Board logo

標題: 請問一題關於排列問題 [打印本頁]

作者: whzzthr    時間: 2016-2-7 15:11     標題: 請問一題關於排列問題

找不出規率,來請教老師一下
謝謝


\(n>1, n\in\mathbb{N}\)

\(\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}=\left\{1, 2, \cdots, n\right\}\) 的排列,

若 \(i\in\left\{1, 2, \cdots, n-1\right\}\)

試求恰一組 \(a_i>a_{i+1}\) 的排列數。
作者: thepiano    時間: 2016-2-7 16:25     標題: 回復 1# whzzthr 的帖子

\(\begin{align}
  & n\ge 3 \\
& {{a}_{n}}=2{{a}_{n-1}}+\left( n-1 \right) \\
& {{a}_{n}}={{2}^{n}}-n-1 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-2-7 04:33 PM 編輯 ]
作者: cefepime    時間: 2016-2-8 09:18

題意的充要條件即: 把 1, 2, ..., n 直線排列為兩組 B1...Bi,C1...Cj ,其中 < Bk >,< Ck >皆為遞增,且Bi > C1

一個元素有 2 個分組法,而 n 個元素一旦分好組,即只有一種排列法。

初步考慮分組方法數為: 2ⁿ,不合者為: 某組為空集合,或 Bi < C1 : 這二種情況皆表排列為 1,2, ..., n,而"分組線"位於某元素之前後,故有 n+1 種情況。

故所求為:  2ⁿ - (n+1) =  2ⁿ - n - 1

作者: whzzthr    時間: 2016-2-12 13:01

了解了!
謝謝weiye老師的文字敘述
謝謝thepaino老師的解答
謝謝cefepime老師清楚的分析
感謝!




歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/) 論壇程式使用 Discuz! 6.1.0