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標題: 兩組數據皆有相同的算術平均數與標準差,則兩組數據必相同 [打印本頁]

作者: P78961118    時間: 2015-12-16 08:58     標題: 兩組數據皆有相同的算術平均數與標準差,則兩組數據必相同

若a1<a2<a3  且  b1<b2<b3
這兩組數據皆有相同的算術平均數與標準差,則這兩組數據必相同?

答案是"錯"

請問各位老師  可以找到反例嗎??

感謝
作者: cefepime    時間: 2015-12-16 10:26

反例: (1, 2, 6) 與 (0, 4, 5)


想法 1:

該兩組數據有相同的算術平均數與標準差,則這兩組數據必相同

(s1, s2, s3) (t1, t2, t3) 的和與平方和皆相等,則這兩組數據必相同 (三個變數二個等式,大致知道不成立)

(s1, s2, s3) (t1, t2, t3) 位於同一平面 x+y+z = k 與同一球面 x²+y²+z² = h,兩者可交於一圓 (存在無窮多點滿足題目條件)

命題不成立


想法 2:

只要把 (a1, a2, a3) 三數分別對算術平均數取"對稱點",即得另一"平均數與標準差皆同"的三數組。為了讓兩者相異,只要平均數 ≠ 中位數 即可。

如上述實例: 1, 2, 6 之算術平均數 = 3,分別取"對稱點"得 5, 4, 0


此外,利用伸縮與平移,亦容易得到反例。



[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-12-17 11:16 AM 編輯 ]




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