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標題: 105中科實中試題與解答(官方版本) [打印本頁]

作者: 六道 時間: 2016-5-21 21:46 標題: 105中科實中試題與解答(官方版本)

附上在下印象中的計算題題目
如果有錯誤的地方還請各位大師幫忙訂正

Ps.很多題目在下都無從入手懇請賜教
再來今天下雨原本是好雨知時節
但監考老師實在長得太像食神裡面的味公主
讓在下不禁多看幾眼 ... 而她還不忘宣讀兩次的考場規則
實在太黯然太銷魂了 ... 讓在下一度忘記我是來考教甄還是來考食神
而原本有想法的題目也忘光了慚愧!
(以上都是在下實力不足的推託之詞請大家見諒)

[ 本帖最後由六道於 2016-5-21 09:56 PM 編輯 ]

附件: 中科實中數學專長試題及答案公告版.pdf (2016-5-21 21:46, 114.84 KB) / 該附件被下載次數 12063
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作者: bugmens 時間: 2016-5-21 22:02

110.5.3補充
9.
設\(ABCD\)為正方形，已知正方形\(ABCD\)的面積為36，且\(\overline{AB}\)平行\(x\)軸，\(A\)、\(B\)、\(C\)三點分別在\(y=log_ax\)、\(y=2log_ax\)、\(y=3log_ax\)的圖形上，則\(a=\)？
(110彰化女中，https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

14.
請問欲使\( f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2 \)有最小值，此時的實數數對\((a,b)=\)？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
[解答]
對\(a\)偏微分
\(2(a+b-2)(1)+2(a+2b-3)(1)+2(a+3b-5)(1)+2(a+4b-8)(1)=0\)
\(8a+20b-36=0\)

對\(b\)偏微分
\(2(a+b-2)(2)+2(a+2b-3)(2)+2(a+3b-5)(3)+2(a+4b-8)(4)=0\)
\(20a+60b-110=0\)
解聯立方程式得\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)，\(b=2\)
最小值\(\displaystyle f(-\frac{1}{2},2)=1\)

16.
設數列，\(a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1}\)，則\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{105}}=\)？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872

作者: thepiano 時間: 2016-5-21 22:27 標題: 回復 1# 六道的帖子

這是給國中部的老師考的題目，這......

六道兄，看了您的P.S，辛苦您了XD

作者: ejo3vu84 時間: 2016-5-21 22:44

請教12，謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-5-21 23:05 標題: 回復 4# ejo3vu84 的帖子

第12題
黎曼和，把\(\frac{1}{n}\)弄進根號裡

作者: koeagle 時間: 2016-5-22 15:55

想請教填充第一題，謝謝！

作者: eyeready 時間: 2016-5-22 16:07 標題: 回復 6# koeagle 的帖子

先求出定點（n,n^2+2n)，再取三點求出abc之值得f(x)=x^2+2x因此最小值-1

作者: thepiano 時間: 2016-5-22 16:21 標題: 回復 7# eyeready 的帖子

應該不用取三點，代進去f(x)比較係數即可

作者: eyeready 時間: 2016-5-22 16:44 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

Piano大大技高一籌

作者: koeagle 時間: 2016-5-22 18:09 標題: 回復 9# eyeready 的帖子

謝謝 thespian、eyeready兩位老師的解答。
考試當下寫到頭昏，還一直執著於n是正整數，所以最小值寫成(1+1)^2-1=3，忘了題目問的是f(x)。

作者: jyi 時間: 2016-5-22 22:32

請教填充第六，十題！

6.
若一元四次多項式方程式\(x^4-12x^3+46x^2-60x+11=0\)的四個根分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，且方程式\( \displaystyle \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}=0 \)的三個實根由小至大分別為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，則有序數組\( \left( x_1,x_2,x_3 \right)= \)？

10.
若\( \alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_{105} \)為\(x^{105}+2x^{104}+3=0\)的複數根，則\( (\alpha_1^2+1)(\alpha_2^2+1)\ldots(\alpha_{105}^2+1)= \)？

作者: thepiano 時間: 2016-5-23 09:37

第6&10題
見圖

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-23 09:39 AM 編輯 ]

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作者: 六道 時間: 2016-5-23 14:41 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

鋼琴老師，12題懇請賜教，願聞其詳啊！
此外也請老師們指導計算題1、2兩題，感謝您！

作者: jyi 時間: 2016-5-23 14:49

請教填充第十一題！

11.
在\( \Delta ABC \)中，\( ∠A \)、\( ∠B \)、\( ∠C \)的對邊長度各別為\(a\)、\(b\)、7，則求\(a^2 cos 2B+2ab cos(A-B)+b^2 cos 2A\)之值=？

作者: thepiano 時間: 2016-5-23 20:17 標題: 回復 13# 六道的帖子

第12題
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left( \sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\sqrt{4n^2-3^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right)= \)？
[解答]
\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4{{n}^{2}}}\left( \sqrt{4{{n}^{2}}-{{1}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{2}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{3}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4{{n}^{2}}-{{n}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \sqrt{4-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{3}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4-{{\left( \frac{n}{n} \right)}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)
即求X軸、Y軸、x=1和\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)在第一象限所圍成區域面積的\(\frac{1}{4}\)

作者: thepiano 時間: 2016-5-23 20:21 標題: 回復 13# 六道的帖子

計算第2題
這是特徵根相同的遞迴數列，可參考高中數學競賽教程
答案是\(\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}}\)

作者: thepiano 時間: 2016-5-23 20:29 標題: 回復 14# jyi 的帖子

第11題
這種考填充，直接用特例正三角形，不用1分鐘

作者: chiang 時間: 2016-5-23 21:01 標題: 請教填充4,5

不好意思，轉不出來
卡住了
請教填充3,4
謝謝
計算題第一題答案
是這樣算嗎？

[ 本帖最後由 chiang 於 2016-5-23 09:35 PM 編輯 ]

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作者: thepiano 時間: 2016-5-23 21:53 標題: 回復 18# chiang 的帖子

第3題
某學生想安排週日一天的讀書活動，他將時間分成上午四節、下午四節，共八節等長的時間，欲安排入三節數學，以及英文、國文、化學、物理、公民各一節，但是為了避免讀書太單調，所以不管是分別在上午或下午的時段中，任兩節數學課都不可以連排，又因為中午有休息的關係，可以第四、五節同時排數學，則他本次週日的讀書活動有多少種排法？
[解答]
上午排2節數學，下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法，下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2

第4題
近幾年的新聞有看過冤獄國賠的例子，情形如下：凡經檢方起訴，經法官一審後被判有罪，即須入監服刑，服刑完畢之後，無罪的人一定會提起冤獄賠償訴訟，而有罪的人會提起冤獄賠償訴訟的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)，且冤獄賠償訴訟只能提告一次，經法官判定後即不能再上訴。假設
(1)被檢方起訴的人有\( \displaystyle \frac{4}{5} \)的人真的有罪，
(2)每位法官誤判的機率為\( \displaystyle \frac{1}{10} \)。
若已知有一個人被判有罪，服滿刑期後，提起了冤獄訴訟，而獲得了國賠。請問他真的應該獲得國賠的機率為？
[解答]
有罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\( \displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\)
無罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\( \displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}\)
所求\( \frac{\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}{\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}\)

作者: 六道 時間: 2016-5-23 21:54 標題: 回復 18# chiang 的帖子

Chiang兄我計算第一題跟你的想法做法一樣看分數是有拿到的但是我第二題也有寫可是時間不夠程度不夠沒逼出來不知道是否有部份分數總之第一題照您的做法是有分數的只是不知道是否10分都有就是了

此外附上第5題在下野人獻曝的做法

5.
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=9 \)且\( (c-5)^2+(d-12)^2=4 \)，則\( ad-bc \)的最大值為？

圖片附件: S__6693135.jpg (2016-5-23 22:00, 147.11 KB) / 該附件被下載次數 5867
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3399&k=1a239e20b2f073c2ffb0969f321d7e7b&t=1732254344

作者: eyeready 時間: 2016-5-23 23:33 標題: 回復 14# jyi 的帖子

参考看看

圖片附件: image.jpg (2016-5-23 23:33, 786.61 KB) / 該附件被下載次數 6039
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3401&k=3ab955c53dc7ec7f92ff5e01a4adaf15&t=1732254344

作者: eyeready 時間: 2016-5-23 23:41 標題: 回復 20# 六道的帖子

提供幾何作法参考

圖片附件: image.jpg (2016-9-27 15:24, 1.51 MB) / 該附件被下載次數 6250
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3402&k=2ec65c19f4b06fd1adf75524cee4b5e4&t=1732254344

作者: 六道 時間: 2016-5-23 23:58 標題: 回復 22# eyeready 的帖子

謝謝 eyeready 老師提供的解法 !

作者: chiang 時間: 2016-5-24 00:10

引用:

原帖由 thepiano 於 2016-5-23 09:53 PM 發表
第3題
上午排2節數學，下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法，下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2

第4題
有罪的人，判決有罪，提出國賠，獲得國賠：\(\frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{1 ...

第4題，
終於知道自己卡在那
謝謝您

作者: chiang 時間: 2016-5-24 00:12

引用:

原帖由 eyeready 於 2016-5-23 11:41 PM 發表
提供幾何作法参考

這算法，崇拜....
果然，現在還在流浪不是沒有原因

作者: thepiano 時間: 2016-5-26 15:56 標題: 回復 13# 六道的帖子

計算第2題
\(\begin{align}
& {{a}_{2}}-2{{a}_{1}}=-1 \\
& {{a}_{n+2}}-2{{a}_{n+1}}=2\left( {{a}_{n+1}}-2{{a}_{n}} \right) \\
& \\
& {{a}_{n}}-2{{a}_{n-1}}=-{{2}^{n-2}} \\
& {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}-{{2}^{n-2}} \\
& =2\left( 2{{a}_{n-2}}-{{2}^{n-3}} \right)-{{2}^{n-2}} \\
& =4{{a}_{n-2}}-{{2}^{n-2}}\times 2 \\
& =4\left( 2{{a}_{n-3}}-{{2}^{n-4}} \right)-{{2}^{n-2}}\times 2 \\
& =8{{a}_{n-3}}-{{2}^{n-2}}\times 3 \\
& : \\
& : \\
& ={{2}^{n-1}}{{a}_{1}}-{{2}^{n-2}}\times \left( n-1 \right) \\
& =\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}} \\
\end{align}\)

作者: shihtc 時間: 2016-6-10 21:33 標題: 想請問填充13題答案

想請問填充13題答案是否正確，因為我一直算525/36，
目前找不出錯誤......,謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-6-10 21:59 標題: 回復 27# shihtc 的帖子

小弟算的答案跟官方公布的一樣，您要不要 post 一下您的算式？

作者: eyeready 時間: 2016-6-10 22:00

\( \displaystyle \left( \frac{3}{36} \right)*20+\left( \frac{23}{36} \right)*15+\left( \frac{10}{36} \right)*10=\frac{505}{36} \)

轉移矩陣\( \left[ \matrix{\displaystyle 0&\frac{1}{6}&0\cr 1&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\cr 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}} \right] \)

PS：大家都好認真哦~~

作者: shihtc 時間: 2016-6-10 22:20 標題: 回復 29# eyeready 的帖子

我的轉移矩陣寫錯了，腦殘了，抱歉，謝謝回復。

[ 本帖最後由 shihtc 於 2016-6-10 10:22 PM 編輯 ]

作者: eyeready 時間: 2016-6-10 22:36 標題: 回復 30# shihtc 的帖子

題目若是改成長期而言的期望值除了用矩陣運算外，還可以用組合C來運算
\( \displaystyle \frac{C_2^2}{C_2^5}\times 20+\frac{C_1^2 \times C_1^3}{C_2^5}\times 15+\frac{C_2^3}{C_2^5}\times 10=14 \)

作者: cefepime 時間: 2016-6-10 23:32

填充題 13. 設 A袋有2個十元硬幣，B袋有3個五元硬幣，從A袋任取一個錢幣與B袋任取一個錢幣互換，進行3次後，求A袋中錢幣金額的期望值為?

原理: 一袋中有 n 個硬幣，共 m 元，隨機取走 1 個硬幣，則取走的硬幣金額期望值 = m/n 元，剩餘的硬幣金額期望值 = m - (m/n) 元。

本題 A 袋與 B 袋各維持 2 與 3 個硬幣。依上述，當金額 (A袋 , B袋) = (a , b) 時，進行一次互換後，金額期望值 [A袋 , B袋] = [ (a/2) + (b/3) , (a/2) + (2b/3) ]

依據期望值的定義，用"列舉"的方法思考，可知上述遞推關係亦適合於金額期望值 (A袋 , B袋) = (a , b) 時。

以下依此依序計算兩袋金額期望值 (注意總金額不變): (a , b) = (20 , 15) → (15 , 20) → (85/6 , 125/6) → (505/36 , X)

上述過程，亦可用 (a , b) 與二階方陣的線性變換表示; 該二階方陣亦具"推移矩陣"之形式。

(當互換次數趨近無限大，A袋金額期望值 = (20 +15)*(2/5) = 14 元。)

-------------------------------------

若本題題目改為: "先從A袋任取一個錢幣至B袋，再由B袋任取一個錢幣至A袋"，則遞推關係為 [a , b] → [ (5a/8) + (b/4) , (3a/8) + (3b/4) ]

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-11 01:32 PM 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2017-1-26 12:11 標題: 請教一下第二題

請問一下版上老師

填充二做到柯西不等式成立時 x/a=(-y/b)=3/2
和第二式(2a/3b^2)+(b/2)+(3b/a)=3 就卡住了...

用答案去推過程發現第二式各別都要相等於1,觀念不清楚,請教大家一下!!

作者: thepiano 時間: 2017-1-26 16:15 標題: 回復 33# anyway13 的帖子

填充第 2 題
第二式用算幾

作者: anyway13 時間: 2017-1-26 18:02 標題: 回復 34# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點迷津

作者: Chen 時間: 2020-2-21 00:49

填充第7題題目中：

如右圖……。「若」有通過P點，……

題目只有題到「若」有通過P點(「若」是如果的意思)，那麼「若」沒有通過呢？題目並沒有多做說明。
所以我認為這題題目裡是可以從A走捷徑到B而不通過P的，依然要算是題目裡所說的走法。
那麼這題答案有誤。
如果當初出題時想的走法一定要經過P，那麼題目就要寫清楚。
希望將來命題或公佈答案上，能多加留意。

感謝樓下 37# thepiano 老師的說明，之前沒仔細檢查，所以搞錯了@@。
我原來是直接算，分成不過P和過P，兩種情況來處理。經詳細檢查後，一樣算出正確答案。
也謝謝 thepiano 老師提供的方法。

[ 本帖最後由 Chen 於 2020-2-21 23:01 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2020-2-21 09:57 標題: 回復 36# Chen 的帖子

用全部走法扣掉過 P 且未轉彎的情形，答案是 155 種沒錯

作者: Nan3010 時間: 2023-5-10 08:29

想請教填充8、15 ，謝謝各位老師～

作者: tsusy 時間: 2023-5-10 09:47 標題: 回覆 38# Nan3010 的帖子

填充 15. 在複數平面上，把 \( |z_1 - z_2 | \) 解讀成兩點距離
則有平行四邊形定理 (或中線定理) 可得
\( 14 \times 2 = |2z|^2 + |1+i - (-1-i)|^2 \)

\( \Rightarrow |z| = \sqrt{5} \)

作者: thepiano 時間: 2023-5-10 10:17 標題: 回覆 38# Nan3010 的帖子

第 8 題
善用本站的搜尋功能，關鍵字用 "四個虛根"

作者: Nan3010 時間: 2023-5-10 10:25

謝謝兩位老師解答!

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