標題:
整數論的題目,求證:若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1
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作者:
hank930502
時間:
2007-9-9 21:03
標題:
整數論的題目,求證:若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1
若(a,b)=1,則(ab,a±b)=1
為什麼?
作者:
weiye
時間:
2007-9-9 22:53
以下求證『若(a,b)=1, 則(ab, a+b)=1』
假設 (ab, a+b) = d > 1
(待會要證明這是不可能的,因為最後會產生矛盾...)
則 ∵ d |
a+b
且 d |
ab
∴ d |
(a+b)
×a -
ab
×1 → d | a^2
同理 ∵ d |
a+b
且 d |
ab
∴ d |
(a+b)
×b -
ab
×1 → d | b^2
因為 d | a^2 且 d | b^2 ,也就是說 d 是 a^2 與 b^2 的公因數
所以 d | (a^2, b^2)
另外 ∵(a,b)=1 ∴(a^2, b^2)=1
所以 d | 1 ,且因為 d 為正數
(最大公因數都嘛是正的喔!)
,所以 d = 1 這與剛開始假設的 d > 1 互相矛盾。
故 (ab, a+b) = 1
相同的方法,可以證得 『若(a,b)=1,則(ab, a - b)=1』
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