標題: 多項式，代數基本定理與多項式的恆等式定理 [打印本頁]

---

作者: futureyesi    時間: 2007-8-11 14:01     標題: 多項式，代數基本定理與多項式的恆等式定理

多項式裡的恆等式定理
為何找到 N+1 個相異數 使 F(x) 的函數值均為 k 則 f(X) 恆為 K 為何是 N+1個相異數.不是N個

另外兩個多項式如果找到 N+1個相異數 使 F(X) G(X) 的函數值相等 則 F(X) = G(X) 為何是 N+1個

---

作者: weiye    時間: 2007-8-11 17:10

1.
　　代數基本定理：任何 n 次多項方程式，只要 n≧1，在複數系中，至少有一個根。



2.
若 f(x) 為 n 次多項式，根據代數基本定理可以知道至少有一根α1，

將 f(x) 提出 (x-α1) ，可得 f(x) = (x-α1)×(某個 n-1 次多項式)，

繼續對 n-1 次多項式引用代數基本定理，可得

f(x) = (x-α1)×(x-α2)×(某個 n-2 次多項式)

在一直繼續下去可得，

f(x) = (x-α1)×(x-α2)×...×(x-αn)

因此，把代數基本定理推廣可得：

　　定理： n 次多項方程式在複數系裡面，恰有 n 個根。(重根亦重複計算個數)



3.

形如 f(x)=an x^n + ... + a1 x + a0 的多項式，因為不知道 an 是否為零，

所以可能為 n 次多項式，也可能為 n-1, n-2, ..., 1, 0 次多項式，或是 0 多項式。

(註： 0 次多項式，表示 f(x)= "非零的常數" ；0 多項式，表示 f(x)="零"。)

若已知 n+1 個相異數，使 f(x) 的函數值均為 0，

則 f(x)=0 恆成立。


這是因為，

根據 2. 的定理，可得，

n 次多項式至多有 n 個相異根，所以 f(x) 不會是 n 次多項式，

同理，f(x) 也不會是 n-1, n-2, ..., 1 次多項式，

故 f(x)=常數 (也就是說 f(x) 為 0 次多項式，或是 0 多項式) ，

且已知 f(x) 有 n+1 個相異根帶入皆為 0 ，故 f(x)=0 恆成立。





4.

若兩個多項式 f(x)=an x^n + ... + a1 x + a0, g(x)=bn x^n + ... + b1 x + b0，

如果找到 n+1 個相異數，使 f(x), g(x) 的函數值相等，

則 f(x) = g(x) 恆成立。


這是因為，

設 h(x) = f(x) - g(x)，(待會希望證明 h(x)=0 恆成立，那一切就結束了！)

則 h(x) = (an-bn) x^n + ... + (a1-b1) x + (a0-b0) ，

若 f(α) = g(α) →　f(α) - g(α) = 0　→　h(α) = 0

因此，若有 n+1 個相異數，使得 f(x), g(x) 的函數值相等，

則可以得到，有 n+1 個相異數，使得 h(x) 代入這 n+1 個相異數之後，函數值皆 = 0

根據 3. 的結果，可以知道

h(x)=0 恆成立　→　f(x)-g(x) = 0 恆成立　→　f(x) = g(x) 恆成立。



5.

若令 4. 中的 g(x) = k (常數函數)，則可得

形如 f(x)=an x^n + ... + a1 x + a0 的多項式，

若已知 n+1 個相異數 使 f(x) 的函數值均為 k，

則 f(x)=k 恆成立。

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0