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標題: 整數論的題目,求證:若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1 [打印本頁]

作者: hank930502    時間: 2007-9-9 21:03     標題: 整數論的題目,求證:若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1

若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1
為什麼?
作者: weiye    時間: 2007-9-9 22:53

以下求證『若(a,b)=1, 則(ab, a+b)=1』

假設 (ab, a+b) = d > 1 (待會要證明這是不可能的,因為最後會產生矛盾...)

則  ∵ d | a+b 且 d | ab ∴ d | (a+b)×a - ab×1 → d | a^2
同理 ∵ d | a+b 且 d | ab ∴ d | (a+b)×b - ab×1 → d | b^2

因為 d | a^2 且 d | b^2 ,也就是說 d 是 a^2 與 b^2 的公因數

所以 d | (a^2, b^2)

另外 ∵(a,b)=1 ∴(a^2, b^2)=1

所以 d | 1 ,且因為 d 為正數(最大公因數都嘛是正的喔!),所以 d = 1 這與剛開始假設的 d > 1 互相矛盾。

故 (ab, a+b) = 1






相同的方法,可以證得 『若(a,b)=1,則(ab, a - b)=1』




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