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標題: 105中壢高中 [打印本頁]

作者: wrty2451 時間: 2016-4-23 19:14 標題: 105中壢高中

177取1

第二間有完整試題
可以好好訂正了(泣)

4/24更正官網答案

105.4.26補充
美夢成真教甄論壇的討論
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=6060

附件: 105-1中大壢中教甄數學題目(公告).pdf (2016-4-23 19:14, 206.97 KB) / 該附件被下載次數 14749
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附件: 105-1中大壢中教甄數學答案(公告)填充八計算二更正.pdf (2016-4-24 20:55, 11.39 KB) / 該附件被下載次數 12786
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3283&k=4ef2f0f4498bad7fdbb1466bbf4a9a5d&t=1732256192

作者: bugmens 時間: 2016-4-23 19:54

1.
若數列\( \{\;a_n \}\; \)滿足\( a_1=1 \)，\( \sqrt{a_n}=2 \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n a_{n+1}} \)，\( n \in N \)，求數列\( \{\;a_n \}\; \)的一般項\(a_n=\)　　　。
[提示]
同除\( \sqrt{a_n a_{n+1}} \)得\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a_{n+1}}}=2\frac{1}{\sqrt{a_n}}+1 \)

2.
設[ ]表高斯符號，試解方程式\( 4x^2-20[x]+23=0 \)，\( x= \)　　　。

解\( 2x^2-11[x]+12=0 \)。(\([x]\)為小於等於\(x\)的最大整數)
(建中通訊解題第24期)

若\(x\)是實數，定義\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數，試求方程式\(2x^2-5[x]+1=0\)的解。
(建中通訊解題第52期)

http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37
在這裡可以查到這類問題是怎麼算的

6.
設[ ]表高斯函數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \Bigg]\;÷100 \)的餘數為　　　。
[提示]
http://artofproblemsolving.com/community/c4h234350

7.
\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\root n \of {1+3^{2n}}+\root n \of {3^{2n}+5^{2n}}+\root n \of {5^{2n}+7^{2n}}+\ldots+\root n \of {(2m-1)^{2n}+(2m+1)^{2n}}}{m^3} \right) \right) \)

\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1+\root n \of {1^n+2^n}+\root n \of {2^n+3^n}+\ldots+\root n \of {(m-1)^n+m^n}}{m^2} \right) \)
(高中數學101　第97單元　數列之極限)
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html)

作者: wrty2451 時間: 2016-4-24 11:59 標題: 回復 1# wrty2451 的帖子

想請問一下計算第二題，感謝~^^

作者: Superconan 時間: 2016-4-24 14:18

數學科答案有更正
填充題第8題及計算題第2題

作者: thepiano 時間: 2016-4-24 16:05 標題: 回復 3# wrty2451 的帖子

計算第2題
設\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{7}+isin\frac{2\pi}{7}\)，則\((2-\omega)(2-\omega^3)(2-\omega^5)\)之值為？
[提示]
應該是題目出錯了，後來更正的答案很醜

以\(\omega ,{{\omega }^{3}},{{\omega }^{5}}\)為三根的方程式為\(\left( x-\omega \right)\left( x-{{\omega }^{3}} \right)\left( x-{{\omega }^{5}} \right)=0\)
利用根與係數，最後代2進去就能求出答案

作者: martinofncku 時間: 2016-4-25 10:41

請問老師，一、５該怎麼做？

作者: thepiano 時間: 2016-4-25 12:29 標題: 回復 6# martinofncku 的帖子

第5題
雙曲線\(\Gamma\)：\(xy=1\)在第一象限中，一弦\(\overline{AB}\)以\(D(4,1)\)為中點，\(C\)點在\(\Gamma\)部分曲線\(AB\)上(即直線\(AB\)下方第一象限中的\(\Gamma\)曲線)，求\(C\)點到弦\(\overline{AB}\)距離的最大值為　　　。
[解答]
A和B是曲線\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)和直線\(y=m(x-4)+1\)的兩個交點
利用\(\displaystyle \frac{1}{x}=m(x-4)+1\)的兩根和\(=4\times 2=8\)，可求出\(\displaystyle m=-\frac{1}{4}\)
令\(\displaystyle C\left( t,\frac{1}{t} \right)\)，剩下的就是點到直線的距離，用算幾求最大值

作者: jackyxul4 時間: 2016-4-25 12:59 標題: 回復 7# thepiano 的帖子

補充，求出AB直線方程式之後，可以直接找斜率相同與直線AB的切線，切點就是C

作者: litlesweetx 時間: 2016-4-25 22:27

請教老師，第2、8、10題可以提示一下嗎？
第2題感覺是要用橢圓可是不會算~
第8題 -2<x-[(x+1)/2]<2 知道(x-1)/2<[(x+1)/2]<=(x+1)/2，但接下來要怎求解呢?
第10題畫完圖不會算@@
謝謝大家

作者: jackyxul4 時間: 2016-4-26 12:18

引用:

原帖由 litlesweetx 於 2016-4-25 10:27 PM 發表
請教老師，第2、8、10題可以提示一下嗎？
第2題感覺是要用橢圓可是不會算~
第8題 -2

用橢圓算的應該是第三題吧
3.
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為　　　。
[提示]
先做直線y=mx-3x上一點，到兩焦點距離和為10。
有兩個解，所以要選能與橢圓有兩交點的範圍

8.
設\([\; ]\;\)表高斯符號，\(|\;x|\;\)表絕對值符號，求不等式\(\displaystyle log_2 \Bigg\{\;log_2 \Bigg(\;\Bigg\vert\; x- \Bigg[\; \frac{x+1}{2}\Bigg]\; \Bigg\vert\; \Bigg)\; \Bigg\}\;<0\)的解為　　　。
[提示]
x+1<[(x+1)/2]<x+2 和x-2<[(x+1)/2]<x-1 為階梯函數在兩組直線之中的部分

10.
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\)，\(|\;z|\;=10\)，設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\)，求\(tan^2 \theta\)的最大值為　　　。
[提示]
有最大的tan^2 theta，發生在w 和w-z垂直的時候

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作者: thepiano 時間: 2016-4-26 13:48

第10題
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\)，\(|\;z|\;=10\)，設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\)，求\(tan^2 \theta\)的最大值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& \frac{1}{\sin \left( \pi -\theta \right)}=\frac{10}{\sin \alpha } \\
& \sin \theta =\frac{\sin \alpha }{10} \\
& {{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{100}\le \frac{1}{100} \\
& {{\tan }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\cos }^{2}}\theta }=\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{1-{{\sin }^{2}}\theta }=\frac{1}{1-{{\sin }^{2}}\theta }-1\le \frac{1}{1-\frac{1}{100}}-1=\frac{1}{99} \\
\end{align}\)

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作者: thepiano 時間: 2016-4-26 14:29 標題: 回復 9# litlesweetx 的帖子

第 3 題
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為　　　。
[解答]
直線 y = mx - 3m 必過 (3，0)，把它和橢圓 \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+6 \right)}^{2}}}{25}=1\) 都畫出來
易知 m 超過某個值後，會與橢圓有 2 個交點

變形一下
令 \(x=\frac{3}{5}u,y=v\)
橢圓轉為圓 \({{u}^{2}}+{{\left( v+6 \right)}^{2}}={{5}^{2}}\)，直線轉為 \(\frac{3}{5}mu-v-3m=0\)
利用 \(\frac{\left| 6-3m \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{3}{5}m \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=5\)，可求出\(m=\frac{11}{36}\)
所求為\(m>\frac{11}{36}\)

作者: Sandy 時間: 2016-4-29 13:31 標題: 計算1

想問一下除了設設f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 下去計算之外請問有其他想法可以算嗎？

謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-4-29 14:22 標題: 回復 13# Sandy 的帖子

兩邊微分

作者: kggj5220 時間: 2016-6-13 15:12 標題: 請教第七題，第六題

填充第七題
\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\root n \of {1+3^{2n}}+\root n \of {3^{2n}+5^{2n}}+\root n \of {5^{2n}+7^{2n}}+\ldots+\root n \of {(2m-1)^{2n}+(2m+1)^{2n}}}{m^3} \right) \right) \)
我參考101做法後自己算，但是答案會是0

不知道盲點在哪邊？

還有填充第六題程度真的太差，可以再多給小弟一點提示嗎~
感激不盡~~~ ><

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作者: eyeready 時間: 2016-6-13 17:14 標題: 回復 15# kggj5220 的帖子

第六題
設[ ]表高斯函數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \Bigg]\;÷100 \)的餘數為　　　。

第七題的盲點在於極限為不定型需再進一步化簡
舉例：lim (1^2+2^2+...+n^2)/n^3.(n→∞)可以說它是0嗎？

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作者: kggj5220 時間: 2016-6-14 11:17 標題: 回復 16# eyeready 的帖子

感謝eyeready大提點
第七題：極限值已經用羅必達做出
第六題：雖然是常見的招數，但該用的時候就是沒想到他.....

感謝~

作者: luckyhappy 時間: 2016-7-6 11:03

請教第三題有其他的方式解題嘛？若沒有可以附上上述的詳解嗎？感恩您

作者: eyeready 時間: 2016-7-6 11:57 標題: 回復 18# luckyhappy 的帖子

3.
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為　　　。
[解答]
小弟是用幾何來解找切線求斜率，和前面討論大同小異，如有其他想法希望版友能提供参考

圖片附件: image.jpg (2016-7-6 11:57, 968.35 KB) / 該附件被下載次數 4912
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3572&k=eeb4016b406d906c1a9883a5fad16f00&t=1732256192

作者: luckyhappy 時間: 2016-7-7 13:25

感謝您的幫忙，那除了假設直線再帶入橢圓中找出切線方程式外，有沒有公式可以直接找出來切線方程式呢？？

作者: eyeready 時間: 2016-7-7 16:53 標題: 回復 20# luckyhappy 的帖子

就小弟所知求得切線方程式的方法有
1 代入橢圓方程式中，解判別式為0
2 設切線公式\(y-k=m(x-h)\pm \sqrt{a^2m^2+b^2}\)，過\((3,0)\)求出斜率 (最快)
3 兩焦點到切線的距離乘積為\(b^2\)

作者: luckyhappy 時間: 2016-7-7 21:49

不好意思，帶入2的公式變成16m^2+36m-27=0，求出的m=(-9+_3根號21)/8 ?

作者: eyeready 時間: 2016-7-8 09:21 標題: 回復 22# luckyhappy 的帖子

不好意思，小弟少打m^2......@@
請参閱

設切線方程式\(y+6=m(x-0)\pm \sqrt{9m^2+25}\)
過\((3,0)\)代入\(6=3m\pm \sqrt{9m^2+25}\)
\((-3m+6)^2=9m^2+25\)
\(-36m=-11\)
\(\displaystyle m=\frac{11}{36}\)
\((3,0)\)為橢圓外一點，另一切線\(x=3\)

作者: luckyhappy 時間: 2016-7-8 22:46

咦，我找出原因了由橢圓得到的不是a=5, b=3, c=4嗎？

作者: eyeready 時間: 2016-7-8 23:25 標題: 回復 24# luckyhappy 的帖子

切線公式證明

圖片附件: image.jpg (2016-7-9 11:46, 720.48 KB) / 該附件被下載次數 5336
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作者: luckyhappy 時間: 2016-7-9 15:42

感謝eyeready老師的細心講解及找出切線公式的由來，終於弄懂了，也學了很多，感謝您的幫忙優

作者: 阿光 時間: 2016-7-18 16:55

不好意思,填充8的解法(圖形)看不懂
是否可說明一下,謝謝

作者: 阿光 時間: 2016-8-2 21:01

想請教填充8題,謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-8-3 18:05 標題: 回復 28# 阿光的帖子

第8題
\(\begin{align}
& {{\log }_{2}}\left\{ {{\log }_{2}}\left( \left| x-\left[ \frac{x+1}{2} \right] \right| \right) \right\}<0 \\
& 0<{{\log }_{2}}\left| x-\left[ \frac{x+1}{2} \right] \right|<1 \\
& 1<\left| x-\left[ \frac{x+1}{2} \right] \right|<2 \\
& -2<x-\left[ \frac{x+1}{2} \right]<-1\quad or\quad 1<x-\left[ \frac{x+1}{2} \right]<2 \\
& x+1<\left[ \frac{x+1}{2} \right]<x+2\quad or\quad x-2<\left[ \frac{x+1}{2} \right]<x-1 \\
\end{align}\)
分別畫出\(y=x+2,y=x+1,y=x-1,y=x-2,y=\left[ \frac{x+1}{2} \right]\)的圖形，即可求出答案

可參考信哥在https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2486&page=1#pid15132的圖形

作者: anyway13 時間: 2021-2-21 01:50 標題: 請教第9題

9.
9個不同的物品存放於3個相同的箱子，允許箱子有空物的情況，則有　　　種分法。

板上老師好,第9題3281是學校提供的答案
但是小弟怎麼算就算不出,過程如附件,是不是哪裡弄錯了?

附件: [填9] 第9題.pdf (2021-2-21 01:50, 100.9 KB) / 該附件被下載次數 3308
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5765&k=3f845e45d4320cf252abf85747ea414d&t=1732256192

作者: thepiano 時間: 2021-2-21 08:56 標題: 回復 30# anyway13 的帖子

(7，1，1) 是 36 種
(6，2，1) 的式子後面應是 C(1，1)
另外少算了 (3，3，3)

另解
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=28752#p28752

作者: anyway13 時間: 2021-2-21 11:49 標題: 回復 31# thepiano 的帖子

正面解總算做對了,謝謝鋼琴師

反面另解,真的是很聰明的做法

作者: 呆呆右 時間: 2021-4-28 18:19 標題: 補充填充9、請教計算1

補充填充9
亦可利用第二類斯特靈數(Stirling numbers of the second kind)
以\( S(n,k) \)表示將\( n \)個相異物分成\( k \)堆(不能有空堆)的方法數
則所求即為\( S(9,1)+ S(9,2) + S(9,3)=1+255 +3025 \)
而計算方式是用遞迴\( S(n+1,k)=kS(n,k)+S(n,k-1) \)
寫成類似巴斯卡三角形的形式，推出需要的項
1
1 1
1 3    1
1 7    6    1
1 15    25    10 1
1 31    90    ...
1 63    301 ...
1 127 966 ...
1 255 3025  ...
請教計算1
設函數\( f(x) \)滿足\(x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\cdots+\int_0^x tf(t)dt \)，且\( \cdots \)
我明白可以利用微積分基本定理(F.T.C)解出\( f(x) \)
可是，題目敘述為「函數\( f(x) \cdots \)」，而未說是「多項式函數」或者「可微分函數」
那麼，直接視為可微分開始操作，是否有不嚴謹之處？
我的想法是，或許題目應該直接說是「多項式函數」
我遇到這類問題都會有如此顧慮，想請教老師們的看法！

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-4-28 21:04 編輯 ]

作者: czk0622 時間: 2021-4-28 19:55 標題: 回復 33# 呆呆右的帖子

計算1
通過移項整理得 \(\displaystyle f(x)=\frac{3}{5}x^3+\frac{1}{2}ax^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{x^2}\int^{x}_{0}tf(t)dt\) 是明顯可微分的
因為 \(\displaystyle \frac{3}{5}x^3+\frac{1}{2}ax^2-\frac{1}{3}x\)、\(\displaystyle \frac{2}{x^2}\)、\(\displaystyle \int^{x}_{0}tf(t)dt\) 皆可微分

作者: tsusy 時間: 2021-4-28 20:06

計算 1. 試著說明一下，看看有沒有什麼漏洞
由 \(x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\cdots+\int_0^x tf(t)dt \)
若令等式右方整個式子為 \( F(x) \)，可得 \( F(x) \) 為連續函數。
(黎曼可積或勒貝格可積，應可推出連續的結論)

而在 \( x \neq 0 \) 時， \( f(x) = \frac{F(x)}{x^2} \)，可得 \( f(x) \) 在 \( x\neq 0 \) 處皆連續。

令 \( G(x) = \int_0^x 2t f(t)dt \)，由微積分基本定理可得 \( x \neq 0 \) 時，\( G'(x) = 2x f(x) \).
因此在 \( x \neq 0 \) 處 \( F(x) \) 亦可微，\( f(x) = \frac{F(x)}{x^2} \) 在 \( x \neq 0 \) 處亦可微。

到這應該夠解 (1)，要再仔細做一下，也是可以做出 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 處可微，但應該不影響解 \( f(x) \)

作者: 呆呆右 時間: 2021-4-28 21:09

謝謝czk0622老師、寸絲老師撥空回覆

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