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標題: 105北一女中二招 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2016-5-21 18:05 標題: 105北一女中二招

我盡力了，再麻煩大家補充

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作者: thepiano 時間: 2016-5-21 20:56 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

計算證明第4題
這題去年雄中考過，那時板上分享的題目應該是少了”此圓通過原點”這個條件
此題會用到三次方程式的判別式，答案為\(\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt[3]{2}\)

作者: Ellipse 時間: 2016-5-22 11:51

#3
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{\pi}{12n}+\frac{3\pi}{12n}+\frac{5\pi}{12n}+\ldots+\frac{(2n-1)\pi}{12n}\right)=\)
[解答]
原式=∫ {0 to 2} sin(π*x/12) dx - ∫ {0 to 1} sin(π*x/6) dx

答案: (6-3√3) / π

作者: patrickchen 時間: 2016-5-26 11:12 標題: 回復 1# Superconan 的帖子

補上官方公佈的填充題答案給大家參考。

105.5.26補充
將檔案移到第一篇

作者: ferng 時間: 2016-5-28 16:45

請問各位前輩：第2題若函數\(f(x)=a^{log(x^2+1)}\)有最大值，這句話是甚麼意思？
麻煩解答，謝謝！

作者: raven 時間: 2016-5-28 18:12

第二題
已知\(a>0\)，\(a\ne 1\)，若函數\(f(x)=a^{log(x^2+1)}\)有最大值，則滿足\(\displaystyle log_a \frac{k-8}{k(k-5)}\ge 0\)的\(k\)的範圍為　　　。
[解答]
0<a<1
所以0< (k-8)/k(k-5) <=1
解不等式，
前面：0<k<5 或 k>8
後面：k<=0 或 2<=k<=4 或 k>=5

作者: g112 時間: 2016-6-21 12:05

想請教一下填充第5題和第6題, 謝謝

作者: tsusy 時間: 2016-6-21 19:53 標題: 回復 7# g112 的帖子

填充 5.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(\overline{AB}=4,\overline{BC}=5,\overline{CA}=6\)，三高為\(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\)，試求三面積比\(\Delta AEF:\Delta BDF:\Delta CDE=\)　　　。
[解答]
三高 → 直角

故有 \( \overline{AF} = \overline{AC} \cos A \), \( \overline{AE} = \overline{AB} \cos A \)

再利用兩邊一夾角計算面積得 \( \triangle AEF = \triangle ABC \cos^2 A\)

同理可得另兩三角形之面積為 \( \triangle \) 的 \( \cos^2 B, \cos^2C\) 倍

再以餘弦定理計算三角的餘弦值，即可得面積比

填充 6.
已知兩方程式\(x^2-2x+2=0\)與\(x^2+2mx+1=0\)的四個不同根在複數平面上對應的點共圓，則實數\(m\)的範圍為　　　。
[解答]
\( x^2 -2x +2 =0 \) 之兩根為 \( 1 \pm i \)。

令方程式 \( x^2+2mx+1 = 0 \) 之兩根為 \( \alpha, \beta \)，及四點 \( A(\alpha), B(\beta), C(1+i), D(1-i) \)

因 \( m \) 為實數，故 \( \alpha, \beta \) 可為兩實根或兩共軛虛根

若為兩實根，則 \( \overline{AB} \), \( \overline{CD} \) 的中垂線分別為 \( x= -m \), \( y=0 \) 其交點為 \( -m,0 \)，此點即圓心

由圓心到四點等距可得 \( m = -\frac32 \)

若為兩共軛虛根之情形，只要 \( ABCD \) 四點不共線，則四點可形成一等腰等形(或矩形)必共圓

故得 \( -1< m < 1 \) 時，四點共圓

綜合以上，滿足四點共圓的 m 範圍為 \( -1<m<1 \) 或 \( m = -\frac32 \)

作者: g112 時間: 2016-6-21 20:41

引用:

原帖由 tsusy 於 2016-6-21 07:53 PM 發表
填充 5. 三高 → 直角

故有 \( \overline{AF} = \overline{AC} \cos A \), \( \overline{AE} = \overline{AB} \cos A \)

再利用兩邊一夾角計算面積得 \( \triangle AEF = \triangle ABC \cos^2 A\)

同理可得另兩 ...

懂了,謝謝吋絲老師

作者: eyeready 時間: 2016-6-22 20:18 標題: 回復 2# thepiano 的帖子

小弟提供参考作法，並想請教計算最後一題！感謝！

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作者: thepiano 時間: 2016-6-22 22:02 標題: 回復 10# eyeready 的帖子

計算第6題
先提供一下參考答案，等妙解
\(\begin{align}
& \left( 1 \right)\ {{x}_{3}}=4 \\
& \left( 2 \right)\ {{x}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{3} \\
& \left( 3 \right)\ \frac{1}{9} \\
\end{align}\)

作者: eyeready 時間: 2016-6-22 22:35 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

計算6（2）小弟是用數學歸納法推出的，但蠻麻煩的...

作者: thepiano 時間: 2016-6-22 23:17 標題: 回復 12# eyeready 的帖子

計算第6題
令\({{A}_{n-1}}\)和\({{A}_{n}}\)的中點是\({{M}_{n}}\left( \frac{{{x}_{n-1}}+{{x}_{n}}}{2},0 \right)\)

\(\begin{align}
& \overline{{{A}_{n-1}}{{M}_{n}}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{2},\overline{{{B}_{n}}{{M}_{n}}}=\frac{\sqrt{3}\left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)}{2} \\
& \frac{\sqrt{3}\left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)}{2}=\sqrt{\frac{{{x}_{n}}+{{x}_{n-1}}}{2}} \\
& 3{{\left( {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}} \right)}^{2}}=2\left( {{x}_{n}}+{{x}_{n-1}} \right)\ \cdots \cdots \left( 1 \right) \\
& 3{{\left( {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}} \right)}^{2}}=2\left( {{x}_{n+1}}+{{x}_{n}} \right)\cdots \cdots \left( 2 \right) \\
& \left( 2 \right)-\left( 1 \right) \\
& {{x}_{n+1}}-2{{x}_{n}}+{{x}_{n-1}}=\frac{2}{3} \\
& {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}={{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}+\frac{2}{3} \\
& {{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}=\frac{2}{3}n \\
& {{x}_{n}}=\frac{n\left( n+1 \right)}{3} \\
\end{align}\)

作者: eyeready 時間: 2016-6-23 07:01 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

感謝thepiano大大~~^^！！

作者: 阿光 時間: 2016-7-12 14:59

想請教填充4,謝謝

作者: eyeready 時間: 2016-7-12 19:32 標題: 回復 15# 阿光的帖子

4.
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的右焦點為\(F(4,0)\)，點\(P\)為橢圓上一動點，若以\(\overline{PF}\)為一邊作正方形\(FPQR\)(\(FPQR\)按逆時針方向排列)，當\(P\)點沿著橢圓繞行一周時，試求\(R\)點的軌跡方程式為　　　。
[解答]
小弟是用複數切入

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作者: tsusy 時間: 2016-7-12 20:01 標題: 回復 15# 阿光的帖子

填充4.
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的右焦點為\(F(4,0)\)，點\(P\)為橢圓上一動點，若以\(\overline{PF}\)為一邊作正方形\(FPQR\)(\(FPQR\)按逆時針方向排列)，當\(P\)點沿著橢圓繞行一周時，試求\(R\)點的軌跡方程式為　　　。
[解答]
簡言之，就是以 (4,0) 為中心將橢圓逆時針轉 90 度
故長短軸長交換，新的中心為 (4,-4)

作者: laylay 時間: 2017-3-26 17:17 標題: 回復 15# tsusy 的帖子

[x] [cos(-90度) , -sin(-90度) ] [x`-4] [4]
[y] = [sin(-90度 ) , cos(-90度) ] * [y`-0] + [0] (順旋90度) => x=y`+4 , y=-x`+4
代入原式 => ......再把x`,y`改為x,y 即可
此法雖比樓上麻煩,但若正方形改為正六邊形,則只需要把-90度改為-120度即可

作者: anyway13 時間: 2020-11-19 23:08 標題: 請教第1題

請問老師第一題要怎麼做阿

這次湊不出沒有過程,希望有老師可以指點一下

作者: thepiano 時間: 2020-11-20 07:04 標題: 回復 19# anyway13 的帖子

第一題
將\(A,B,C,D,E,F,G,H\)八個字母排成一列，使得\(B\)在\(A\)之右方，\(E\)在\(C\)與\(D\)之間，且\(F\)、\(G\)不相鄰，試問符合條件的排法有　　　種。
[解答]
(8! - 7! * 2) *(1/2) * (1/3)
先扣掉 F 和 G 相鄰，剩下的有一半是 B 在 A 右邊，再來有 1/3 是 E 在 C 和 D 之間

作者: anyway13 時間: 2020-11-21 08:17 標題: 回復 20# thepiano的帖子

謝謝鋼琴老師指導說明,懂了

作者: satsuki931000 時間: 2020-11-21 12:18

將\(A,B,C,D,E,F,G,H\)八個字母排成一列，使得\(B\)在\(A\)之右方，\(E\)在\(C\)與\(D\)之間，且\(F\)、\(G\)不相鄰，試問符合條件的排法有　　　種。
[解答]
這一題沒有牽扯到第幾個位置的條件
其實可以考慮正面處理
所以拆成兩部分去處理，先去想B在A2的右邊且 E在CD之間的情況數最後在乘上P(7，2)即可
CD之間一定要有位置，所以有H(3，3)=10種
其中CD之間分別有1，2，3，4個空位的情況數有4，3，2，1種
若CD之間有1個空位，E只能擺那邊，剩下的就是ABH亂排且B在A右邊
共有2!*1*3*4=24種前面的2!是CD排列

同理可算出其他情形所以共有24+36+36+24=120種
最後FG插空隙 120*P(7，2)=5040

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