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標題: 105華僑高中 [打印本頁]

作者: patrickchen 時間: 2016-5-16 21:33 標題: 105華僑高中

如附件請參考，打得有點快，因此有些符號以及敘述方式沒有打得很標準，請見諒

105.5.20補充
以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數50分
74,66,65,64,58,53,50,50,50,50,50

40~49分 14人
30~39分 31人
20~29分 18人
10~19分 12人
0~ 9分 13人
缺考　　0人

共計 99 人

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附件: 105華僑高中初試成績.pdf (2016-5-20 18:02, 771.6 KB) / 該附件被下載次數 9543
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作者: Sandy 時間: 2016-5-16 22:38 標題: 回復 1# patrickchen 的帖子

請教填充2、4

謝謝

作者: patrickchen 時間: 2016-5-16 23:14 標題: 回復 2# Sandy 的帖子

填充4. 將兩式等號右邊展開, 兩式相加兩式相減
試著整理出(x+y)^5=3 (x-y)^5=1 解之

想請問填充6.9 以及計算二

作者: bugmens 時間: 2016-5-16 23:29

填充8.
求\(\langle\;a_n \rangle\;\)一般式，\( \Bigg\{\; \matrix{\displaystyle a_1=0　　　　　　 \cr a_n=-\frac{a_{n-1}+6}{a_{n-1}+4},n \ge 2} \)。
更多類題在https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434
[提示]
令\( \displaystyle x=-\frac{x+6}{x+4} \)，\( x=-2,-3 \)
\( \displaystyle \frac{a_n+2}{a_n+3}=\frac{-\frac{a_{n-1}+6}{a_{n-1}+4}+2}{-\frac{a_{n-1}+6}{a_{n-1}+4}+3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a_{n-1}+2}{a_{n-1}+3}=\left(\frac{1}{2} \right)^2 \cdot \frac{a_{n-2}+2}{a_{n-2}+3}=\ldots=\left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}\frac{a_1+2}{a_1+3}=\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{2}\right)^{n-1} \)

計算2.
方程式\((x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0\)之二根為\(\alpha,\beta\)其中\(a,b,c\)皆相異，求\(\displaystyle \frac{a^4}{(a-\alpha)(a-\beta)}+\frac{b^4}{(b-\alpha)(b-\beta)}+\frac{c^4}{(c-\alpha)(c-\beta)}\)之值(用\(a,b,c\)表示)

設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
(102中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1576&page=1#pid7884)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2016-5-16 11:40 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-5-17 09:33 標題: 回復 3# patrickchen 的帖子

第6題
沒有圖，猜一下
R 在斜邊 AB 上，P 在 AC 上，Q 在 BC 上
當 AR = BR = 5√2 時，△PQR 面積的最小值 = 25/2，此時 CR = 5√2

第9題
\(\begin{align}
& 10\sin x+x\cos x=0 \\
& 10\tan x=-x \\
\end{align}\)
畫出\(y=10\tan x\)和\(y=-x\)的圖形可知
隨著\(n\)變大，\({{x}_{n}}\)愈接近\(\frac{2n-1}{2}\pi \)
故\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,({{x}_{n+1}}-{{x}_{n}})=\pi \)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-17 10:25 AM 編輯 ]

作者: Sandy 時間: 2016-5-17 14:02 標題: 回復 5# thepiano 的帖子

第六題原本題目就沒有圖，

我是圖是把R放在CB(或CA)上

剩下的隨意放，當CR=10/3時，會有最小值。

然後，第九題的答案我居然在鈴聲響前把對的答案改掉了QQ

答案公告了

舉手問第六題的圖怎麼放還有怎麼算，謝謝

105.5.18補充
將105華僑高中答案移到第一篇文章

作者: g112 時間: 2016-5-18 15:11

想請問填充2,5

謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-5-18 20:28 標題: 回復 7# g112 的帖子

第5題
兩顆棋子同色的機率為\(\frac{C_{2}^{6}+C_{2}^{3}}{C_{2}^{9}}=\frac{1}{2}\)
\(\upsilon =np=\frac{5}{2},\sigma =\sqrt{np\left( 1-p \right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\begin{align}

& P(\upsilon -2\sigma \le X\le \upsilon +2\sigma ) \\
& =P(\frac{5}{2}-\sqrt{5}\le X\le \frac{5}{2}+\sqrt{5}) \\
& =1-{{P}_{X=0}}-{{P}_{X=5}} \\
& =1-\frac{1}{{{2}^{5}}}-\frac{1}{{{2}^{5}}} \\
& =\frac{15}{16} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-18 08:30 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-5-18 20:53 標題: 回復 6# Sandy 的帖子

第6題
果然先前想得太簡單了

令\(\overline{CR}=x\)，角BRQ=角CPR=\(\theta \)
\(\begin{align}
  & \overline{BR}=10-x,\overline{QR}=\overline{PR}=\frac{x}{\sin \theta } \\
& \frac{\frac{x}{\sin \theta }}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{10-x}{\sin \left( \frac{3}{4}\pi -\theta  \right)} \\
& \frac{x}{\sin \theta }=\frac{10}{2\sin \theta +\cos \theta } \\
&  \\
& \Delta PQR=\frac{1}{2}{{\overline{PR}}^{2}}=\frac{50}{{{\left( 2\sin \theta +\cos \theta  \right)}^{2}}}\ge 10 \\
\end{align}\)
等號成立於\(\sin \theta =2\cos \theta \)，即\(\sin \theta =\frac{2}{\sqrt{5}},\overline{CR}=\overline{PR}\sin \theta =2\sqrt{5}\times \frac{2}{\sqrt{5}}=4\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-18 08:54 PM 編輯 ]

圖片附件: 20160518.jpg (2016-5-18 20:54, 27.05 KB) / 該附件被下載次數 7148
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3366&k=5da4a8899dc554c1a6982df020f14605&t=1732276989

作者: g112 時間: 2016-5-18 21:13

引用:

原帖由 thepiano 於 2016-5-18 08:28 PM 發表
第5題
兩顆棋子同色的機率為\(\frac{C_{2}^{6}+C_{2}^{3}}{C_{2}^{9}}=\frac{1}{2}\)
\(\upsilon =np=\frac{5}{2},\sigma =\sqrt{np\left( 1-p \right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\begin{align}

& P(\upsilon -2\s ...

啊,忘了標準差可以用機率來算,謝謝鋼琴老師

另外想問第6題,為什麼小三角形的直角會在大直角三角形的兩邊而不是在斜邊上

作者: thepiano 時間: 2016-5-18 21:23 標題: 回復 10# g112 的帖子

在斜邊上，面積最小只能到12.5，不是題目要的最小值

作者: g112 時間: 2016-5-18 21:40

引用:

原帖由 thepiano 於 2016-5-18 09:23 PM 發表
在斜邊上，面積最小只能到12.5，不是題目要的最小值

了解,謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-5-19 05:41 標題: 回復 6# Sandy 的帖子

第6題另解
作QS垂直BC於S
△PCR和△RSQ全等
令CR=SQ=SB =x，RS=10-2x
\(\Delta PQR=\frac{1}{2}\left[ {{x}^{2}}+{{\left( 10-2x \right)}^{2}} \right]=\frac{5}{2}{{x}^{2}}-20x+50\)
x=4時，有最小值10

圖片附件: 20160519.jpg (2016-5-19 05:41, 18.78 KB) / 該附件被下載次數 5172
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作者: martinofncku 時間: 2016-5-22 17:13

請問填充 3

作者: thepiano 時間: 2016-5-22 18:23 標題: 回復 14# martinofncku 的帖子

填充第3題
\({{2}^{106}}\)和\({{3}^{66}}\)都是32位數
前者首位數字是8，後者首位數字是3
加起來會進位成33位數

作者: peter0210 時間: 2016-5-25 21:03

填充4 可參考97台中一中喔！

作者: d3054487667 時間: 2016-6-1 17:03

想請教計算二，我有看過中正102，
因為類題的分母都是沒有兩根在裡面，所以我有試著將分母利用根與係數整理把兩根消除，第一個分母得到 -a(a+b)+c(b-a)，
沒辦法漂亮的因式分解，所以卡住了，也想不到可以藉助哪一個f(x) 來協助解題。懇請賜教謝謝！

另外一個小問題，在此回覆時要如何插入方程式？

版主補充

＼（方程式＼）
上面改成小寫

作者: eyeready 時間: 2016-6-1 18:04 標題: 回復 17# d3054487667 的帖子

小弟提供参考解法，若有更快的方法希望提供参考，感謝

[ 本帖最後由 eyeready 於 2016-6-1 06:09 PM 編輯 ]

圖片附件: image.jpg (2016-6-1 18:09, 46.17 KB) / 該附件被下載次數 4759
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3440&k=9eed57d8338491469fbdf6ceba517513&t=1732276989

作者: thepiano 時間: 2016-6-1 18:26 標題: 回復 17# d3054487667 的帖子

計算第二題
\(\begin{align}
  & 3\left( x-\alpha  \right)\left( x-\beta  \right)=\left( x-a \right)\left( x-b \right)+\left( x-b \right)\left( x-c \right)+\left( x-c \right)\left( x-a \right) \\
& 3\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)=\left( a-b \right)\left( a-c \right) \\
& \frac{1}{\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)}=\frac{3}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)} \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)}=\frac{3{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)} \\
&  \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-\alpha  \right)\left( a-\beta  \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-\alpha  \right)\left( b-\beta  \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-\alpha  \right)\left( c-\beta  \right)} \\
& =3\left[ \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right] \\
\end{align}\)
這樣就跟那題差不多了

而那題的做法可參考
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1867&page=7#pid11590

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-1 06:47 PM 編輯 ]

作者: d3054487667 時間: 2016-6-1 20:19

謝謝eyeready老師的行列式解法，每次看到行列式都覺得很不可思議，或許我和他還不是好朋友。

謝謝thepiano老師，原來用一個基本概念的假設而已！！！

test.
\(ax^2+bx+c\)

作者: Ellipse 時間: 2016-6-1 22:28

引用:

原帖由 d3054487667 於 2016-6-1 08:19 PM 發表
謝謝eyeready老師的行列式解法，每次看到行列式都覺得很不可思議，或許我和他還不是好朋友。

謝謝thepiano老師，原來用一個基本概念的假設而已！！！

test.
\ax^2+bx+c\ ...

行列式法可goole 這篇
"范德蒙行列式可以做哪些事"
此篇亦討論"拉格朗日插值多項式"與"范德蒙行列式"之間關係
考生要看一下喔~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-6-1 10:30 PM 編輯 ]

作者: d3054487667 時間: 2016-6-2 11:52

謝謝Ellipse老師的無私分享！
已經下載研讀，看了真令人興奮呀！美麗的規律背後真的都有漂亮的公式存在，這樣那題比較不完全是用背的了。

作者: thepiano 時間: 2016-6-2 12:03 標題: 回復 22# d3054487667 的帖子

推這篇：范德蒙行列式可以做哪些事
小弟也拜讀過

作者: d3054487667 時間: 2016-6-2 16:42

另外我想請教填充10
以下附上我的計算過程，
答案雖然對了，也想確認解題概念有無不恰當。
謝謝！

圖片附件: 13318988_1059845900749526_1381271713_n.jpg (2016-6-2 16:42, 82.01 KB) / 該附件被下載次數 5400
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3442&k=067a2fe3741f1da5c9b2dbb901620203&t=1732276989

作者: 阿光 時間: 2016-8-13 21:56

想請教填充1,謝謝

作者: tsusy 時間: 2016-8-13 23:38 標題: 回復 25# 阿光的帖子

填充1. 三向量頭尾相連，連成三角形。

由夾角、正弦定理可得向量 b, c 長

作者: 阿光 時間: 2016-8-14 20:27

想再請教填充2,謝謝

作者: Ling 時間: 2017-3-24 18:18 標題: 想請問填充第七題

作者: thepiano 時間: 2017-3-24 20:30 標題: 回復 28# Ling 的帖子

填充第7題
\(\begin{align}
& 2\Delta ABC=3x+4y+5z=12 \\
& 3{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4yz+3{{z}^{2}}=3{{x}^{2}}+2{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \\
& \left[ 3{{x}^{2}}+2{{\left( y+z \right)}^{2}}+{{z}^{2}} \right]\left[ {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right] \\
& \ge {{\left( 3x+4y+4z+z \right)}^{2}} \\
& 3{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+4yz+3{{z}^{2}}\ge 12 \\
\end{align}\)

作者: Ling 時間: 2017-3-24 22:32

謝謝～～～
原來自己標錯AB長度....標成4

作者: jfy281117 時間: 2017-5-22 17:04 標題: 填充2

圖片附件: [page1] 85837.jpg (2017-5-22 19:10, 298.9 KB) / 該附件被下載次數 5922
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4101&k=6c7b4ee1417b203d4a6332ec1568df6b&t=1732276989

圖片附件: [page2] 85836.jpg (2017-5-22 19:10, 189.35 KB) / 該附件被下載次數 5683
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4102&k=18710ab3ec296747fef0f1d2c3e43510&t=1732276989

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