標題:
方程式無虛根
[打印本頁]
作者:
larson
時間:
2015-11-26 12:41
標題:
方程式無虛根
設\(n\)是自然數，試證：\( \displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\ldots+\frac{1}{x-n}=0 \)無虛根。
作者:
thepiano
時間:
2015-11-26 13:24
標題:
回復 1# larson 的帖子
\(\begin{align}
& \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\cdots +\frac{1}{x-n}=0 \\
& \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right)\cdots \left( x-n \right)}{x-k}=0} \\
\end{align}\)
由勘根定理，此方程式恰有\(n-1\)個實根，分別位於以下區間
\(\left( 1,2 \right),\left( 2,3 \right),\left( 3,4 \right),\cdots ,\left( n-1,n \right)\)
作者:
王重鈞
時間:
2015-11-26 22:32
或是利用微分=0的位置判斷也可以
圖片附件:
IMAG1182.jpg
(2015-11-26 22:32, 1.88 MB) / 該附件被下載次數 4976
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3130&k=669615d1d8b7f6216039bbe43b8dd1ea&t=1732269977
作者:
cefepime
時間:
2015-11-26 23:47
一個構想:
虛數 Z 與 1/Z ，兩者的的虛部必異號 (一正一負)。
因此，當 x 為虛數，左式中，各分式的虛部皆同正或同負(因為分母的虛部皆相同)，故其和必 ≠ 0，即原方程式無虛根。
依此，原式可推廣為: 各分子為同號的實數(彼此不必相等)，分母的 1, 2 ... 部分可為任意實數，結論仍成立。
作者:
larson
時間:
2015-11-30 08:11
謝謝你們的回覆
歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)
論壇程式使用 Discuz! 6.1.0
圖片附件: IMAG1182.jpg (2015-11-26 22:32, 1.88 MB) / 該附件被下載次數 4976