標題: gcd和lcm的應用，三數已知兩兩的gcd及lcm，求此三數 [打印本頁]

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作者: hank930502    時間: 2007-9-12 22:46     標題: gcd和lcm的應用，三數已知兩兩的gcd及lcm，求此三數

a,b,c屬於N,(a,b)=5,(b,c)=2,(c,a)=3,[a,b]=30,[b,c]=120,[c,a]=120
則a=?
b=?
c=?

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作者: weiye    時間: 2007-9-13 13:22

∵a, b 皆為正整數　∴a×b= (a,b)×[a,b] = 150　　.........第一式

∵b, c 皆為正整數　∴b×c= (b,c)×[b,c] = 240　　.........第二式

∵c, a 皆為正整數　∴c×a= (c,a)×[c,a] = 360　　.........第三式

由　第一式×第二式×第三式　可得 a^2 × b^2 × c^2 = 150×240×360

(a×b×c)^2 = 3600^2 → a×b×c = 3600 　　.........第四式

由　第四式÷第一式，可得 c=24

由　第四式÷第二式，可得 a=15

由　第四式÷第三式，可得 b=10

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作者: eggsu1026    時間: 2011-8-15 15:41

數值太大，給個數值小的解法，接續weiye老師列出的三個式子

∵a, b 皆為正整數　∴a×b= (a,b)×[a,b] = 150　　.........第一式
∵b, c 皆為正整數　∴b×c= (b,c)×[b,c] = 240　　.........第二式
∵c, a 皆為正整數　∴c×a= (c,a)×[c,a] = 360　　.........第三式

將第二式除以第三式，得 b/a = 2/3
故 a = 3t , b = 2t ，其中 t = (a,b) = 5
故 a = 15 且 b = 10

將 b = 10 代入第二式得 c = 24

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