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標題: 請教一題 [打印本頁]

作者: yangyang314159    時間: 2016-6-8 21:46     標題: 請教一題

設\(m,n\)都是大於1的正數,證明\(\displaystyle (\frac{1}{m})^{\frac{1}{n}}+(\frac{1}{n})^{\frac{1}{m}}>1\)
作者: eyeready    時間: 2016-6-9 09:36     標題: 回復 1# yangyang314159 的帖子

只想到暴力解法....

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3469&k=d5cc66789f84890460d9d59a8f80c93b&t=1711669025


作者: cefepime    時間: 2016-6-9 17:56

這題以前有看人解過,用的是 Bernoulli 不等式。 (本題只需 m, n > 0,即可成立。)

更早之前自己遇到這題時,題目只要求 m, n 是正整數,則用算幾不等式即可。
由此聯想到,本題亦可用 "加權算幾不等式" 得證。

又 "加權算幾不等式" 可由 "Jensen不等式" 得出,故本題亦可用 "Jensen不等式" 證明。




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