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標題: 105中科實中試題與解答(官方版本) [打印本頁]

作者: 六道    時間: 2016-5-21 21:46     標題: 105中科實中試題與解答(官方版本)

附上在下印象中的計算題題目
如果有錯誤的地方還請各位大師幫忙訂正

Ps.很多題目在下都無從入手 懇請賜教
再來 今天下雨 原本是好雨知時節
但監考老師實在長得太像食神裡面的味公主
讓在下不禁多看幾眼 ... 而她還不忘宣讀兩次的考場規則
實在太黯然 太銷魂了 ... 讓在下一度忘記我是來考教甄還是來考食神
而原本有想法的題目也忘光了 慚愧!
(以上都是在下實力不足的推託之詞 請大家見諒)

[ 本帖最後由 六道 於 2016-5-21 09:56 PM 編輯 ]

附件: 中科實中數學專長試題及答案公告版.pdf (2016-5-21 21:46, 114.84 KB) / 該附件被下載次數 11015
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作者: bugmens    時間: 2016-5-21 22:02

110.5.3補充
9.
設\(ABCD\)為正方形,已知正方形\(ABCD\)的面積為36,且\(\overline{AB}\)平行\(x\)軸,\(A\)、\(B\)、\(C\)三點分別在\(y=log_ax\)、\(y=2log_ax\)、\(y=3log_ax\)的圖形上,則\(a=\)?
(110彰化女中,https://math.pro/db/thread-3514-1-1.html)

14.
請問欲使\( f(a,b)=(a+b-2)^2+(a+2b-3)^2+(a+3b-5)^2+(a+4b-8)^2 \)有最小值,此時的實數數對\((a,b)=\)?
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
[解答]
對\(a\)偏微分
\(2(a+b-2)(1)+2(a+2b-3)(1)+2(a+3b-5)(1)+2(a+4b-8)(1)=0\)
\(8a+20b-36=0\)

對\(b\)偏微分
\(2(a+b-2)(2)+2(a+2b-3)(2)+2(a+3b-5)(3)+2(a+4b-8)(4)=0\)
\(20a+60b-110=0\)
解聯立方程式得\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\),\(b=2\)
最小值\(\displaystyle f(-\frac{1}{2},2)=1\)


16.
設數列,\(a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3 \of{n^2-1}+\root 3 \of{n^2-2n+1}\),則\(\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots+\frac{1}{a_{105}}=\)?
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2208&page=1#pid12872
作者: thepiano    時間: 2016-5-21 22:27     標題: 回復 1# 六道 的帖子

這是給國中部的老師考的題目,這......

六道兄,看了您的P.S,辛苦您了XD
作者: ejo3vu84    時間: 2016-5-21 22:44

請教12,謝謝
作者: thepiano    時間: 2016-5-21 23:05     標題: 回復 4# ejo3vu84 的帖子

第12題
黎曼和,把\(\frac{1}{n}\)弄進根號裡
作者: koeagle    時間: 2016-5-22 15:55

想請教填充第一題,謝謝!
作者: eyeready    時間: 2016-5-22 16:07     標題: 回復 6# koeagle 的帖子

先求出定點(n,n^2+2n),再取三點求出abc之值得f(x)=x^2+2x因此最小值-1
作者: thepiano    時間: 2016-5-22 16:21     標題: 回復 7# eyeready 的帖子

應該不用取三點,代進去f(x)比較係數即可
作者: eyeready    時間: 2016-5-22 16:44     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

Piano大大技高一籌
作者: koeagle    時間: 2016-5-22 18:09     標題: 回復 9# eyeready 的帖子

謝謝 thespian、eyeready兩位老師的解答。
考試當下寫到頭昏,還一直執著於n是正整數,所以最小值寫成(1+1)^2-1=3,忘了題目問的是f(x)。
作者: jyi    時間: 2016-5-22 22:32

請教填充第六,十題!

6.
若一元四次多項式方程式\(x^4-12x^3+46x^2-60x+11=0\)的四個根分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\),且方程式\( \displaystyle \frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}=0 \)的三個實根由小至大分別為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\),則有序數組\( \left( x_1,x_2,x_3 \right)= \)?

10.
若\( \alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_{105} \)為\(x^{105}+2x^{104}+3=0\)的複數根,則\( (\alpha_1^2+1)(\alpha_2^2+1)\ldots(\alpha_{105}^2+1)= \)?
作者: thepiano    時間: 2016-5-23 09:37

第6&10題
見圖

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-23 09:39 AM 編輯 ]

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作者: 六道    時間: 2016-5-23 14:41     標題: 回復 5# thepiano 的帖子

鋼琴老師,12題懇請賜教,願聞其詳啊!
此外也請老師們指導計算題1、2兩題,感謝您!
作者: jyi    時間: 2016-5-23 14:49

請教填充第十一題!

11.
在\( \Delta ABC \)中,\( ∠A \)、\( ∠B \)、\( ∠C \)的對邊長度各別為\(a\)、\(b\)、7,則求\(a^2 cos 2B+2ab cos(A-B)+b^2 cos 2A\)之值=?
作者: thepiano    時間: 2016-5-23 20:17     標題: 回復 13# 六道 的帖子

第12題
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n^2}\left( \sqrt{4n^2-1^2}+\sqrt{4n^2-2^2}+\sqrt{4n^2-3^2}+\ldots+\sqrt{4n^2-n^2} \right)= \)?
[解答]
\(\begin{align}
  & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{4{{n}^{2}}}\left( \sqrt{4{{n}^{2}}-{{1}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{2}^{2}}}+\sqrt{4{{n}^{2}}-{{3}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4{{n}^{2}}-{{n}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \sqrt{4-{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{2}{n} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-{{\left( \frac{3}{n} \right)}^{2}}}+\cdots +\sqrt{4-{{\left( \frac{n}{n} \right)}^{2}}} \right) \\
& =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}} \\
\end{align}\)
即求X軸、Y軸、x=1和\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)在第一象限所圍成區域面積的\(\frac{1}{4}\)
作者: thepiano    時間: 2016-5-23 20:21     標題: 回復 13# 六道 的帖子

計算第2題
這是特徵根相同的遞迴數列,可參考高中數學競賽教程
答案是\(\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}}\)
作者: thepiano    時間: 2016-5-23 20:29     標題: 回復 14# jyi 的帖子

第11題
這種考填充,直接用特例正三角形,不用1分鐘
作者: chiang    時間: 2016-5-23 21:01     標題: 請教填充4,5

不好意思,轉不出來
卡住了
請教填充3,4
謝謝
計算題第一題答案
是這樣算嗎?


[ 本帖最後由 chiang 於 2016-5-23 09:35 PM 編輯 ]

圖片附件: 1464010477620269262680.jpg (2016-5-23 21:35, 1.9 MB) / 該附件被下載次數 6219
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作者: thepiano    時間: 2016-5-23 21:53     標題: 回復 18# chiang 的帖子

第3題
某學生想安排週日一天的讀書活動,他將時間分成上午四節、下午四節,共八節等長的時間,欲安排入三節數學,以及英文、國文、化學、物理、公民各一節,但是為了避免讀書太單調,所以不管是分別在上午或下午的時段中,任兩節數學課都不可以連排,又因為中午有休息的關係,可以第四、五節同時排數學,則他本次週日的讀書活動有多少種排法?
[解答]
上午排2節數學,下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法,下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2


第4題
近幾年的新聞有看過冤獄國賠的例子,情形如下:凡經檢方起訴,經法官一審後被判有罪,即須入監服刑,服刑完畢之後,無罪的人一定會提起冤獄賠償訴訟,而有罪的人會提起冤獄賠償訴訟的機率為\( \displaystyle \frac{1}{2} \),且冤獄賠償訴訟只能提告一次,經法官判定後即不能再上訴。假設
(1)被檢方起訴的人有\( \displaystyle \frac{4}{5} \)的人真的有罪,
(2)每位法官誤判的機率為\( \displaystyle \frac{1}{10} \)。
若已知有一個人被判有罪,服滿刑期後,提起了冤獄訴訟,而獲得了國賠。請問他真的應該獲得國賠的機率為?
[解答]
有罪的人,判決有罪,提出國賠,獲得國賠:\( \displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\)
無罪的人,判決有罪,提出國賠,獲得國賠:\( \displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}\)
所求\( \frac{\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}{\displaystyle \frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}+\frac{1}{5}\times \frac{1}{10}\times 1\times \frac{9}{10}}\)
作者: 六道    時間: 2016-5-23 21:54     標題: 回復 18# chiang 的帖子

Chiang兄 我計算第一題跟你的想法做法一樣 看分數是有拿到的 但是我第二題也有寫 可是時間不夠程度不夠沒逼出來 不知道是否有部份分數 總之第一題照您的做法是有分數的 只是不知道是否10分都有就是了

此外附上第5題  在下野人獻曝的做法

5.
設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=9 \)且\( (c-5)^2+(d-12)^2=4 \),則\( ad-bc \)的最大值為?

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作者: eyeready    時間: 2016-5-23 23:33     標題: 回復 14# jyi 的帖子

参考看看

圖片附件: image.jpg (2016-5-23 23:33, 786.61 KB) / 該附件被下載次數 5398
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3401&k=3cc5436d023f62ae92cae99fec5de520&t=1711620383


作者: eyeready    時間: 2016-5-23 23:41     標題: 回復 20# 六道 的帖子

提供幾何作法参考

圖片附件: image.jpg (2016-9-27 15:24, 1.51 MB) / 該附件被下載次數 5609
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3402&k=47171e4cddcb484f486c86d4f60bfc7d&t=1711620383


作者: 六道    時間: 2016-5-23 23:58     標題: 回復 22# eyeready 的帖子

謝謝 eyeready 老師提供的解法 !
作者: chiang    時間: 2016-5-24 00:10

引用:
原帖由 thepiano 於 2016-5-23 09:53 PM 發表
第3題
上午排2節數學,下午排1節或反之
上午排2節數學有3種排法,下午排1節數學有4種排法
所求=3*4*5!*2

第4題
有罪的人,判決有罪,提出國賠,獲得國賠:\(\frac{4}{5}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{1 ...
第4題,
終於知道自己卡在那
謝謝您
作者: chiang    時間: 2016-5-24 00:12

引用:
原帖由 eyeready 於 2016-5-23 11:41 PM 發表
提供幾何作法参考
這算法,崇拜....
果然,現在還在流浪不是沒有原因
作者: thepiano    時間: 2016-5-26 15:56     標題: 回復 13# 六道 的帖子

計算第2題
\(\begin{align}
  & {{a}_{2}}-2{{a}_{1}}=-1 \\
& {{a}_{n+2}}-2{{a}_{n+1}}=2\left( {{a}_{n+1}}-2{{a}_{n}} \right) \\
&  \\
& {{a}_{n}}-2{{a}_{n-1}}=-{{2}^{n-2}} \\
& {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}-{{2}^{n-2}} \\
& =2\left( 2{{a}_{n-2}}-{{2}^{n-3}} \right)-{{2}^{n-2}} \\
& =4{{a}_{n-2}}-{{2}^{n-2}}\times 2 \\
& =4\left( 2{{a}_{n-3}}-{{2}^{n-4}} \right)-{{2}^{n-2}}\times 2 \\
& =8{{a}_{n-3}}-{{2}^{n-2}}\times 3 \\
& : \\
& : \\
& ={{2}^{n-1}}{{a}_{1}}-{{2}^{n-2}}\times \left( n-1 \right) \\
& =\left( 3-n \right)\times {{2}^{n-2}} \\
\end{align}\)
作者: shihtc    時間: 2016-6-10 21:33     標題: 想請問填充13題答案

想請問填充13題答案是否正確,因為我一直算525/36,
目前找不出錯誤......,謝謝
作者: thepiano    時間: 2016-6-10 21:59     標題: 回復 27# shihtc 的帖子

小弟算的答案跟官方公布的一樣,您要不要 post 一下您的算式?
作者: eyeready    時間: 2016-6-10 22:00

\( \displaystyle \left( \frac{3}{36} \right)*20+\left( \frac{23}{36} \right)*15+\left( \frac{10}{36} \right)*10=\frac{505}{36} \)

轉移矩陣\( \left[ \matrix{\displaystyle 0&\frac{1}{6}&0\cr 1&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\cr 0&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}} \right] \)

PS:大家都好認真哦~~
作者: shihtc    時間: 2016-6-10 22:20     標題: 回復 29# eyeready 的帖子

我的轉移矩陣寫錯了,腦殘了,抱歉,謝謝回復。

[ 本帖最後由 shihtc 於 2016-6-10 10:22 PM 編輯 ]
作者: eyeready    時間: 2016-6-10 22:36     標題: 回復 30# shihtc 的帖子

題目若是改成長期而言的期望值除了用矩陣運算外,還可以用組合C來運算
\( \displaystyle \frac{C_2^2}{C_2^5}\times 20+\frac{C_1^2 \times C_1^3}{C_2^5}\times 15+\frac{C_2^3}{C_2^5}\times 10=14 \)
作者: cefepime    時間: 2016-6-10 23:32

填充題 13. 設 A袋有2個十元硬幣,B袋有3個五元硬幣,從A袋任取一個錢幣與B袋任取一個錢幣互換,進行3次後,求A袋中錢幣金額的期望值為?


原理: 一袋中有 n 個硬幣,共 m 元,隨機取走 1 個硬幣,則取走的硬幣金額期望值 = m/n 元,剩餘的硬幣金額期望值 = m - (m/n) 元。


本題 A 袋 與 B 袋各維持 2 與 3 個硬幣。依上述,當金額 (A袋 , B袋) = (a , b) 時,進行一次互換後,金額期望值 [A袋 , B袋] = [ (a/2) + (b/3) , (a/2) + (2b/3) ]

依據期望值的定義,用"列舉"的方法思考,可知上述遞推關係亦適合於金額期望值 (A袋 , B袋) = (a , b) 時。


以下依此依序計算兩袋金額期望值 (注意總金額不變): (a , b) = (20 , 15) → (15 , 20) → (85/6 , 125/6) → (505/36 , X)

上述過程,亦可用 (a , b) 與二階方陣的線性變換表示; 該二階方陣亦具"推移矩陣"之形式。


(當互換次數趨近無限大,A袋金額期望值 = (20 +15)*(2/5) = 14 元。)

-------------------------------------

若本題題目改為: "先從A袋任取一個錢幣至B袋,再由B袋任取一個錢幣至A袋",則遞推關係為 [a , b] → [ (5a/8) + (b/4) , (3a/8) + (3b/4) ]



[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-11 01:32 PM 編輯 ]
作者: anyway13    時間: 2017-1-26 12:11     標題: 請教一下 第二題

請問一下版上老師

填充二 做到柯西不等式成立時  x/a=(-y/b)=3/2
            和第二式(2a/3b^2)+(b/2)+(3b/a)=3  就卡住了...

用答案去推過程 發現第二式各別都要相等於1,觀念不清楚,請教大家一下!!
作者: thepiano    時間: 2017-1-26 16:15     標題: 回復 33# anyway13 的帖子

填充第 2 題
第二式用算幾
作者: anyway13    時間: 2017-1-26 18:02     標題: 回復 34# the piano 的帖子

謝謝鋼琴老師指點迷津
作者: Chen    時間: 2020-2-21 00:49

填充第7題題目中:

如右圖……。「若」有通過P點,……

題目只有題到「若」有通過P點(「若」是如果的意思),那麼「若」沒有通過呢?題目並沒有多做說明。
所以我認為這題題目裡是可以從A走捷徑到B而不通過P的,依然要算是題目裡所說的走法。
那麼這題答案有誤。
如果當初出題時想的走法一定要經過P,那麼題目就要寫清楚。
希望將來命題或公佈答案上,能多加留意。

感謝樓下 37# thepiano 老師的說明,之前沒仔細檢查,所以搞錯了@@。
我原來是直接算,分成不過P和過P,兩種情況來處理。經詳細檢查後,一樣算出正確答案。
也謝謝 thepiano 老師提供的方法。

[ 本帖最後由 Chen 於 2020-2-21 23:01 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2020-2-21 09:57     標題: 回復 36# Chen 的帖子

用全部走法扣掉過 P 且未轉彎的情形,答案是 155 種沒錯
作者: Nan3010    時間: 2023-5-10 08:29

想請教填充8、15 ,謝謝各位老師~
作者: tsusy    時間: 2023-5-10 09:47     標題: 回覆 38# Nan3010 的帖子

填充 15. 在複數平面上,把 \( |z_1 - z_2 | \) 解讀成兩點距離
則有平行四邊形定理 (或中線定理) 可得
\( 14 \times 2 = |2z|^2 + |1+i - (-1-i)|^2 \)

\( \Rightarrow |z| = \sqrt{5} \)
作者: thepiano    時間: 2023-5-10 10:17     標題: 回覆 38# Nan3010 的帖子

第 8 題
善用本站的搜尋功能,關鍵字用 "四個虛根"
作者: Nan3010    時間: 2023-5-10 10:25

謝謝兩位老師解答!




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