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標題: 105武陵高中 [打印本頁]

作者: EZWrookie 時間: 2016-4-16 21:16 標題: 105武陵高中

拋磚引玉~打出我還記的的題目...
想問填充題擲骰子連續出現三次的期望值該怎麼算??

填充題: (未照題號順序)
1.擲公正骰子，連續出現三次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。

計算證明題(未照題號順序)
1.證明任意凸四邊形ABCD 皆有AB*CD+AD*BC>=AC*BD，並說明等號成立的條件。
2.敘述並證明一次因式檢驗法
3.設三個矩陣A B C，證明(AB)C=A(BC)

105.4.19補充
以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 25分
32,30,30,27,25,25,25,25

其他
20~24分 8人
10~19分 49人
1~ 9分 55人
0分 27人
缺考 0人

共計 147 人

105.4.20補充
經agan325同意將檔案移到第一篇,方便以後網友下載
感謝PTT網友a85591842將印象記憶版打成pdf檔

附件: 105武陵高中初試成績.pdf (2016-4-19 08:16, 239.72 KB) / 該附件被下載次數 10563
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3252&k=1e95268df95d7c863985f407c3b765b0&t=1732310070

附件: 105武陵高中網友記憶版.pdf (2016-4-20 18:50, 108.3 KB) / 該附件被下載次數 11564
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3256&k=bf54627e0881a5a8b41977e3f986efa1&t=1732310070

作者: thepiano 時間: 2016-4-16 22:22 標題: 回復 1# EZWrookie 的帖子

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
\(E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{3}}\times 3+{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+3 \right]+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right]\)

作者: cefepime 時間: 2016-4-16 22:35

二樓 thepiano 老師提示的解，是否應是指:

擲公正骰子，連續出現三次 " 1 點" 才停止，求擲骰子次數的期望值。

與原題意有所不同。

作者: sliver 時間: 2016-4-16 22:51 標題: 回復 1# EZWrookie 的帖子

95年台大數學申請入學考題
h ttp://www.math.ntu.edu.tw/download.php?filename=203_41a7c8e6.pdf&dir=archive&title=%E7%94%84%E9%81%B8%E5%85%A5%E5%AD%B895　網頁已失效
類似的技巧
(1)若兩人猜拳，平均需要_______次能分出勝負
(2)若三人猜拳，兩人勝一人，則勝者兩人繼續猜拳直到分出勝負。若一人勝兩人，則此人勝出，因此平均需要_____次三人可分出勝負
---------------------------------------------------------------------------
(1) 兩人猜拳有2/3機率一把分出勝負
E=(2/3)*1 + (1/3)*(E+1)
故 E=3/2

(2)三人猜拳有1/3機率1人勝出 1/3機率2人暫時獲勝 1/3機率平手

E=(1/3)*1 + (1/3)*(1+3/2)+(1/3)*(1+E)
E=9/4

作者: EZWrookie 時間: 2016-4-17 15:54 標題: 回復 4# sliver 的帖子

我先計算了「重複擲一公正骰子，直到連續出現兩次相同點數才停止，則投擲數的期望值為 7次」
該如何推廣到直到連續出現""三次""相同點數才停止的期望值呢?

麻煩sliver老師了!!! 謝謝你。

作者: sliver 時間: 2016-4-17 17:11 標題: 回復 5# EZWrookie 的帖子

假設題目是連續擲了兩次一樣的點數即停止
令K=擲出一個點數(目前連1的狀況) 仍需多少次能達成任務的次數期望值

K=(1/6)*1 + (5/6)*(K+1)
=> K=6
=> E=K+1=7
----------------------------------------------------------
假設題目是連續擲了3次一樣的點數即停止
------------------------------------------------------------
令K=擲出一個點數(目前連1) 仍需多少次能達成任務的次數期望值

K=(1/36)*2 + (5/6)*(K+1) + (1/6)*(5/6)*(K+2)
=> K=42
=> E=K+1=43

作者: thepiano 時間: 2016-4-17 17:31 標題: 回復 3# cefepime 的帖子

原來題意沒有指定特定的點數，所以小弟的答案應該要再除以6才是正解43

作者: EZWrookie 時間: 2016-4-17 19:50 標題: 回復 6# sliver 的帖子

謝謝sliver 老師分享! 簡單明瞭~

作者: thepiano 時間: 2016-4-17 21:32 標題: 回復 3# cefepime 的帖子

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
小弟修正一下自己的算式
\(\begin{align}
& E\left( X \right)={{\left( \frac{1}{6} \right)}^{2}}\times 3+\left( \frac{1}{6} \right)\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+2 \right]+\left( \frac{5}{6} \right)\left[ E\left( X \right)+1 \right] \\
& E\left( X \right)=43 \\
\end{align}\)

作者: senzm 時間: 2016-4-17 21:56

謝謝sliver大學長無私分享

作者: cefepime 時間: 2016-4-17 22:35

5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
我在想，解這個題目應該也可以套用"幾何分配"的性質:

重複進行一成功機率為 p (>0) 之試驗 (每次試驗為獨立事件)，直至第一次試驗成功為止，則試驗次數之期望值 = 1/p。

現考慮: 擲一公正骰子，連續出現 n (>1) 次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。

思考: 由於 "連續出現 n 次相同數字" 是基於先 "連續出現 n-1 次相同數字"，繼之成功機率為 1/6。套用上述"幾何分配"的性質，有:

E(n) = 6*E(n-1) + 1，在此 E(k) 是指連續出現 k 次相同數字才停止之投擲次數期望值。

由 E(1) = 1，得 E(2) = 7，E(3) = 43，E(4) = 259，...。

一般式為 E(n) = (6ⁿ -1) / 5。

作者: thepiano 時間: 2016-4-18 06:09 標題: 回復 11# cefepime 的帖子

cefepime 兄，這種期望值結合遞迴的妙解令人大開眼界啊

作者: agan325 時間: 2016-4-18 10:34 標題: 回復 1# EZWrookie 的帖子

補充兩題

填充題第二題
題目是有n天要頒獎m的禮物，第一天先發1個，再發m-1的1/7出去，剩下的第二天發出，第二天再發出2個，和剩下的1/7，按照這樣的發法，在第n天時發出n個就剛好發完
請問(n,m)=?

計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？

若有錯誤請老師補充指教

作者: thepiano 時間: 2016-4-18 11:00

2.
因應武陵高中校慶，校方準備了\(m\)個禮物要在\(n\)天發完，發法如下；第一天先發一個，再從剩餘的\(m-1\)個禮物選\(\displaystyle \frac{1}{7}\)送出去；第二天先送出兩個，再從剩餘的禮物中挑\(\displaystyle \frac{1}{7}\)發出去。按照此發法，在第\(n\)天的時候發出\(n\)個剛好全部發完，請問數對\((m,n)=\)？
[解答]
設第\(k\)天頒完後，剩\({{a}_{k}}\)個禮物
\(\begin{align}
& {{a}_{0}}=m,{{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{k}}=\frac{6}{7}\left( {{a}_{k-1}}-k \right) \\
& {{a}_{k-1}}=\frac{7}{6}{{a}_{k}}+k \\
& m={{a}_{0}}=1+2\times \frac{7}{6}+3\times {{\left( \frac{7}{6} \right)}^{2}}+\cdots \cdots +n{{\left( \frac{7}{6} \right)}^{n-1}}=\left( n-6 \right)\times \frac{{{7}^{n}}}{{{6}^{n-1}}}+36 \\
& \left( {{7}^{n}},{{6}^{n-1}} \right)=1,n-6<{{6}^{n-1}},m\in N \\
& n=6,m=36 \\
\end{align}\)

作者: 米斯蘭達 時間: 2016-4-18 12:16 標題: 回復 1# EZWrookie 的帖子

【還有一題】
已知擲一枚硬幣出現正面的機率是p，出現反面的機率是1-p，今我們連續擲一枚硬幣10次，設這10次中出現k次正面的機率為p_k，且已知p_4=4*p_6，求p_1+3*p_2+5*p_3+...+19*p_10

(可用指數表示答案)

作者: czk0622 時間: 2016-4-18 13:35

2<=n<=1999, a,n 是正整數, b=log_a(n) 是整數的（a,b)有幾組解？
f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3 的定義域為{x|0<=x<=2}, 試就a值討論 |f(x)|的最大值
拋物線外一點P到拋物線的切點分別為A,B，焦點為F,證明角PFA=角PFB

作者: sliver 時間: 2016-4-18 14:13 標題: 回復 16# czk0622 的帖子

記得填充這題是這樣
n 是正整數, 2<=n<=1999, 有多少個n
可以找到大於1的正整數a,b, 滿足b=log_a(n)

問的是n有幾組不是問(a,b)有幾組

作者: czk0622 時間: 2016-4-18 15:35 標題: 回復 17# sliver 的帖子

感謝學長修正

作者: thepiano 時間: 2016-4-18 16:51

引用:

原帖由 agan325 於 2016-4-18 10:34 AM 發表
計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？

這是整數分拆的難題，兩者答案都是84672個

作者: bugmens 時間: 2016-4-18 20:25

\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)？
英文書名為Problem-Solving Through Problems
簡體書名為美國大學生數學競賽例題選講
繁體書名為通過問題學解題

圖片附件: 美國大學生數學競賽例題選講P136.gif (2016-4-18 20:41, 59.7 KB) / 該附件被下載次數 5745
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3248&k=043aa31dc7ea50697d9ea326b967ed81&t=1732310070

作者: Ellipse 時間: 2016-4-18 20:39

引用:

原帖由 bugmens 於 2016-4-18 08:25 PM 發表
\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)？

這題不就是有名考古題?
印象中答案:7/4
算出來要花一些時間...

作者: 六道 時間: 2016-4-19 12:48 標題: 回復 11# cefepime 的帖子

這簡直神技啊！

作者: sliver 時間: 2016-4-19 18:19

填充8
設\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,a,b,c,d \in R\)且\(f(3+4i)=75i-100\)，\(f(7-24i)=7+24i\)，請問\(d=\)
[解答]
------------------------------------
提供一個今天朋友想到的方法
跟考古題一樣的技巧 (PS 如果用 xf(x) 解法會漂亮一點)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108
-------------------------------------

圖片附件: 66754.jpg (2016-4-19 18:19, 188.77 KB) / 該附件被下載次數 5542
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3254&k=0f59560c82a8a287077980207e48f7a6&t=1732310070

作者: stanley30203 時間: 2016-4-20 12:09 標題: 回復 19# thepiano 的帖子

計算證明題6.
設\(\Delta ABC\)的邊長均為正整數，且全等的三角形視為同一種，則：
(A)周長為2013
(B)周長為2016
\(A\)和\(B\)情況哪一個的三角形比較多種，為什麼？
[解答]
但是這題只問兩者的大小，所以建立一一對應關係：

(a,b,c)→(a+1,b+1,c+1)

稍微判斷一下三角形兩邊和大於第三邊條件，可知邊長2013的三角形會和2016的三角形一樣多

ps:如果改成2016、2019就不一樣多了(2019比較多)

作者: stanley30203 時間: 2016-4-20 12:18 標題: 回復 1# EZWrookie 的帖子

計算證明題1.
設\(ABCD\)為一凸四邊形，證明\(\overline{AB}\times \overline{CD}+\overline{AD}\times \overline{BC}\ge \overline{AC}\times \overline{BD}\)，並說明等號成立的條件。
[解答]
最近在書上看到一個蠻簡單漂亮的證明。

以A為反演中心，任取半徑r>0的反演圓。將B、C、D作反演得到B'、C'、D'
則B'C'=(BC*r*r)/(AB*AC)、B'D'=(BD*r*r)/(AB*AD)、C'D'=(CD*r*r)/(AC*AD)

由三角不等式B'C'+C'D'>=B'D'
化簡即得到AB*CD+AD*BC>=AC*BD

等號成立條件為B'、C'、D'共線，即ABCD共圓

作者: lyingheart 時間: 2016-4-21 14:23

計算證明題4.
設\(\Gamma\)為一拋物線，\(P\)為\(\Gamma\)外一點，\(F\)為焦點。自\(P\)作\(\Gamma\)的切線，令其切點為\(A,B\)，證明\(\angle AFP=\angle BFP\)。
[解答]
做出準線
分別過A、B做準線的垂線，交點分別為C、D
拋物線定義AF=AC
光學性質得到AP為角FAC的平分線
故AP為FC的中垂線
PF=PC
同理PF=PD
故PC=PD
角AFP=角ACP=角ADP=角BFP

圖片附件: 105武陵計算4拋物線.jpg (2016-4-21 14:24, 16.19 KB) / 該附件被下載次數 5059
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3258&k=c262f47d325401e3d6e94abae1969cb6&t=1732310070

作者: leo790124 時間: 2016-4-21 16:11 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

請益老師最後一個5/6(E+1)要怎麼解釋???
一直想不通謝謝

作者: thepiano 時間: 2016-4-21 17:00 標題: 回復 27# leo790124 的帖子

先丟出1個點數後，接下來有5/6的機率丟出跟此點數不同的點數，視為重新丟出1個點數，但期望值多1

作者: son249 時間: 2016-5-5 08:21 標題: 求解

請教填充1,4跟計算2,5

作者: thepiano 時間: 2016-5-5 11:29 標題: 回復 29# son249 的帖子

填充第1題
設\(2\le n \le 1999\)，試問有多少個正整數\(n\)，使得存在大於1的正整數\(a,b\)且滿足\(log_a n=b\)？
[解答]
a^b = n，a>1，b>1，2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2，a = 2 ~ 44，計 43 個
(2) b = 4、6、8、10，a^b = n 都是平方數，與 (1) 同，不計
(3) b = 3，a = 2 ~ 12，扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2，計 9 個
(4) b = 5，a = 2 ~ 4，扣掉 4^5 = 32^2，計 2 個
(5) b = 7，a = 2，計 1 個
(6) b = 9，a = 2，2^9 = 8^3，不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個

填充第4題
設\(x,y,z\)為正整數，且\(xyz=2^{12}\cdot 3^2\)，求\(x+y+z\)可以被4整除的機率。
[解答]
\(xyz={{2}^{12}}\times {{3}^{2}}\)
數對(x，y，z)有\(H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}\)組
x+y+z是4的倍數，有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數：有\(H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(2)只有1個是4 的倍數，另2個只是2的倍數而非4的倍數：有\(C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(3) 1個是\({{2}^{12}}\times 3\)，另2個是1和3：有3!種情形
所求\(\begin{align}
& =\frac{H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}+C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}+3!}{H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}} \\
& =\frac{32}{91} \\
\end{align}\)

作者: eyeready 時間: 2016-5-5 22:49

計算5
設\(f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3,a\in R\)，試就\(a\)的範圍討論\(|\;f(x)|\;\)在\(x\in [0,2]\)的最大值。
[解答]
應該能更簡化一些

圖片附件: image.jpg (2016-5-5 22:50, 204.54 KB) / 該附件被下載次數 5591
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3331&k=726f336c3aa11ab61731a5653ab53395&t=1732310070

作者: thepiano 時間: 2016-5-6 08:21 標題: 回復 29# son249 的帖子

計算證明題2.
已知\(\Delta ABC\)的\(\angle A=\theta\)和內切圓半徑\(r\)為定值，請問在此條件下，\(\Delta ABC\)的周長最小為何？
[解答]
周長為\(\displaystyle 2r\left( \cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \right)\)

只要考慮\(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\)何時有最小值

令\(\frac{B}{2}=x+y,\frac{C}{2}=x-y\)
\(x=\frac{B+C}{4},y=\frac{B-C}{4}\)
\(\begin{align}
& \cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2} \\
& =\cot \left( x+y \right)+\cot \left( x-y \right) \\
& =\frac{1-\tan x\tan y}{\tan x+\tan y}+\frac{1+\tan x\tan y}{\tan x-\tan y} \\
& =\frac{2\tan x\left( 1+{{\tan }^{2}}y \right)}{{{\tan }^{2}}x-{{\tan }^{2}}y} \\
\end{align}\)
由於\(\tan x\)是定值，故\(\tan y=0\)，即\(B=C\)時，\(\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}\)有最小值

作者: anyway13 時間: 2017-4-16 11:54 標題: 請教一下第七題

請問一下版上老師,第七題的黎曼和到底要怎麼算阿

這種題目....真的不會. 謝謝!

作者: eyeready 時間: 2017-4-16 12:54 標題: 回復 33# anyway13 的帖子

7.
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{\frac{4n^2-1^2}{36n^4}}+\sqrt{\frac{4n^2-2^2}{36n^4}}+\ldots+\sqrt{\frac{4n^2-n^2}{36n^4}})=\)？
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\left( {\sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{1}{{6n}})^2 } + \sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{2}{{6n}})^2 } + ... + \sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{n}{{6n}})^2 } } \right) \\
= \int_0^1 {\sqrt {\frac{1}{9} - (\frac{x}{6})^2 } dx} = \frac{1}{6}\int_0^1 {\sqrt {4 - x^2 } } dx = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{12}} \\
\end{array}
\)

作者: anyway13 時間: 2017-4-16 15:41 標題: 回復 34# eyeready 的帖子

謝謝eyeready 老師, 清楚了解

作者: anyway13 時間: 2017-4-16 16:09 標題: 回復 34# eyeready 的帖子

eyeready老師一直到到數第三步都了解

可是答案只有跟你算的一半才一樣,是不是圖形只有上半部?

謝謝你

作者: eyeready 時間: 2017-4-16 16:19 標題: 回復 36# anyway13 的帖子

是的XD ，在外面晚點再修正

作者: anyway13 時間: 2017-4-16 20:40 標題: 回復 37# eyeready 的帖子

謝謝eyeready老師!

作者: satsuki931000 時間: 2020-11-24 21:24

3.
空間中有四點\(A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D(0,0,0)\)，設點\(E\)所在的平面到\(A,B,C,D\)四點的距離均為\(d\)，請寫出\(d\)的所有可能值。
[解答]
好像沒有討論
拋磚引玉一下
小弟算出來7個可能值
1，1/2，3/2，3/7，1/sqrt(5) ，3/2sqrt(10) ，3/sqrt(13)

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