標題: 高中數論問題 [打印本頁]

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作者: larson    時間: 2015-10-7 11:09     標題: 高中數論問題

證明：1^1999+2^1999+3^1999+...+1999^1999 是1+2+3+…+1999的倍數
請問要如何證明？

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作者: thepiano    時間: 2015-10-7 11:18     標題: 回復 1# larson 的帖子

1 + 2 + 3 + ... + 1999 = 1999 * 1000
接著證那一串分別是 1000 和 1999 的倍數即可

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作者: larson    時間: 2015-10-7 13:39

抱歉，想請問如何各別證明？

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作者: thepiano    時間: 2015-10-7 14:59     標題: 回復 3# larson 的帖子

\(\begin{align}
  & {{1}^{1999}}+{{2}^{1999}}+{{3}^{1999}}+\cdots +{{1999}^{1999}} \\
& =\left( {{1}^{1999}}+{{1999}^{1999}} \right)+\left( {{2}^{1999}}+{{1998}^{1999}} \right)+\cdots +\left( {{999}^{1999}}+{{1001}^{1999}} \right)+{{1000}^{1999}} \\
& =2000\left( ... \right)+{{1000}^{1999}} \\
&  \\
& {{1}^{1999}}+{{2}^{1999}}+{{3}^{1999}}+\cdots +{{1999}^{1999}} \\
& ==\left( {{1}^{1999}}+{{1998}^{1999}} \right)+\left( {{2}^{1999}}+{{1997}^{1999}} \right)+\cdots +\left( {{999}^{1999}}+{{1000}^{1999}} \right)+{{1999}^{1999}} \\
& =1999\left( ... \right)+{{1999}^{1999}} \\
\end{align}\)

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作者: larson    時間: 2015-10-7 15:31

非常感謝！

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