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標題: 106竹科實中 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2017-4-10 00:55 標題: 106竹科實中

希望大家可以一起幫忙補齊

（不知道為何照片被旋轉了，我無法調正，原本拍出來就是直的）

106.4.11板主補充
將圖轉正

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作者: 新手老師 時間: 2017-4-10 07:08 標題: 補106竹科實中

引用:

原帖由 Superconan 於 2017-4-10 00:55 發表
希望大家可以一起幫忙補齊

（不知道為何照片被旋轉了，我無法調正，原本拍出來就是直的）

我也遇到同樣問題...可能要拿橫的拍

106.4.11板主補充
將圖轉正

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作者: 米斯蘭達 時間: 2017-4-10 10:24 標題: 整理成電子檔

如附件，第11題還有缺漏

106新竹實中.pdf (121.46 KB)

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作者: laylay 時間: 2017-4-10 12:34

10. 先算出體積[ab(1-(a^2+b^2)/4)^1/2]/6,再對a, b偏微分=0得a=b=2/3^(1/2),最大體積=[2*6^(1/2)]/27
原題目最小體積=0

作者: czk0622 時間: 2017-4-10 13:39

5.

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作者: ferng 時間: 2017-4-10 14:59 標題: 106竹科實中教甄第3題

[ 本帖最後由 ferng 於 2017-4-11 09:10 編輯 ]

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作者: laylay 時間: 2017-4-10 17:20 標題: 5.

另法
設D對CF的對稱點為H,連接CH可得CHF全等於CDF,
則H在正方形內部,作直線FH交AB 於G,FH=FD,
CH=CD=CB,角CHG=角CBG=90度可得CHG全等於CBG(RHS)  =>角FCG=90度/2=45度
   此時AFG周長=AD+AB=2,
   若E在G左邊則AFE周長小於AFG周長=2(不合),若E在G右邊則AFE周長大於AFG周長=2(不合)
   故E=G =>角FCE=角FCG=45度

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-10 19:56 編輯 ]

作者: czk0622 時間: 2017-4-10 18:30

4. \( C_{1}^{5}H^{4}_{2}H^{1}_{6}+C^{5}_{2}H^{3}_{3}H^{2}_{6}+C^{5}_{3}H^{2}_{4}H^{3}_{6}+C^{5}_{4}H^{1}_{5}H^{4}_{6}=2570 \)
8.(1) 設 \(f(x)=n^{2}x^{3}+nx-1\)
因 \( f(x) \) 為三次實係數多項式，所以 \( f(x) \) 至少有一實根
又因 \( f'(x)=3n^{2}x^{2}+n>0，f(x) \) 為嚴格遞增函數，所以 \( f(x) \) 恰有一實根
8.(2) \(\displaystyle f(0)=-1<0，f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}>0\)，所以 \( \displaystyle 0<x_{n}< \frac{1}{n}\) (勘根定理)，因此 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{x_{n}}=0 \)

[ 本帖最後由 czk0622 於 2017-4-10 19:23 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2017-4-10 21:50 標題: 6.

所求=7^99除以100之餘數(利用 a^100-b^100=(a-b)(aQ+b^99) , 其中a=10^100,b=7)
又 7^4=(50-1)(50-1)=100k+1
故所求=7^3除以100之餘數=43

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-10 21:54 編輯 ]

作者: 5pn3gp6 時間: 2017-4-10 22:48

引用:

原帖由 laylay 於 2017-4-10 21:50 發表
所求=7^99除以100之餘數(利用 a^100-b^100=(a-b)(aQ+b^99) , 其中a=10^100,b=7)
又 7^4=(50-1)(50-1)=100k+1
故所求=7^3除以100之餘數=43

　
我這題做出來剛好跟你相反，57
　
設\(r=100^{100}\)，
原式= \(\displaystyle\left[\frac{r^{100}}{r+7}\right]\)，

設 \(r^{100}\)除以\(r+7\)的商式為\(N\)，則餘式為\((-7)^{100}=7^{100}\)

所以 \(\displaystyle\left[\frac{r^{100}}{r+7}\right]=\left[\frac{7^{100}}{r+7}+N\right]=N\)
　
再設 \(N=100H+k\) ， \(H\)是正整數，\(k\)為小於10的非負整數，即是所求
　
由\(r^{100}=(r+7)\cdot N+7^{100}=(r+7)(100H+k)+7^{100}=100Hr+kr+700H+7k+7^{100}\)

\(r^{100}\)與\(100Hr+kr+700H\)皆是100的倍數，所以\(7k+7^{100}\)亦是100的倍數
　
\(7k+7^{100}=7k+(2401)^{25}\equiv 7k+1 (mod\,10)\)

所以\(7k\)有 99,199,299,399,499,599,699可以選
只有399是7的倍數
所以\(k=57\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2017-4-10 22:53 編輯 ]

作者: 5pn3gp6 時間: 2017-4-10 23:00

第九題是騙人的....我應該沒有理解錯題目

證明當\(N\)是自然數時，\(x^2+y^2=z^n\)，\(x,y,z\)至少有一組整數解。
　
令\(z=25\)，\(25^n=25\cdot25^{n-1}=(3^2+4^2)\cdot5^{2(n-1)}=(3\cdot5^{n-1})^2+(4\cdot5^{n-1})^2\)

作者: cefepime 時間: 2017-4-11 02:24

第5題再另解: (借用 5# czk0622 老師的圖)

由條件知 EF = BE + DF

以 C 為中心，將 △CDF 逆時針旋轉 90° (D→B，F→F')，則 △CEF 與 △CEF' 全等 (SSS)

故 ∠ECF = 90°/2 = 45°

作者: thepiano 時間: 2017-4-11 06:35 標題: 回復 10# 5pn3gp6 的帖子

第6題
laylay 兄做的分母是減，您的是加，答案當然不同

作者: cefepime 時間: 2017-4-11 13:35

第8題 (1) 另證:

令 f(x) = n²x³ + nx - 1

對實數 a ≤ 0，f(a) < 0 ⇒ f(x) = 0 之實根皆為正根

又由根與係數關係，f(x) = 0 之三根和 = 0

⇒ f(x) = 0 恰有一實根。

作者: eyeready 時間: 2017-4-11 17:46

第一 21<k<22
第二 -1+根號7

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-11 17:50 編輯 ]

作者: flyinsky218 時間: 2017-4-11 21:41

引用:

原帖由 czk0622 於 2017-4-10 18:30 發表
4. \( C_{1}^{5}H^{4}_{2}H^{1}_{6}+C^{5}_{2}H^{3}_{3}H^{2}_{6}+C^{5}_{3}H^{2}_{4}H^{3}_{6}+C^{5}_{4}H^{1}_{5}H^{4}_{6}=2570 \)
8.(1) 設 \(f(x)=n^{2}x^{3}+nx-1\)
因 \( f(x) \) 為三次實係數多項式 ...

第四題可以解釋一下為什麼嗎？
我自己的算法很複雜，先放人之後再放入羊或狼，討論10個case~
感覺跟這個很像，但看不懂為什麼

作者: czk0622 時間: 2017-4-11 22:03 標題: 回復 16# flyinsky218 的帖子

先排4個人，加頭尾有五5個空隙，
不可能5個空隙都有狼
5個空隙中選1個一沒有狼，其餘4個至少1隻狼，還剩2隻狼6隻羊，2隻狼只能排在有狼的空隙，6隻羊只能排在沒有狼的空隙(不一定要全都有羊)
5個空隙中選2個一沒有狼，其餘3個至少1隻狼，還剩3隻狼6隻羊，3隻狼只能排在有狼的空隙，6隻羊只能排在沒有狼的空隙(不一定要全都有羊)
5個空隙中選3個一沒有狼，其餘2個至少1隻狼，還剩4隻狼6隻羊，4隻狼只能排在有狼的空隙，6隻羊只能排在沒有狼的空隙(不一定要全都有羊)
5個空隙中選4個一沒有狼，所有狼都在剩餘的空隙，還剩6隻羊，6隻羊只能排在沒有狼的空隙(不一定要全都有羊)
不可能5個空隙都沒有狼
全部加起來就是答案了

作者: zidanesquall 時間: 2017-4-12 10:56

引用:

原帖由 czk0622 於 2017-4-11 22:03 發表
先排4個人，加頭尾有五5個空隙，
不可能5個空隙都有狼
5個空隙中選1個一沒有狼，其餘4個至少1隻狼，還剩2隻狼6隻羊，2隻狼只能排在有狼的空隙，6隻羊只能排在沒有狼的空隙(不一定要全都有羊)
5個空隙中選2個一沒有狼，其餘3個至少1 ...

原本的想法是用一個人把狼跟羊全數分開
這樣子狼跟羊各有六個空隙，再利用分開的那個位置有多少人來做討論

沒有想到分開的狼小組跟羊小組可以排列...

感謝c大

作者: poemghost 時間: 2017-4-18 22:11

引用:

原帖由 laylay 於 2017-4-10 12:34 發表
10. 先算出體積[ab(1-(a^2+b^2)/4)^1/2]/6,再對a, b偏微分=0得a=b=2/3^(1/2),最大體積=[2*6^(1/2)]/27
原題目最小體積=0

請問為什麼最小體積會是0？？？

作者: laylay 時間: 2017-4-19 10:22 標題: 回復 19# poemghost 的帖子

a->0 or b->0 時 , 體積 ->0

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-4-19 10:25 編輯 ]

作者: poemghost 時間: 2017-4-19 13:13

引用:

原帖由 laylay 於 2017-4-19 10:22 發表
a->0 or b->0 時 , 體積 ->0

可是體目已經提及「四面體」，那體積可以是0嗎？？？

作者: floot363 時間: 2017-8-11 15:11 標題: 回復 2# 新手老師的帖子

今年有和幾位朋友考竹科實中，朋友有手抄題
又加上「Superconan 」老師、「新手老師」以及「米斯蘭達」老師的記錄
我把它整理成 PDF 檔
若有錯誤再麻煩老師們提醒，我再更改
謝謝

[ 本帖最後由 floot363 於 2017-8-12 07:51 編輯 ]

附件: 106-學年度國立科學工業園區實驗高級中學.pdf (2017-8-11 15:11, 80.76 KB) / 該附件被下載次數 5664
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作者: BambooLotus 時間: 2018-3-14 17:55

想問第二題有沒有比較簡易的算法，套了好多東西才解出跟eyeready老師一樣的答案
不失一般性，假設P在第一象限，令\( \displaystyle P(\sec \theta ,\sqrt 3 \tan \theta ) \)，\( \displaystyle (\sec \theta  - 2,\sqrt 3 \tan \theta ) \cdot (\sec \theta  + 2,\sqrt 3 \tan \theta ) = 0 \)解得\( \displaystyle P(\frac{{\sqrt 7 }}{2},\frac{3}{2}) \)
\( \displaystyle \frac{1}{{\overline {P{F_2}} }} + \frac{1}{{\overline {Q{F_2}} }} = \frac{4}{K},K = \frac{{2{b^2}}}{a} = 6 \)算出\( \displaystyle \overline {Q{F_2}}  = 3(3 + \sqrt 7 ) \)
三角形面積為\( \displaystyle \frac{1}{2} \times (\sqrt 7  + 1) \times (\sqrt 7  - 1 + 3(3 + \sqrt 7 )) = 18 + 6\sqrt 7 \)，\( \displaystyle s = \sqrt 7  - 1 + 3(3 + \sqrt 7 ) + 2 = 10 + 4\sqrt 7 \)
故所求為\( \displaystyle \frac{{18 + 6\sqrt 7 }}{{10 + 4\sqrt 7 }} =  - 1 + \sqrt 7 \)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2018-3-14 17:56 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2018-3-15 02:00

回復 23# BambooLotus 的帖子

由直角三角形的內切圓性質與雙曲線的(距離差)定義，所求 = PF₂

再於直角△F₁PF₂中使用畢氏定理即可求出。

作者: Harris 時間: 2018-10-10 17:49 標題: 回復 23# BambooLotus 的帖子

我前面的作法和老師類似，但我是設QF2=x，QF1=x+2，再以畢氏定理解x=3(3+根號7)

想請問老師的第二行 1/PF2+1/QF2=4/K 是怎麼得到的？

作者: ibvtys 時間: 2021-4-12 20:10

想請教11(b)

作者: czk0622 時間: 2021-4-12 21:43 標題: 回復 26# ibvtys 的帖子

11(b)
高微課本上面的反例

圖片附件: 未命名.png (2021-4-12 21:44, 7.2 KB) / 該附件被下載次數 2789
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5842&k=939ec6ddb9143af27ed57ab589e3ca3c&t=1732302761

作者: ibvtys 時間: 2021-4-12 21:50 標題: 回復 27# czk0622 的帖子

感謝~一直想不到好的反例

作者: ibvtys 時間: 2021-4-12 22:22

想再請教7(b) (一般好像都是用2*2方陣類推到n*n方陣)

作者: Almighty 時間: 2021-4-12 23:12 標題: 回復 29# ibvtys 的帖子

可參考線性代數的概念
考慮C(A)：column space
detA≠0(向量不共平面)-->向量空間為線性獨立
考慮線性組合的唯一性

[ 本帖最後由 Almighty 於 2021-4-12 23:22 編輯 ]

圖片附件: S__128147464.jpg (2021-4-12 23:22, 195.49 KB) / 該附件被下載次數 2576
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5843&k=773bc49f9cece0333f9a059815b8476f&t=1732302761

作者: ibvtys 時間: 2021-4-13 00:07 標題: 回復 30# Almighty 的帖子

了解!太感謝了

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