標題: 圓心為橢圓焦點且跟橢圓交兩點的半徑範圍 [打印本頁]

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作者: haozhen    時間: 2016-5-11 23:34     標題: 圓心為橢圓焦點且跟橢圓交兩點的半徑範圍

橢圓x^2+16y^2=16

圓心在橢圓焦點上且跟橢圓交於兩點

求半徑的範圍

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答案格式是一端有等號，一端沒等號的區間

想了好久

用圖形或者解的個數都搞不定

請求強者協助

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作者: thepiano    時間: 2016-5-12 13:14     標題: 回復 1# haozhen 的帖子

\(\begin{align}
  & \frac{{{x}^{2}}}{16}+{{y}^{2}}=1 \\
& a=4,b=1,c=\sqrt{15} \\
\end{align}\)
不失一般性，設圓\({{\left( x-\sqrt{15} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}\)
畫圖可知
\(r=4+\sqrt{15}\)時，兩者內切，圓大，橢圓小
\(r=4-\sqrt{15}\)時，兩者內切，圓小，橢圓大
所求為\(4-\sqrt{15}<r<4+\sqrt{15}\)

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作者: haozhen    時間: 2016-5-12 13:40

鋼琴大大謝謝您

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作者: haozhen    時間: 2016-5-14 18:20

一、期望值的定義

     \(EX=\sum_{x=-\infty}^{\infty}xPr[X=x] \)

    其中 Pr[X=x]意為「隨機變數X的值等於x時的機率」

   同樣地,
    \( E(X+Y)=\sum_{x,y=-\infty}^{\infty}(x+y)Pr[X=x且Y=y]\)

\(E(XY) = \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xyPr[X=x,Y=y]\) (且字有時就省了)

二、關鍵的關係式

\(\sum_{y=-\infty}^{\infty}Pr[X=x且Y=y]=Pr[X=x] \)
\(\sum_{x=-\infty}^{\infty}Pr[X=x且Y=y]=Pr[Y=y] \)

理由非常簡單, 當我們固定X的值為x, 而把所有可能的Y值的機率都加起來, 那就當然是X=x的機率


三、期望值是可加的 (無須任何條件)

\(E(X+Y) = \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} (x+y)Pr[X=x且Y=y]\\=\sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xPr[X=x且Y=y] +\sum_{x,y=-\infty}^{\infty}yPr[X=x且Y=y]\\=\sum_{x=-\infty}^{\infty}x\sum_{y=-\infty}^{\infty} Pr[X=x且Y=y] +\sum_{y=-\infty}^{\infty}y\sum_{x=-\infty}^{\infty}Pr[X=x且Y=y]\\=\sum_{x=-\infty}^{\infty}xPr[X=x] + \sum_{y=-\infty}^{\infty}yPr[Y=y]\\=EX+EY\)

四、當獨立的時候, 期望值是可乘的

    X和Y為獨立隨機變數的定義為: Pr[X=x且Y=y]=Pr[X=x]Pr[Y=y]

\(E(XY) = \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xyPr[X=x,Y=y]\\= \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xyPr[X=x]Pr[Y=y]\\=\sum_{x=-\infty}^{\infty} xPr[X=x] \sum_{y=-\infty}^{\infty}yPr[Y=y]\\=EXEY\)

五、var是可加的

只要引用「三」「四」的結論即可証出

[ 本帖最後由 haozhen 於 2016-5-14 06:24 PM 編輯 ]

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