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標題: 矩陣，A=2I+B和AB=O，若(A+I)^8=kA+I，求k=? [打印本頁]

作者: kyrandia 時間: 2016-7-3 17:21 標題: 矩陣，A=2I+B和AB=O，若(A+I)^8=kA+I，求k=?

已知 A=2I+B 和 AB=O, 若(A+I)^8=kA+I 求k 感恩

作者: weiye 時間: 2016-7-3 20:50

\(A=2I+B \Rightarrow B = A-2I\)

\(\Rightarrow AB = A^2-2A=0\)

\(\Rightarrow A^2 = 2A \Rightarrow A^n = 2^{n-1} A,\,\forall n\in\mathbb{N}\)

\(\displaystyle\left(A+I\right)^8 = C^8_0 A^8 + C^8_1 A^7+\cdots+C^8_7A + C^8_8 I\)

　　\(\displaystyle= 2^7 C^8_0A + 2^6 C^8_1 A+\cdots + C^8_7 A + I\)

　　\(\displaystyle= \frac{1}{2}\left(2^8 C^8_0 + 2^7 C^8_1+\cdots 2C^8_7 +C^8_8 - 1\right) A +I\)

　　\(\displaystyle= \frac{1}{2}\left(3^8 - 1\right) A +I\)

　　\(\displaystyle= 3280 A+I\)

作者: kyrandia 時間: 2016-7-4 09:09

引用:

原帖由 weiye 於 2016-7-3 08:50 PM 發表
\(A=2I+B \Rightarrow B = A-2I\)

\(\Rightarrow AB = A^2-2A=0\)

\(\Rightarrow A^2 = 2A \Rightarrow A^n = 2^{n-1} A,\,\forall n\in\mathbb{N}\)

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感謝老師.....

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