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標題: 105建國中學 [打印本頁]

作者: jackyxul4 時間: 2016-4-20 23:17 標題: 105建國中學

有一題的題目是這樣，P是\(y^2=2x\)上一點，圓C:\( (x-1)^2+y^2=1 \)

過P點做圓C的兩切線，交X軸於B、C兩點，求三角形PBC面積最小值

我有用GGB作圖，最小值應該是8，求證明

2.
三角形ABC中,AB=6,BC=7,CA=8(三邊長不確定),內切圓O切邊AB於D,切邊BC於E,切邊CA於F,求三角形DEF面積

3.
\( \displaystyle \sum_{i<j}C_i^{60}C_j^{60} \)除以32的餘數為

作者: jackyxul4 時間: 2016-4-20 23:21 標題: 回復 1# jackyxul4 的帖子

順帶一提，原來論壇不支援上傳GGB的檔案......

圖片附件: 未命名.png (2016-4-20 23:21, 278.85 KB) / 該附件被下載次數 5687
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3257&k=c0c0effa96660e904b6247afaa56d8d6&t=1732296640

作者: valkyriea 時間: 2016-4-21 09:29 標題: 回復 1# jackyxul4 的帖子

把P點往原點靠近，就可以發現最小值逼近0

順便一提，GGB可以直接匯出圖檔，這樣就不用另外處理PrintScreen。
檔案→匯出→匯出圖檔

[ 本帖最後由 valkyriea 於 2016-4-21 09:32 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-4-21 12:28 標題: 回復 1# jackyxul4 的帖子

P 的橫坐標應大於 2

下面式子的直線PB和直線PC，符號沒有出來

\(\begin{align}
  & P\left( x{}_{0},{{y}_{0}} \right),B\left( 0,b \right),C\left( 0,c \right),b>0>c,{{x}_{0}}>2 \\
&  \\
& :\left( {{y}_{0}}-b \right)x-{{x}_{0}}y+{{x}_{0}}b=0 \\
& :\left( {{y}_{0}}-c \right)x-{{x}_{0}}y+{{x}_{0}}c=0 \\
&  \\
& \frac{\left| {{y}_{0}}-b+{{x}_{0}}b \right|}{\sqrt{{{\left( {{y}_{0}}-b \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{2}}}}=\frac{\left| {{y}_{0}}-c+{{x}_{0}}c \right|}{\sqrt{{{\left( {{y}_{0}}-c \right)}^{2}}+{{\left( -{{x}_{0}} \right)}^{2}}}}=1 \\
& \left( {{x}_{0}}-2 \right){{b}^{2}}+2{{y}_{0}}b-{{x}_{0}}=\left( {{x}_{0}}-2 \right){{c}^{2}}+2{{y}_{0}}c-{{x}_{0}}=0 \\
\end{align}\)
b和c是\(\left( {{x}_{0}}-2 \right){{t}^{2}}+2{{y}_{0}}t-{{x}_{0}}=0\)的二根
\(\begin{align}
  & \overline{BC}=b-c=\frac{2\sqrt{{{\left( 2{{y}_{0}} \right)}^{2}}+4{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}-2 \right)}}{2\left( {{x}_{0}}-2 \right)}=\frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-2} \\
& \Delta PBC=\frac{1}{2}\times \frac{2{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-2}\times {{x}_{0}}={{x}_{0}}-2+\frac{4}{{{x}_{0}}-2}+4\ge 4+4=8 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-4-21 12:52 PM 編輯 ]

作者: larson 時間: 2016-4-29 07:52 標題: 再一題105建中題

有一四面體的一條稜長是\(x\)，其餘的稜長皆為1，設此四面體的體積為\(V(x)\)，求\(V(x)\)的最大值。

作者: swallow7103 時間: 2016-5-3 10:28

附上印象中的版本，因為時間久遠有幾題忘了，還請記得的老師補充！
計算第二題，有高手會用GGB作圖嗎？中間那個小圓不知道怎麼畫只好徒手繪圖XD

110.5.10補充
\(\displaystyle \sum_{0\le i <j\le 60}C_i^{60}\cdot C_j^{60}\)被31除的餘數。
(108高中數學能力競賽嘉義區筆試二試題)

附件: 105建國中學.pdf (2017-1-2 12:52, 1.47 MB) / 該附件被下載次數 7673
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3323&k=b1b7b3e080e855d688d8c29188099d4a&t=1732296640

作者: valkyriea 時間: 2016-5-3 17:18 標題: 回復 6# swallow7103 的帖子

有試著畫出來，如下連結
h ttps://www.geogebra.org/o/Mqt7bgFc　連結已失效

利用O1與AB之外公切圓圓心軌跡為拋物線
O2同理
即可找到O3之圓心。

作者: laylay 時間: 2016-5-11 11:25 標題: 回復 5# larson 的帖子

在相鄰兩正角形垂直時,Max=1/8

作者: laylay 時間: 2016-5-11 12:04 標題: 填充6

圖片附件: [填6] 20160511_120003.jpg (2016-5-11 12:04, 1.67 MB) / 該附件被下載次數 6885
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3356&k=b00f95cb3c809a20f92b7ea274b8e6ed&t=1732296640

作者: laylay 時間: 2016-5-11 13:00 標題: 填充5

方法數=1--12取4數不相鄰 - 1--12取4數不相鄰且1,12皆有取
=C(9,4)-C(7,2)=105
故機率=105/C(12,4)=7/33

作者: laylay 時間: 2016-5-13 06:37

8. 有一四面體的五條稜長均為 1，剩下一稜長為\( x\)，若此四面體體積為\( v(x)\)，求\(v(x) \)的最大值。

這題簡單,建議改成有一四面體的四條稜長均為 1，剩下兩稜長為\( x,y\)，兩稜相鄰時四面體體積為\( u\)，兩稜不相鄰時四面體體積為\( v\)求\(u+v \)的最大值

作者: www 時間: 2016-5-18 15:19

想請教計算題第二題

作者: tsusy 時間: 2016-5-18 20:16 標題: 回復 12# www 的帖子

計算2
第1小題，將AC弦以正弦定理表示可得
AC＝2RsinB＝2r1sinA
再用一次正弦 sinA/sinB＝a/b
可得 r1/R = b/a （題目記錯？）

第2小題，應是遣漏條件，如下解釋
固定r1、r2，將圓O2往左移，與圓O1的交點記作新的C，而B點隨O2左移
顯然中間小圓半徑變得更小了。
因此只用r1、r2是不夠的

應當再加上R，用三者來表示

[ 本帖最後由 tsusy 於 2016-5-18 08:18 PM 編輯 ]

作者: www 時間: 2016-5-19 08:23

感恩, 但\(R=\sqrt{r1\cdot r2}\),應該須加上\(a,b\)

作者: laylay 時間: 2016-5-19 19:05

計算1(2) :
過B作M 的垂線L,
作直線AB交橢圓於P,Q兩點,
以PQ為半徑A為圓心畫弧交L於Ｃ,
作BC中垂線Ｎ,即為所求

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