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標題: 105 中山女高(代理) [打印本頁]
作者: swallow7103    時間: 2016-6-23 09:15     標題: 105 中山女高(代理)

105 中山女中(代理)，有錯誤還請網友指正，感恩。

想請教2, 4(b), 7 題怎麼作。
話說都代理教甄了，還考的這麼難QQ。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2016-6-23 11:08 PM 編輯 ]

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作者: thepiano    時間: 2016-6-23 13:32     標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

第7題
由圖形來看，常數項k一定要小於0
接下來看何時會有兩相等負根
令\({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+k={{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)\quad ,a<0<b\)

比較係數可知，\(a=-1,b=5,k=-{{a}^{2}}b=-5\)時，有兩相等負根
故所求為\(-5<k<0\)

何必給高一生做這種題目呢?
作者: thepiano    時間: 2016-6-23 13:33     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

第2題
小弟做出來的答案是1980，等妙解中......
作者: cefepime    時間: 2016-6-23 13:48

2. 從1, 2, 3, ...,15, 16 等16 個數中任挑五個，其中兩數連續，其餘皆不連續的方法有幾種？


想法: 先放置 (把 2, 1, 1, 1 個數，插入其餘 11 個數形成的間隔)，再編號

解:  C(4,1) * C(12, 4) = 1980

作者: Ellipse    時間: 2016-6-23 13:49     標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

#5
源自於Monty Hall problem (選山羊與汽車問題)
是一題有名的博弈論問題
電影"決勝21點"ˋ中也有使用到這個橋段~

中間也有很多題是考古題

#4(b) 應要加個等號

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-6-23 02:03 PM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2016-6-23 14:17     標題: 回復 1# swallow7103 的帖子

第4題(2)
題目有點問題，等號是可以取到的
單位圓上一點\(\left( \cos \theta ,\sin \theta  \right)\)到直線\(ax+by=0\)的距離\(\le 1\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-23 02:24 PM 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2016-6-23 15:23

4. 以高二學生能理解的程度，用幾何圖形說明：

(b) 當 0° < θ < 90° 時，a*cosθ + b*sinθ ≤ √ (a² + b²)。

(假定官方題目有 a, b > 0; 若否，另行討論即可)





如上圖，對於兩股長 a, b 的直角△ABC (C 為直角)，作 CD 與 CA 夾角 θ，D, E 分別為 A, B 在 CD 上的投影點。

由 BE + AD ≤ AB

⇒ a*cosθ + b*sinθ ≤ √ (a² + b²)

作者: g112    時間: 2016-6-23 15:48

想請問第3題,謝謝
作者: thepiano    時間: 2016-6-23 16:32     標題: 回復 8# g112 的帖子

先提供答案
第3題
最大值 2
作者: eyeready    時間: 2016-6-23 16:59     標題: 回復 8# g112 的帖子

小弟提供第3和5、6、9、10參考答案
5 3/8
6 a=1 b=2/3
9 1/81
10 切點 (e,e)    底數 e^(1/e)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2016-6-24 11:07 AM 編輯 ]

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作者: cefepime    時間: 2016-6-23 18:12

3.

方法 1





如上圖，α+β 的 "等值線" 平行 AB 直線。當過 C 的切線平行 AB  (且C, O 位於 AB 直線異側)，α+β 取最大值。

由 OC = 2*OD，知 α+β 之最大值 = 2。


方法 2

( 為了製造 "α+β" ) 考慮向量內積 OC．(OA + OB) = (α+β) /2

因 |OC|， |OA + OB| 皆定值，故 OC 與 (OA + OB) 夾角 0° 時，α+β 取最大值 = 2*1*1 = 2。


方法 3

利用 "內積" 或 "距離"，知 α² + β² - αβ - 1 = 0，現欲求 α+β = t 的最大值。

由 α 之二次方程式 α² + (t - α)² - α(t - α) - 1 = 0 的判別式 ≥ 0，或由 α² + β² - αβ - 1 = 0 是個短軸與 α 軸夾 45°之橢圓 (則 α = β 時，α+β 取最大值)，皆得 α+β 之最大值 = 2。





[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-23 09:18 PM 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2016-6-23 22:00

引用:
原帖由 swallow7103 於 2016-6-23 09:15 AM 發表
105 中山女中(代理)，有錯誤還請網友指正，感恩。

想請教2, 4(b), 7 題怎麼作。
話說都代理教甄了，還考的這麼難QQ。
4(b) 小弟獻醜一下,另一種看法
假設a,b>0

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-6-23 10:06 PM 編輯 ]

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作者: g112    時間: 2016-6-23 22:18

引用:
原帖由 cefepime 於 2016-6-23 06:12 PM 發表
3.

方法 1





如上圖，α+β 的 "等值線" 平行 AB 直線。當過 C 的切線平行 AB  (且C, O 位於 AB 直線異側)，α+β 取最大值。

由 OC = 2*OD，知 α+β 之最大值 = 2。


方法 2

( 為 ...
懂了,謝謝10樓和11樓的兩位老師
作者: swallow7103    時間: 2016-6-23 23:09

感謝各位老師熱心的回覆！
檔案已修正。
作者: cefepime    時間: 2016-6-23 23:29

4. 以高二學生能理解的程度，用幾何圖形說明：

(b) 當 0° < θ < 90° 時，a*cosθ + b*sinθ ≤ √(a² + b²)。

(假定官方題目有 a, b > 0; 若否，另行討論即可)


由 Ellipse 老師提示的 "面積"，構思一個方法。

依據: 四邊形 (無論凹凸) PQRS 面積 = (1/2)*PR*QS*sinφ，這裡 φ 是對角線(或其延長線)之間的一個夾角。


如上圖，對於兩股長 a, b 的直角△ABC (C 為直角)，作 CD 與 CA 夾角 θ，而與 AB 夾角 φ，CD = d。

四邊形 ACBD 面積 * (2/d) = a*cosθ + b*sinθ = [√(a² + b²)]*sinφ ≤ √(a² + b²)


作者: eyeready    時間: 2016-6-24 11:09

提供第5題参考過程，有錯誤請指正！

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作者: thepiano    時間: 2016-6-24 11:44     標題: 回復 16# eyeready 的帖子

小弟是這樣想
換門一定選 2 號或 3 號門
而安全門在 1 號或 2 號或 3 號
所以機率是 1/3
作者: eyeready    時間: 2016-6-24 13:23

小弟覺得答案為1/3題意應為
1、公主有先告知異教徒4號門為獅子，異教徒獲得特赦的機率或是公主告知1號門為獅子，異教徒再換門
2、換門前異教徒已經選1號門，因此選到安全門機率1/4（234號門為安全門機率3/4），此時公主告知4號門有獅子，機率改變為選1號門為安全門仍為1/4，選23號門為1-1/4=3/4，而異教徒再從2、3號門再選一門為1/2，因此「整個過程」為3/4*1/2=3/8


提供網站参考
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_11_1/index.html
作者: raven    時間: 2016-6-24 23:02

有關蒙提霍爾問題，有一題模擬考題可作為參考
此為102學年翰林指考模擬考數甲考題(內有詳解)，類題為單選4.
有一些教甄題是出自大考中心研究用試題與高中學測指考模擬考題，此題提供老師們討論。

下方打字：
歡樂大贏家節目中，有A、B、C、D四扇門，其中一扇門後有最大獎汽車一輛，另外三扇門則各為電視一臺，參賽者須由四扇門中選擇一扇門。當參賽者選好門後，主持人會打開剩下三扇門中後面為電視的其中一扇門，並且讓參賽者決定要不要更改他的選擇。若參賽者決定換成剩下的兩扇門之一，則他贏得汽車大獎的機率為多少？
(1)1/4 (2)1/3 (3)3/8 (4)1/2 (5)3/4

Ans: (3)
解析：P(中最大獎)=P(未選中最大獎且換到有最大獎門)=(3/4)*(1/2)=3/8

附件: 102下全國高中指考數甲5模10305.pdf (2016-6-24 23:02, 250.42 KB) / 該附件被下載次數 5268
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作者: cefepime    時間: 2016-6-24 23:56

對於第 5 題的感想:

因為題目對於某些 "前提" 的敘述上有不夠明確之處，以至於可能因題意解讀不同，而對答案產生歧見 (這在 "機率題" 時有所見)。本題因為要求計算機率 (而非只是問 "何種選擇較有利")，所以更需要把一些 "前提" 交代清楚。

Monty Hall 問題有個重要的前提 (尤其是要計算機率時，它更是必要的): 主持人 (或本題中的公主) 知道每個門的結果。如果沒有表明此點，尚可以討論 "何種選擇較有利"，但 "計算機率" 則會有疑義。

我猜想，本題的答案卷大致有三種答案:

1. 1/2 -- 答題者認為題目的敘述: "異教徒首先選了一號門，而此時公主覺得異教徒可憐，..."，暗示了一號門後也是獅子。

2. 1/3 -- 答題者認為 "公主只知道四號門後面有獅子"。

3. 3/8 -- 答題者認為 "公主知道每個門後面是什麼，但只能暗示一個有獅子的門"; 或者答題者熟悉 Monty Hall 問題，並依此揣摩命題者心思。


個人愚見是，本題因為沒有闡明 "公主是否知道所有門的情形" 並要求計算機率，是個有疑義的題目。


作者: Chen    時間: 2017-7-18 10:09     標題: 回復 20# cefepime 的帖子

您的第 2 與第 3 種情況答案應該是一樣的，

(首先前提是，公主知道 4 個門中有 3 個有獅子的門， 1 個安全的門)

因為無論公主知道什麼，當異教徒選擇換或不換時，都是從 2 個有獅子的門與 1 個安全的門中隨機選一個，答案為 3/8
作者: yinchou    時間: 2017-7-19 08:14     標題: 9.



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作者: BambooLotus    時間: 2018-1-26 00:58

想問第10題，a=e^(-e)時也是答案嗎



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