Math Pro 數學補給站

標題: 2015ARML台灣選拔賽 [打印本頁]

作者: leo790124 時間: 2016-1-17 15:07 標題: 2015ARML台灣選拔賽

請益這兩題很類似的圖形
但怎麼想就是想不出相關的幾何意義
旋轉，或是構造正三角形
也有想過正弦與積化和差
但不太好做
請益大家的想法

個人賽I-1
在\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\(P \)為內部一點，滿足\( ∠PAB=16^{\circ} \)，\( ∠PBA=14^{\circ} \)。已知\( ∠BAC=64^{\circ} \)，試求：\(∠APC\)的大小。

團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。

活動網頁
http://www.tmo.com.tw/arml/?p=preliminary

附件: 2015ARML台灣選拔賽.zip (2016-1-24 18:04, 606.63 KB) / 該附件被下載次數 8898
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3189&k=2a7dd65af2bdc6b2ebb435316594eff9&t=1713548772

作者: thepiano 時間: 2016-1-17 16:17 標題: 回復 1# leo790124 的帖子

團體賽T-1
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(∠BAC=80^{\circ}\)，\(P\)為內部一點滿足\(∠PAB=∠PBA=10^{\circ}\)，試求：\(∠APC\)的大小。
[解答]
令\(\overline{PA}=1,\angle APC=x\)

\(\begin{align}
  & \frac{\overline{AB}}{\sin 160{}^\circ }=\frac{1}{\sin 10{}^\circ } \\
& \overline{AB}=\frac{\sin 160{}^\circ }{\sin 10{}^\circ }=2\sin 80{}^\circ  \\
&  \\
& \frac{\overline{AC}}{\sin x}=\frac{1}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
& \overline{AC}=\frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)} \\
&  \\
& \frac{\sin x}{\sin \left( 110{}^\circ -x \right)}=2\sin 80{}^\circ  \\
& x=80{}^\circ  \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2016-1-17 16:31 標題: 回復 1# leo790124 的帖子

另一題做法差不多，答案是104度

作者: leo790124 時間: 2016-1-17 16:46 標題: 回復 2# thepiano 的帖子

最後一步看出x=80的部分就真的直接用看的嗎@@?
做的過程就是覺得這邊不知還有沒有辦法用算地得知

作者: thepiano 時間: 2016-1-17 17:37 標題: 回復 4# leo790124 的帖子

用看的就可以了，反正 x 僅有一解嘛

作者: leo790124 時間: 2016-1-18 21:29

再請教兩題
T-6 以找規律的方法可知隨著f(2)的值增加每兩個所求會增加1
但除了找規律歸納法之外
請教直接排組的做法！
不知道跟n進位是否有關係

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)

團體賽T-6.
已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？

作者: thepiano 時間: 2016-1-19 12:17 標題: 回復 6# leo790124 的帖子

團體賽T-5.
已知\( x,y,z \)均為非負實數，且滿足\(xyz+x+z=y\)，試求下列算式的最大值。
\( \displaystyle \frac{2}{1+x^2}-\frac{2}{1+y^2}+\frac{3}{1+z^2} \)
[解答]
\(\begin{align}
& xyz+x+z=y \\
& z=\frac{y-x}{1+xy} \\
& x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C\quad \left( 0\le A,B,C<\frac{\pi }{2} \right) \\
& C=B-A \\
& \frac{2}{1+{{x}^{2}}}-\frac{2}{1+{{y}^{2}}}+\frac{3}{1+{{z}^{2}}} \\
& =2{{\cos }^{2}}A-2{{\cos }^{2}}B+3{{\cos }^{2}}C \\
& =1+\cos 2A-1-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =\cos 2A-\cos 2B+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =2\sin \left( B+A \right)\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& \le 2\sin C+3-3{{\sin }^{2}}C \\
& =-3{{\left( \sin C-\frac{1}{3} \right)}^{2}}+\frac{10}{3} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2016-1-19 14:55 標題: 回復 6# leo790124 的帖子

已知多項式\(f(x)\)的各項係數均為不大於3的非負整數，且滿足\(f(2)=2016\)。像這樣的多項式一共有若干個？
[解答]
Google
許介彥教授的大作
"生成函數在計數問題的應用"，第6頁

作者: leo790124 時間: 2016-1-19 20:41 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師!!!!!
有想到轉換三角函數但是到cos^2就停住了!!

作者: leo790124 時間: 2016-1-19 20:49

該如何湊柯西的方向呢??

接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)

作者: thepiano 時間: 2016-1-19 21:45 標題: 回復 10# leo790124 的帖子

接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)
[提示]
令\( b + 3c = x\)，\(8c + 4a = y\)，\(3a + 2b = z\)
分別把\( a、b、c \)用\( x、y、z \)表示
化簡後用算幾

作者: leo790124 時間: 2016-1-21 00:46 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

分子的部分該如何處理呢??
最後一行的式子覺得應該不是這樣寫
還有什麼地方要修正嗎@@?

[ 本帖最後由 leo790124 於 2016-3-28 04:16 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2016-1-21 08:20 標題: 回復 12# leo790124 的帖子

\(\begin{align}
& \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \\
& =\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{9c}{z} \\
& =\frac{-8x+3y+4z}{24x}+\frac{8x-3y+4z}{16y}+\frac{9\times \left( 8x+3y-4z \right)}{48z} \\
& =-\frac{1}{3}+\frac{y}{8x}+\frac{z}{6x}+\frac{x}{2y}-\frac{3}{16}+\frac{z}{4y}+\frac{3x}{2z}+\frac{9y}{16z}-\frac{3}{4} \\
& =\left( \frac{y}{8x}+\frac{x}{2y} \right)+\left( \frac{z}{4y}+\frac{9y}{16z} \right)+\left( \frac{z}{6x}+\frac{3x}{2z} \right)-\frac{61}{48} \\
& \ge \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1-\frac{61}{48} \\
& =\frac{47}{48} \\
\end{align}\)

作者: 瓜農自足 時間: 2016-1-21 23:11 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

頗巧妙...

作者: thepiano 時間: 2016-1-27 23:32 標題: 回復 1# leo790124 的帖子

第 1 題
純幾何的解法

圖片附件: 20160128.jpg (2016-1-27 23:32, 45.02 KB) / 該附件被下載次數 4952
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3193&k=7b6ee77a04f6ee48778ca95ded5b6220&t=1713548772

作者: gilion2001 時間: 2016-6-9 21:58 標題: 回復 15# thepiano 的帖子

謝謝！

作者: cefepime 時間: 2017-2-21 14:11

團體賽T-6

已知多項式 f(x) 的各項係數均為不大於 3 的非負整數，且滿足 f(2) = 2016。像這樣的多項式一共有若干個？

由 thepiano 老師提示，許介彥教授的大作中，是以 "生成函數" 的方法，得出: 滿足 f(2) = n 的多項式一共有 [n/2] +1 個。("[ ]" 為高斯符號)

由於答案形式簡單，故嘗試構思一個過程簡明的方法，如下。 ( 在此考慮  f(2) = n 的條件 )

解: 令 f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴+... 為符合條件的多項式，即:

n = a₀ + a₁2 + a₂2² + a₃2³ + a₄2⁴+... ， {a₀, a₁, a₂...}∈{0,1,2,3}

由係數的限制，聯想到 4 進位表示法，故將上式改寫為:

n = (a₀ + a₂2²  + a₄2⁴+...) + 2*(a₁+ a₃2² + a₅2⁴+...)
= (a₀ + a₂4¹  + a₄4² +...) + 2*(a₁+ a₃4¹ + a₅4² +...) [ "( )" 內均為 4 進位的架構 ]

上式可視為將 n 表示為 P + 2Q，即一個序組{a₀, a₁, a₂...}對應一個 "將 n 表示為一非負整數與一非負偶數之和" 的方法 (一對一對應)。

反之，依上式將 n 表示為一非負整數與一非負偶數之和時，亦因任一非負整數恰有一個符合上式形式的 4 進位表示法，

故亦對應一個序組 {a₀, a₁, a₂...} (一對一對應)。

綜上，所求多項式的個數 = "將 n 表示為一非負整數與一非負偶數之和" 的方法數 {如: n+0, (n-2)+2, (n-4)+4...} =  [n/2] +1  ("[ ]" 為高斯符號)

原題答案為 [2016/2]+1 = 1009。

-------------------------------------------------------------------------------

本題若用遞迴關係來切入，可得

A(n+1) = A(n)+1 (當 n 為奇數) 或 A(n+1) = A(n) (當 n 為偶數) [A(k)表示滿足 f(2) = k 的多項式個數]，進而得出上述結論，過程亦不複雜。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-2-22 13:23 編輯 ]

作者: joby 時間: 2017-4-20 13:07

可否請教團體賽的 T2 和 T7
麻煩各位先進指教!!

圖片附件: 11.png (2017-4-20 14:16, 35.96 KB) / 該附件被下載次數 4125
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3971&k=b268497e6e1a91012445c34ef7c211ab&t=1713548772

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0