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標題: 105台南一中 [打印本頁]

作者: 米斯蘭達 時間: 2016-5-30 19:39 標題: 105台南一中

目前好像還沒有看到公布題目
就來拋磚引玉一下
1. A點(8,3)到拋物線y=x^2-x-2之最短距離為何?
2. 給定兩焦點座標與長軸長，證明橢圓的標準式。(兩個方向都要證明)
3.a(n+1)=Sn+n^2-n+2，其中Sn=a1+a2+...+an，求an之一般項通式。

作者: 5pn3gp6 時間: 2016-5-31 09:39

昨天晚上看到，想說早上起床也打一些記得的題目好了
不過今天一早就看到題目和答案被放出來囉～
　
　
阿　我又看錯題目了QQ

附件: 105_初選_數學_試題.pdf (2016-5-31 09:39, 261.6 KB) / 該附件被下載次數 9546
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3429&k=a81e183274014906a72d3bab4f320bee&t=1732311121

附件: 105_初選_數學_答案.pdf (2016-5-31 09:39, 138.24 KB) / 該附件被下載次數 8647
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作者: eyeready 時間: 2016-5-31 16:15

提供填充5、計算6

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3432&k=23ce03d6bfcb39a4c94ee2ae5595c4dd&t=1732311121

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作者: 5pn3gp6 時間: 2016-5-31 19:36

想請問填充第4
做了幾次跟答案都差48.... 找不到哪邊少算了~"~

計算6我提供另外一個做法
是從圖形去看之後計算再搭配積化和差

計算6

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3435&k=cefb18e339929ffb3f6a91a1d93ae1f8&t=1732311121

作者: eyeready 時間: 2016-5-31 20:51 標題: 回復 4# 5pn3gp6 的帖子

填充4 我算528種......

作者: valkyriea 時間: 2016-5-31 20:52

填充4，如圖

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作者: shihtc 時間: 2016-5-31 20:55 標題: 想問填充1，謝謝

想問填充1，謝謝

作者: valkyriea 時間: 2016-5-31 22:34

填充1
先算5x-4y=0 令x=4t，y=5t (t為整數)
16t^2 + 25t^2 <= 10000
t^2 <= 10000/41
225 < 243 < 10000/41 < 244 < 256
得t之最小值-15，最大值15，
再回去檢查x=4t+1，y=5t+2 (5x-4y+3=0之參數式)
t=-15 或 15 合不合條件，
可知格子點有31個

[ 本帖最後由 valkyriea 於 2016-5-31 10:35 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-5-31 22:36 標題: 回復 7# shihtc 的帖子

填充第1題
\(\begin{align}
& x=\frac{4y-3}{5} \\
& y>0,y\equiv 2\ or\ 7\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& y<0,-y\equiv 3\ or\ 8\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
\end{align}\)
利用\({{60}^{2}}+{{80}^{2}}={{100}^{2}}\)
\(\left( x,y \right)=\left( -59,-73 \right),\left( -55,-68 \right),\cdots ,\left( 57,72 \right),\left( 61,77 \right)\)

作者: leo790124 時間: 2016-6-2 14:04

請教填充3與計算2
謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-6-2 15:08 標題: 回復 10# leo790124 的帖子

填充第3題

\(\begin{align}
& {{a}_{n+1}}={{S}_{n}}+{{n}^{2}}-n+2 \\
& {{a}_{n}}={{S}_{n-1}}+{{\left( n-1 \right)}^{2}}-\left( n-1 \right)+2 \\
& {{a}_{n+1}}-a{}_{n}={{a}_{n}}+2n-2 \\
& {{a}_{n+1}}=2{{a}_{n}}+2\left( n-1 \right) \\
& {{a}_{n+1}}+2\left( n+1 \right)=2\left( {{a}_{n}}+2n \right)={{2}^{2}}\left[ {{a}_{n-1}}+2\left( n-1 \right) \right]=\cdots ={{2}^{n}}\left( {{a}_{1}}+2 \right) \\
& {{a}_{n}}={{2}^{n+1}}-2n \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2016-6-2 16:26 標題: 回復 10# leo790124 的帖子

計算第2題
即證明\(2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right)\le 5\left( 1+{{r}^{4}} \right)\)

\(\begin{align}
& 5\left( 1+{{r}^{4}} \right)-2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right) \\
& =3{{r}^{4}}-2{{r}^{3}}-2{{r}^{2}}-2r+3 \\
& ={{\left( r-1 \right)}^{2}}\left( 3{{r}^{2}}+4r+3 \right)\ge 0 \\
& \\
& 2\left( 1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}+{{r}^{4}} \right)\le 5\left( 1+{{r}^{4}} \right) \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-2 04:28 PM 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2016-6-3 00:26

計算證明題 2.

除了 thepiano 老師提出的速解，也可以用另一個角度考察。

當 r = 0 或 1，原式成立。

當 0 < r ≠ 1，因 f (n) = rⁿ 凹口向上，由 Jensen 不等式，或用梯形法比較面積，或用比較諸函數值的算數平均，皆可得證。

依此，本題可推廣為:

r ≥ 0，n ∈N，則 (1 + r+...+ rⁿ) / (n+1) ≤ (1 + rⁿ) / 2

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-3 01:02 PM 編輯 ]

作者: leo790124 時間: 2016-6-3 14:29 標題: 回復 3# eyeready 的帖子

請益老師複數那堤
倒數第四個等號到倒數第三個等號是怎麼變的呢???

作者: 王重鈞 時間: 2016-6-3 16:27 標題: 提供計算六另解

計算六

圖片附件: IMAG2263_1.jpg (2016-6-3 16:27, 659.75 KB) / 該附件被下載次數 4561
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3446&k=e3c15f8efa060a04a9026175ad884cdc&t=1732311121

作者: eyeready 時間: 2016-6-3 18:05 標題: 回復 14# leo790124 的帖子

利用 sinθーi cosθ=cos(π/2 -θ)ーisin(π/2 -θ)=cos(-π/2 +θ)+isin(-π/2 +θ)
再用極式相乘為角度相加，極式相除為角度相減即可！

作者: cefepime 時間: 2016-6-3 22:56

填充題 4. 以四種顏色塗 4x2 之 8 格方格 (不考慮旋轉)，每種顏色皆塗兩格，每格方格只塗一種顏色，同色不相鄰，則有幾種塗色方法?

想法: 適當的分類，可望化繁為簡。以下依中央四格共塗 2，3，4 色來分類。

下文說明: 藍字: 中央四格選色的方法數; 紅字: 承上選色後，中央四格塗色的方法數; 綠字: 再承上，周邊四格塗色的方法數。

分類 1: 中央四格共塗 2 色

C(4,2)*2*2*2

分類 2: 中央四格共塗 3 色

C(4,3)*C(3,1)*2*2*5

分類 3: 中央四格共塗 4 色

4!*9 (這個 "9" 就是 4 個元素的"錯列數" -- 4個顏色皆有一個(不同的)位置不能塗)

以上三者相加，得 504 種方法。

作者: 六道 時間: 2016-6-4 08:19 標題: 回復 17# cefepime 的帖子

謝謝 cefepime老師的詳細解釋感恩
這邊在下野人獻曝一下我想也許有人跟我一樣原本是不懂錯排(錯列)數的意思的

比如說有n封寫好了的信，收件人不同，胡亂放入n 個寫了地址的信封中，寄出，
求沒有一個收件人收到他所應接收的信的機率。(也就是應該要是A人收到A信 B人收到B信..諸如此類)
當n=4 ，在4! = 24個排列之中，只有9個是錯排：
BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA,

by the way 我們比較常用到的錯列數不妨直接背起來吧 !
D1 = 0，D2 = 1，D3=2，D4 = 9，D5 = 44，D6 = 265，D7 = 1854

D4=9 (就是cefepime老師所說的 4個元素的錯列數 =9 )

[ 本帖最後由六道於 2016-6-4 08:23 AM 編輯 ]

作者: valkyriea 時間: 2016-6-4 11:14 標題: 回復 18# 六道的帖子

n件物品的錯排公式 sigma k=0到n [ (-1)^k * C(n,k) * (n-k)! ]

作者: 阿光 時間: 2016-8-12 22:05

想請教填充2和8,謝謝

作者: tsusy 時間: 2016-8-12 23:24 標題: 回復 20# 阿光的帖子

填充8
取 D' 為 D 對平面 EFGH 的對稱點，
D' 的坐標為 D'(0,0,20)，且 D'PQ 共線

取 D'', P' 分別為 D', P 對平面 BCGF 的對點
D''(0,20,20), P'(1,12,10)，且 D'', P', R 共線

又 R 的 z 坐標為 0，計算可得 R(2,4,0)

作者: thepiano 時間: 2016-8-12 23:33 標題: 回復 20# 阿光的帖子

填充第2題
\(\begin{align}
& {{c}_{ij}}=\sum\limits_{k=1}^{8}{\left( {{a}_{ik}}\times {{b}_{kj}} \right)}\quad \left( i=1\tilde{\ }6,j=1\tilde{\ }7 \right) \\
& =\sum\limits_{k=1}^{8}{\left[ \left( -i+k \right)\left( k-2j \right) \right]} \\
& =\sum\limits_{k=1}^{8}{\left[ 2ij-\left( i+2j \right)k+{{k}^{2}} \right]} \\
& =16ij-36\left( i+2j \right)+204 \\
& =\left( 4i-18 \right)\left( 4j-9 \right)+42 \\
\end{align}\)
易知\(i=6,j=7\)時，\({{c}_{ij}}\)有最大值；\(i=1,j=7\)時，\({{c}_{ij}}\)有最小值

作者: exin0955 時間: 2017-3-15 22:52

想請益計算三

作者: thepiano 時間: 2017-3-16 19:08 標題: 回復 23# exin0955 的帖子

計算第三題
作\(\overline{QE}\)垂直\(\overline{AP}\)於\(E\)，\(\overline{QF}\)垂直\(\overline{BC}\)於\(F\)
令\(\overline{QF}=x\)，則\(\overline{QE}=1-x\)
\(\begin{align}
& \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{QE}}{\overline{QF}} \\
& \overline{AP}=\frac{1-x}{x} \\
& \Delta APQ+\Delta QBC=\frac{1}{2}\times \frac{1-x}{x}\times \left( 1-x \right)+\frac{1}{2}\times 1\times x \\
& =\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{2x}+\frac{x}{2} \\
& =x+\frac{1}{2x}-1 \\
& \ge \sqrt{2}-1 \\
\end{align}\)

作者: exin0955 時間: 2017-3-17 07:38 標題: 回復 24# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師簡單犀利自己用微分計算錯了

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