{\sin \frac{\pi }{3}} \\ & \frac{1}{\sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2\cos \theta }}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\cos \theta } \\ & \sin \left( 2\theta +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \theta \\ & 0<\theta <\frac{\pi }{2} \\ & \theta =\frac{\pi }{18}\ or\ \frac{\pi }{6} \\ & \sin 3\theta =\frac{1}{2}\ or\ 1 \\ \end{align}

$$己知線段\overline {AB} 是以C(0,1)為圓心且與函數y = \frac{1}{{|x|-1}}的圖形有交點$$
$$的所有圓中半徑最小的圓的一條直徑，O為原點，則向量OA$$ $$\cdot$$$$向量 OB？$$

$$如上圖所示，最小圓發生於相切時，可用判別式等於0求得半徑之值$$
$$取右半圓x>0，設x^2+(y-1)^2=r^2代入\displaystyle y = \frac{1}{{|x|-1}}$$
$$\begin{array}{l} \displaystyle 可得r^2-(y-1)^2 = (\frac{1}{y}+1)^2整理完後得到 \displaystyle y^2-2y+2+\frac{2}{y}+\frac{1}{{y^2 }} =r^2 \end{array}$$
$$\displaystyle 再令t = y - \frac{1}{y},整理可得t^2-2t+4-r^2=0$$
$$因為最小圓相切恰一解，判別式=0，可得r^2=3， 可取A(0, - \sqrt 3+1)$$
$$B(0,\sqrt 3+1)求出所求為-2 (設參數式亦可)$$

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-28 21:50 編輯 ]

$$106^{106} = 53^{106} \times 2^{106}$$

[ 本帖最後由 tsusy 於 2017-8-6 14:20 編輯 ]

PS：想請教各位老師們Case 1 有沒有比較快的討論法呢？

[解]
Case1：正四面體邊長為6的相交情況

Case2：正四面體邊長為6根號3的相交情況

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-10 17:51 編輯 ]

$$\begin{array}{l} \overline {AF} + \overline {PF} + \overline {PA} = \overline {AF} + \overline {PA} + (2a - \overline {PD} ) \\ = \overline {AF} + 2a + \overline {PA} - \overline {PD} \le \overline {AF} + 2a + \overline {AD} \\ \end{array}$$

PS：106新北聯招有出類似題

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-5-17 16:38 編輯 ]

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[ C(150, 99) - C(150, 101) ] / C(150, 99) = 151 /202

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-5-18 23:21 編輯 ]

(1) 若 AB = AD，則 CD = BC，ABCD 是箏形，易知有內切圓

(2) 若 AB = BC，則 CD = AD，ABCD 是箏形，易知有內切圓

(3) 若 (1) 和 (2) 均不成立

https://math.pro/db/attachment.php?aid=4098&k=4b33da102e2296f0943d4b7bcbd64050&t=1603683652

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-6-5 14:50 編輯 ]

##### 引用:

$$106^{106} = 53^{106} \times 2^{106}$$

https://math.pro/db/attachment.php?aid=4244&k=6cbc1029894e4fe973f743abbd53f99c&t=1603683652

##### 引用:

$$\displaystyle f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+r{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=1+\frac{\left( r-1 \right){{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}$$

$$\left( 1 \right)r=1,f\left( x \right) ... 我是這麼作的, 令 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^4+rx^2+1}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2+r+\frac{1}{x^2}}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{y+r}{y+1}=1+\frac{r-1}{y+1}=g(y)$$, 其中 $$y=x^2+\frac{1}{x^2}\geq 2$$.
(i) 當 $$r=1$$ 時, 顯然成立.
(ii) 當 $$r>1$$ 時, $$g(y)$$ 為遞減函數, 設 $$a\geq b\geq 2$$, 則 $$g(a)\leq g(b)\leq g(2)$$.

$$\displaystyle \lim_{a, b\to\infty}1+\frac{r-1}{a+1}+1+\frac{r-1}{b+1}\geq1+\frac{r-1}{2+1}$$, 可得$$\displaystyle 1\geq\frac{r-1}{3}$$, 亦即 $$r\leq4$$.

(iii) 當 $$r<1$$ 時, $$g(y)$$ 為遞增函數, 設 $$a\geq b\geq 2$$, 則 $$\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(2)=1+\frac{r-1}{3}>0$$, 因此 $$r>-2$$.

(i) 當 $$r=4$$ 時, $$g(a)\leq g(b)\leq g(c)\leq g(2)=2$$.

(ii) 當 $$\displaystyle r=-\frac{1}{2}$$ 時, $$\displaystyle g(a)\geq g(b)\geq g(c)\geq g(2)=\frac{1}{2}$$.

[ 本帖最後由 leonyo 於 2017-8-15 06:54 編輯 ]

r=4時，取a=b=0，c=1，f(a)=f(b)=1，f(c)=2，無法構成三角形

\renewcommand{\d}{\displaystyle}

\dfrac

\displaystyle\frac

[ 本帖最後由 floot363 於 2017-9-4 19:37 編輯 ]

"設 Sn為由 n 個整數為元素所構成的集合"----------完全沒說到要連續整數的條件

[ 本帖最後由 tsusy 於 2018-2-16 00:06 編輯 ]

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