標題: 整數論題目，已知兩自然數之差及最小公倍數，球此兩數 [打印本頁]

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作者: hank930502    時間: 2007-9-9 21:04     標題: 整數論題目，已知兩自然數之差及最小公倍數，球此兩數

a,b屬於N,a-b=166,{a,b}=2905,則:
a=?
b=?

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作者: weiye    時間: 2007-9-9 23:03

{a,b} 是指最小公倍數 [a,b] 嗎？

假設 {a,b} 是指最小公倍數好了。

以下開始求解：


設 (a,b) = d

則 a=d×h, b=d×k 且 (h,k)=1

(　(h,k)=1 是因為 d 是 a 與 b 的最大公因數，

所以 a 與 b 提出 d 之後，就沒有共同的公因數可以提出來了　)

所以題目給的兩式就變成 d(h-k)=166, d×h×k=2905

∵(h,k)=1 ∴(hk,h-k)=1

故 d 是 d(h-k) 與 d×h×k 的最大公因數

也就是說 d = (166, 2905)

稍微用輾轉相除法算一下，可得 (166, 2905)=83 → d=83

所以 h-k = 166/83 = 2, hk = 2905/83 = 35

因為 35 = hk, 且 (h, k)=1, h - k=2

所以 35 = 7×5 → h=7, k=5

故 a=83×7=581,
　 b=83×5=415

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