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標題: 105永春高中 [打印本頁]

作者: swallow7103 時間: 2016-5-6 01:53 標題: 105永春高中

趁印象還很新鮮的時候打下來，有錯還請指正！

請教計算3，我已經想到邊長1的正三角行內部一點到三邊距離為 \( \sqrt{\frac{1}{48}}, \sqrt{\frac{1}{12}}, \sqrt{\frac{3}{16}} \)
但此點到三頂點的距離還想不出怎麼算。
另外，數學的符號要怎麼打@@

105.5.6版主補充
兩邊加上半形的＼（和＼）

範例
＼（ \sqrt{2} ＼）

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作者: bugmens 時間: 2016-5-6 06:30

填充題
1.
由數字1到9各出現一次所組成的9位數中，能被11整除的最大數字為？
(這裡有解答，http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=10262)

3.
如圖，設圓\(O\)通過\(A(0,1),B(2,0),C(k,0)\)三點，若圓\(O\)在\(C\)點的切線斜率為1，求\(k\)？
(高中數學101　第60單元圓與直線，83大學聯考社會組)

6.
某次數學考試共有15題，下表是做對\(n(n=0,1,2,\ldots,15)\)題的人數統計表，如果其中做對4題以上(含4題)的學生每人平均做對6題，做對10題以下(含10題)的學生每人平均做對4題，則這個表至少統計了多少人？

n	0	1	2	3	…	12	13	14	15
做對\(n\)題人數	7	8	10	21	…	15	6	3	1

(建中通訊解題　第99期，http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)

計算證明題
3.
解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{48}}+\sqrt{y-\frac{1}{48}}=1,\sqrt{y-\frac{1}{12}}+\sqrt{z-\frac{1}{12}}=1,\sqrt{z-\frac{3}{16}}+\sqrt{x-\frac{3}{16}}=1 \)
[提示]
\(cos60^{\circ}=cos \alpha cos \beta-sin \alpha sin \beta\)

\( \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{y-\frac{1}{48}}}{\sqrt{y}}\cdot \frac{\sqrt{y-\frac{1}{12}}}{\sqrt{y}}-\frac{\frac{1}{4\sqrt{3}}}{\sqrt{y}}\cdot \frac{\frac{1}{2 \sqrt{3}}}{\sqrt{y}} \)

\( \displaystyle \frac{1}{2}y+\frac{1}{24}=\sqrt{(y-\frac{1}{48})(y-\frac{1}{12})} \)

\( \displaystyle \frac{y^2}{4}+\frac{y}{24}+\frac{1}{576}=y^2-\frac{5}{48}y+\frac{1}{576} \)

\( \displaystyle \frac{3}{4}y^2-\frac{7}{48}y=0 \)

\( \displaystyle y=\frac{7}{36} \)
同理
\( \displaystyle z=\frac{19}{36} \)，\( \displaystyle x=\frac{13}{36} \)

作者: idsharon 時間: 2016-5-6 08:19 標題: 請教填充4和8

感謝老師們的回答

作者: thepiano 時間: 2016-5-6 14:37 標題: 回復 3# idsharon 的帖子

第8題
平面上有兩圓\(C_1\)：\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \)，\( C_2 \)：\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \)，自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \)，令\( O \)為原點，\(∠POQ=\theta\)，求\( \theta \)的範圍。
[解答]
不失一般性，設\(a=2\)
\(\begin{align}
& P\left( \frac{1}{b},\frac{\sqrt{{{b}^{2}}-1}}{b} \right),Q\left( \frac{4}{b},\frac{2\sqrt{{{b}^{2}}-4}}{b} \right),R\left( b,0 \right),b>2 \\
& {{\overline{PQ}}^{2}}=5-\frac{8+4\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \\
& \cos \theta =\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}-\left[ 5-\frac{8+4\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \right]}{2\times 1\times 2} \\
& =\frac{2+\sqrt{\left( {{b}^{2}}-1 \right)\left( {{b}^{2}}-4 \right)}}{{{b}^{2}}} \\
& =\frac{2}{{{b}^{2}}}+\sqrt{1-\frac{5}{{{b}^{2}}}+\frac{4}{{{b}^{4}}}} \\
& b\to {{2}^{+}},\cos \theta \to \frac{1}{2} \\
& b\to \infty ,\cos \theta \to 1 \\
& 0<\theta <\frac{\pi }{3} \\
\end{align}\)

作者: valkyriea 時間: 2016-5-6 16:06 標題: 回復 3# idsharon 的帖子

第4題
設\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)為平面上三個非零向量，已知\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{b}|\;=6\)，\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)的正射影長是1。若\(\vec{c}\)滿足\((\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})=0\)，請問\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為何？

(C - A) (C - B) = 0，表示兩向量垂直，
(C - A)、(C - B)、(C - A) - (C - B) 為直角三角形之三邊長
|C - A|^2 + |C - B|^2 = |B - A|^\2

作者: eyeready 時間: 2016-5-6 16:52

大略算一下，有錯請指教
1 987652413
2 n=1、2、4、6。（4個）
3  -3
4  \(4+\sqrt{10}\)
5  \(y=x^2+3x+2\)
6 200
7 895
8 0°<θ<60°
計算
1 面積\(4\sqrt{14}\) 周長 16
2 \(\displaystyle 192\frac{\pi}{5}\)
3

作者: idsharon 時間: 2016-5-6 20:11 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師~~

作者: idsharon 時間: 2016-5-6 20:12 標題: 回復 5# valkyriea 的帖子

能請老師在往後寫幾步驟嗎？
小女不才想不出後面該怎麼做>"<

作者: eyeready 時間: 2016-5-6 23:14 標題: 回復 8# idsharon 的帖子

請参考cefeprime大大

作者: thepiano 時間: 2016-5-7 10:01 標題: 回復 6# eyeready 的帖子

填充第 2 題是問 n 有幾個

計算第 1 題的面積應是 4√14

作者: eyeready 時間: 2016-5-7 13:26 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

已更正，謝謝鋼琴老師^^

作者: cefepime 時間: 2016-5-7 14:23

填充題 4.，個人想法如下，請教是否有誤。
設\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)為平面上三個非零向量，已知\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{b}|\;=6\)，\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)的正射影長是1。若\(\vec{c}\)滿足\((\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})=0\)，請問\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為何？

如上圖，把向量 a, b, c 的始點定為 O，終點依次分別為 A, B, C; 則依題意，C 的軌跡為以 AB 為直徑的圓 (M 為圓心)。

OC 的最大值，即 OM + MC。

OA = 4，OB = 6，cos θ = 1/4

由餘弦定理與中線定理:

AB = √ (16 + 36 - 12) = √40 ⇒ MC = √10

OM = (1/2)*√[2*(16 + 36) - 40] = 4

所求 = OM + MC = 4 + √10

作者: eyeready 時間: 2016-5-7 15:05 標題: 回復 12# cefepime 的帖子

cefepime大大，您是對的，小弟思慮還不周全@@

作者: laylay 時間: 2016-5-10 17:11 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

您解的好,但那只能說是其中的一個解而已
應該再加上一個說明以證明沒別的解如下:
以您的解出發,若x再大一點則由(1)知y會小一點,
再由(2)知z會大一點,再由(3)知x會小一點,得出矛盾
同理若x想比13/36小也是不行的.

作者: laylay 時間: 2016-5-10 18:00 標題: 填充2的解

填充2的解如下:
設\(n \in N\)，請問有幾個\(n\)能使\(8^n+n\)是\(2^n+n\)的倍數？
[解答]
2^n+n I 8^n+n , 又 2^n+n I (2^n)^3+n^3 , 兩式相減知原式與2^n+n I n^3-n 等價
但n>=10時2^n+n > n^3-n>0 為無解,故只需測試n=1--9即可得n=1,2,4,6為解
同法可得2^n+n I 16^n+n 的解為 n=2,4,16

作者: laylay 時間: 2016-5-10 20:19 標題: 計算3的延伸

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作者: cefepime 時間: 2016-5-12 02:19

填充 8. 嘗試由 "觀察圖形" 來推測答案。
平面上有兩圓\(C_1\)：\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \)，\( C_2 \)：\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \)，自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \)，令\( O \)為原點，\(∠POQ=\theta\)，求\( \theta \)的範圍。

題意可轉化為: 60° < ∠POR < 90°，0° < ∠QOR < 90°，cos∠POR / cos∠QOR = 1/2，求 θ = ∠POR - ∠QOR 的範圍。

上圖左，為二個以原點為圓心，半徑分別為 kr (0<k<1) 與 r 的四分之一圓。考慮在兩個圓周上，x 坐標相等之兩點的 y 坐標差 (即綠色線段長)。易知隨 x 值遞增 (0 → kr)，y 坐標差值亦遞增。

上圖右，即圖示∠POR 與 ∠QOR 之關係。紅藍兩圓半徑比 = 2 : 1，從而 cos∠POR / cos∠QOR = 1/2。當 P 點的 x 坐標由 0 遞增至 r/2，PS 線段長亦隨之遞增 (依上述)，從而 θ 角亦遞增 (由 △POS 之正弦定理，或在本題亦可用 △POQ 之中線定理)。

綜上，得 0° < θ < 60°。

(若本題的餘弦比是其他常數，亦可類比以上圖解與結果)

作者: laylay 時間: 2016-5-12 06:53 標題: 回復 4# thepiano 的帖子

cos(POR)=1/b
cos(QOR)=2/b
故cos(POQ)=cos(POR-POQ)=CC+SS=2/(bb)+sqrt(bb-1)sqrt(bb-4)/(bb)

作者: Chen 時間: 2017-7-19 22:30 標題: 回復 12# cefepime 的帖子

解題過程中，應考慮 OA 向量 OB 向量夾角為鈍角的情況！

但最後答案相同。

作者: cefepime 時間: 2017-7-19 23:59

回復 22# Chen 的帖子

Chen 老師所言甚是。也藉這個機會請版友們思考一下: 那麼是否需要再計算向量a 與向量b 的夾角是鈍角的情形?

在 12# 的圖中，我們把 △AOB 完善為一個平行四邊形 AOBO'，則向量 BO' 與向量 BO 即為前述夾鈍角的情況。

由圖易知: 夾銳角時，所求 = OM + MB，而夾鈍角時，所求 = MB + OM，因此兩者必然是相等的。

作者: anyway13 時間: 2020-11-15 14:17 標題: 請教第4題

版上老師好,請問第四題如果用lagrange操作的話是不是可以的

因算出來的答案,和板上不同,不知道是哪一步做錯,請指教

附件: 第4題.pdf (2020-11-15 14:17, 118.79 KB) / 該附件被下載次數 4266
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5688&k=94dba443d1045b253b02ae109c4e9b83&t=1713483317

作者: Lopez 時間: 2020-11-15 20:49 標題: 回復 24# anyway13 的帖子

作者: anyway13 時間: 2020-11-15 22:48 標題: 回覆#25 Lopez的帖子

真的算錯了。謝謝Lopez老師的指點。真的非常感謝。

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