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標題: 104高中數學能力競賽 [打印本頁]

作者: yadisbeles 時間: 2016-3-31 15:23 標題: 104高中數學能力競賽

h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/104hsm/index.php?menu=exam　(連結已失效)
這邊有104學年度的各區考題
但中投區筆試二點進去是error404，請問有人有這份題目嗎?謝謝!

106.9.17補充
設\(a,b\)為整數，如果多項式\(x^2-x-1\)為\(ax^{17}+bx^{16}+1\)的因式，試求\(a\)之值。
(第六區(台南區)筆試2試題)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=1#pid3758
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349

108.5.18補充
證明\(1<\sqrt{2+\root 3 \of{3+\root 4 \of{4+\ldots+\root 1120 \of{1120}}}}<2\)
104高中數學能力競賽　南區(高雄區)筆試一試題

109.6.25補充
設\(a\)、\(b\)為正整數，若\(a^{20}\)為31位數，\(\displaystyle \left(\frac{1}{b}\right)^{20}\)自小數點以下25位才不為0，則\((ab)^5\)是　　　位數。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子(每次要把10個球裝完)，要求每個盒子裡球的個數不少於盒子的編號數，這樣的裝法種數共有　　　種。
(104高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試二試題)
(109新北市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3351-1-1.html)

作者: thepiano 時間: 2016-3-31 15:28 標題: 回復 1# yadisbeles 的帖子

h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/workshop/104hsm/exam/104複賽-中投筆試(二).pdf　(連結已失效)

作者: 王重鈞 時間: 2016-3-31 23:43 標題: 回覆鋼琴老師

不好意思。冒昧請教鋼琴老師，您有１０４學科數學競賽的解答嗎？

作者: thepiano 時間: 2016-4-1 07:40 標題: 回復 3# 王重鈞的帖子

應該主辦單位才會有

作者: leo790124 時間: 2016-4-2 23:43 標題: 北二區筆試二一題

圖中，\(\Delta OPQ\)與\(\Delta QRS\)均為等腰直角三角形，其中\(\angle P\)與\(\angle R\)為直角，\(Q\)不在\(\overline{OS}\)上。已知\(M\)為\(\overline{OS}\)的中點且\(\overline{PR}=1\)，則\(\Delta PRM\)的周長為　　　。

想請問北二區筆試二的最後一題這題
關鍵應該在角PMR為90度
請問該如何判斷出來呢
請各高手幫忙><

圖片附件: 1459611715484.jpg (2016-4-2 23:43, 57.13 KB) / 該附件被下載次數 6945
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3236&k=3e4c58a82876a196c4c55153b20edb69&t=1714147057

作者: tsusy 時間: 2016-4-3 09:52 標題: 回復 5# leo790124 的帖子

直接坐標暴？P(0,0), R(1,0), Q(a,b)

轉出 O, S，坐標平均得 \( M(\frac12, -\frac12) \)

作者: thepiano 時間: 2016-4-3 11:10

\(\begin{align}
& \overline{OA}=\overline{PB}=a,\overline{SC}=\overline{RB}=1-a,\overline{PA}=\overline{QB}=\overline{RC}=b \\
& \overline{MN}=\frac{\overline{OA}+\overline{SC}}{2}=\frac{1}{2} \\
& \overline{BN}=c \\
& b+a+c=\left( 1-a \right)-c+b \\
& \overline{PN}=a+c=\frac{1}{2} \\
& \overline{PR}+\overline{PM}+\overline{RM}=1+\sqrt{2} \\
\end{align}\)

圖片附件: 20160403_3.jpg (2016-4-3 11:10, 29.94 KB) / 該附件被下載次數 6917
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作者: thepiano 時間: 2016-4-3 15:26 標題: 回復 5# leo790124 的帖子

剛看到某位老師的妙解
取 OQ 中點 N，SQ 中點 K
證明 △PMN 和 △MRK 全等 (SAS)
進而證明 △PMR 是等腰直角三角形

作者: leo790124 時間: 2016-4-4 10:21 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

好巧妙的輔助線
但是兩塊全等只能推出PM=MR
那直角的部分該如何看呢??

作者: thepiano 時間: 2016-4-4 20:22

MKQN 是平行四邊形
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 度

在 △PMN 中
∠2 + ∠3 + ∠4 = 90 度

故 ∠1 = 90 度

圖片附件: 20160404.jpg (2016-4-4 20:22, 43.44 KB) / 該附件被下載次數 6905
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作者: milkie1013 時間: 2016-4-23 09:25 標題: 請教104年高中數學學科能力測驗三題

104嘉義區複賽試題(一)
一、\(\Delta ABC\)的\(∠ACB\)的分角線交\(\overline{AB}\)於\(P,A_1,B_1\)分別為\(A,B\)對分角線\(\overline{CL}\)的對稱點，\(A_2,B_2\)分別為\(A,B\)對點\(P\)的對稱點，\(O_1,O_2\)分別為\(\Delta AB_1B_2,\Delta BA_1A_2\)的外心，證明\(∠O_1CA=∠O_2CB\)。

二、已知\(a,b,c\)都是正實數且\(a+b+c=3\)，證明\( \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le \frac{3}{4} \)。

三、
(a)若\(x,y,s\)為實數，求證\([sx+(1-s)y]^2=sx^2+(1-s)y^2-s(1-s)(x-y)^2\)。
(b)若\( f:R \rightarrow R \)為一函數且對所有實數\(x,y\)，不等式\( |\; f(x)-f(y) |\; \le |\;x-y |\; \)均成立。已知實數\(u,v\)滿足\(f(u)=u,f(v)=v\)，求證對所有\(0\le t \le 1\)，\(f(tu+(1-t)v)=tu+(1-t)v\)。

麻煩大家給我一些提示，謝謝！

作者: yadisbeles 時間: 2016-4-23 21:38

第二題用切線法(有點暴力)的證明

圖片附件: 切線法.PNG (2016-4-23 21:38, 31.16 KB) / 該附件被下載次數 5391
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3279&k=6e515af02393a5ac32069ae3c39edacb&t=1714147057

作者: Ellipse 時間: 2016-4-24 23:49

上面過程可能有問題喔~
取a=0.5 b=1 c=1.5
代入您改的那個值總和會超過0.75

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2016-4-24 11:54 PM 編輯 ]

作者: yadisbeles 時間: 2016-4-25 09:48

我發現了@@反號了我再想想

作者: yadisbeles 時間: 2016-4-25 11:04

後來發現這是2009伊朗選訓營的題目(教授真狠@@)
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h275815p1492633
下面colorfuldreams的解比較簡潔

作者: catlee 時間: 2016-4-25 11:58 標題: 不知道可不可以？

請參考

圖片附件: image.jpg (2016-4-26 08:48, 1.87 MB) / 該附件被下載次數 5388
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3286&k=f50ed99b81e76fac855cd9658ce56c44&t=1714147057

作者: yadisbeles 時間: 2016-4-25 12:34

因為題目的條件我們知道PA=PA1=PA2，於是P落在A1A2的中垂線上，同理P在B1B2的中垂線上，故O1、P、O2三點共線。
另外，注意到A1A和B1B都與CP垂直，因此A1A//B1B。又CA1=CA，CB1=CB，得A1B=B1A，故AB1BA1是等腰梯形，可作外接圓(如圖，圓心O)
此時，直線CB1A是上面兩圓的根軸，直線CA1B是下面兩圓的根軸，因此C是三圓的根心。
由於CA1是根軸，O1O是連心線，故CA1是O1O的垂線，同理CA是O2O的垂線，故C是三角形OO1O2的垂心，於是OC也垂直O1O2，又C是根心，故OC是圓O1和O2的根軸，
PO1=PO2，於是CO1O2是等腰三角形，故角O2CP=角O1CP，又CP是分角線，證畢。

圖片附件: S.PNG (2016-4-25 12:34, 39.73 KB) / 該附件被下載次數 5436
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3287&k=7e42dbe8be949db6bb97c9de7dc25577&t=1714147057

作者: yadisbeles 時間: 2016-4-26 08:31 標題: 回復 8# catlee 的帖子

最後一行是不是反號了?
如果我取1/x+1/y+1/z=1，不等式仍成立

作者: laylay 時間: 2016-5-11 05:43 標題: 回復 4# yadisbeles 的帖子

請注意到 f(0)=13/8-2<0,故 f(x)無法在(0,3)恆正

作者: yadisbeles 時間: 2016-5-31 13:15

後來發現之前的解太複雜了，這個解法比較好

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作者: peter0210 時間: 2016-6-14 22:34 標題: 104台南區高中數理競賽

想請教試題1 第2題

設數列\( \{\; a_n \}\; \)的前\(n\)項和為\(S_n\)，已知\(a_1=1\)且\((5n-8)S_{n+1}-(5n+2)S_n=-20n-8\)，試求\( \displaystyle \sum_{k=101}^{150}\frac{1}{a_ka_{k+1}} \)之值。

我知道它是公差5的等差數列，但要怎麼從正面推導出(小弟是用猜的，再帶回檢驗)

附件: 104台南區.pdf (2016-6-14 22:34, 266.7 KB) / 該附件被下載次數 7296
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3491&k=bb4b77bda04300f8a7c25bcaa0825703&t=1714147057

作者: peter0210 時間: 2016-6-14 22:45

小弟還想請問試題2第三題
若\(a,b\)是方程式\(x^4-3x^3+x^2-2x+4=0\)的兩個根，則\(ab\)會是方程式\(x^6-x^5+c_1 x^4+c_2 x^3+c_3 x^2+c_4 x+c_5=0\)的一個根。試求\(c_1+c_2+c_3+c_4+c_5\)之值。

小弟做到一半已做不下去，爆開太恐怖了

試題2第4題
已知\(O(0,0)\)和\(A(1,0)\)為直角坐標平面上的兩點，有一點\(B\)落在以\( \overline{OA} \)為直徑的圓上且點\(B\)位於第一象限，試求\( \Delta OAB \)的內切圓圓心的軌跡方程式。

不知道要在怎麼整理了
用GSP畫的圖很像鬼神童子的寄生果XD

圖片附件: 試題2第3題.jpg (2016-6-14 22:45, 1000.1 KB) / 該附件被下載次數 5557
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圖片附件: 試題2第4題.jpg (2016-6-14 22:45, 775.84 KB) / 該附件被下載次數 5727
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3493&k=c1fb6d0021be40b6337764f7f7ca3f5e&t=1714147057

作者: thepiano 時間: 2016-6-14 23:19 標題: 回復 1# peter0210 的帖子

\(\begin{align}
& \left( 5n-8 \right){{S}_{n+1}}-\left( 5n+2 \right){{S}_{n}}=-20n-8\cdots \left( 1 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{S}_{n+2}}-\left( 5n+7 \right){{S}_{n+1}}=-20n-28\cdots \left( 2 \right) \\
& \left( 2 \right)-\left( 1 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}+5{{S}_{n+1}}-\left( 5n+7 \right){{a}_{n+1}}-5{{S}_{n}}=-20 \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}-\left( 5n+2 \right){{a}_{n+1}}=-20\cdots \left( 3 \right) \\
& \left( 5n-8 \right){{a}_{n+1}}-\left( 5n-3 \right){{a}_{n}}=-20\cdots \left( 4 \right) \\
& \left( 3 \right)-\left( 4 \right) \\
& \left( 5n-3 \right){{a}_{n+2}}-2\left( 5n-3 \right){{a}_{n+1}}+\left( 5n-3 \right){{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{n+2}}+{{a}_{n}}=2{{a}_{n+1}} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2016-6-14 23:59

試題 2 第 3 題
設另二根為\(c,d\)，且\(a+b=m,ab=n\)
\( \cases{a+b+c+d=3 \cr ab+(a+b)(c+d)+cd=1 \cr ab(c+d)+cd(a+b)=2 \cr abcd=4} \)
\( \cases{\displaystyle n+m(3-m)+\frac{4}{n}=1 \ldots (1) \cr n(3-m)+\frac{4m}{n}=2\ldots \ldots(2)} \)
由(2),\( \displaystyle m=\frac{2n-3n^2}{4-n^2} \)代入(1)化簡後可得
\(n^6-n^5+2n^4-32n^3+8n^2-16n+64=0\)

作者: thepiano 時間: 2016-6-15 11:50 標題: 回復 2# peter0210 的帖子

試題 2 第 4 題
設內切圓圓心
作CD垂直OA於D，CE垂直 OB 於 E，CF垂直 AB 於 F
OD=OE=x，BE=BF=y，AF=AD=1-x
\(\begin{align}
& {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( 1-x+y \right)}^{2}}=1 \\
& {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\quad ,0<x<1,0<y\le \frac{\sqrt{2}-1}{2} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-6-16 03:07 PM 編輯 ]

作者: Exponential 時間: 2019-7-25 21:31 標題: e的證明

設有一數列\(\displaystyle x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\)，\(n \in N\)，試證\(2 \le x_n <x_{n+1}<3\) for all \(n \in N\)。
請教各位高手，這題如何用數學歸納法證？

作者: Ellipse 時間: 2019-7-29 11:34

引用:

原帖由 Exponential 於 2019-7-25 21:31 發表
請教各位高手，這題如何用數學歸納法證？

\(2<x_n<3\) ,可用二項式定理,再配合縮放證
\(x_n< x_{n+1}\) ,用算幾不等式證

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