標題: 不等式 [打印本頁]

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作者: rotch    時間: 2017-2-4 16:00     標題: 不等式

\(x^6+3x^5+5x^4+3x^3-2x^2-1\)
\(=(x^2+x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)\)
已知第一行恆負，求 x 範圍？
解答將第一行寫成第二行
請問如何寫出第二行？
或是有其他的解法，感恩

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作者: thepiano    時間: 2017-2-4 21:00     標題: 回復 1# rotch 的帖子

易知沒有一次因式

先設
\(\begin{align}
  & {{x}^{6}}+3{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-1 \\
& =\left( {{x}^{2}}+ax+1 \right)\left( {{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx-1 \right) \\
\end{align}\)
比較係數，發現\(a\)無實數解

再設
\(\begin{align}
  & {{x}^{6}}+3{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-1 \\
& =\left( {{x}^{2}}+ax-1 \right)\left( {{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+1 \right) \\
\end{align}\)
比較係數，可知\(a=d=1,b=2,c=4\)

由於
\(\begin{align}
  & {{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+x+1 \\
& ={{x}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+\left( 3{{x}^{2}}+x+1 \right)>0 \\
\end{align}\)

所求即\({{x}^{2}}+x-1<0\)之解

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作者: rotch    時間: 2017-2-12 15:16     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

感恩您

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