標題: 算平均的證明 [打印本頁]

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作者: asking    時間: 2015-9-25 15:17     標題: 算平均的證明

現在5個任意的正整數a，b，c，d, e且a+b+c+d+e=5t ，t是整數，現在每次從中挑選2個數字，將這兩個數字換成這兩個數的平均數，例如1,3換成2,2
證明：經過若干次的操作後，可以將5個數字皆化為相同。（即(a,b,c,d,e)→(t,t,t,t,t)

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作者: cefepime    時間: 2015-9-26 22:35

感覺這個命題並不成立...

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作者: tsusy    時間: 2015-9-26 23:28     標題: 回復 2# cefepime 的帖子

命題不成立，反例：1 1 1 6 6 平均 3
若經過某組有限次操作可將 1 1 1 6 6 化為 3 3 3 3 3
則同樣的操作用在  0 0 0 1 1 上，可將其化為 \( \frac25,\frac25,\frac25,\frac25,\frac25 \)

但 0 0 0 1 1 經過操作無法產生分母為 5 的最簡分數，故 0 0 0 1 1 無法化為 \( \frac25,\frac25,\frac25,\frac25,\frac25 \)
(或者以 2進位觀之，過程中僅能產生有限的2進位小數，而 \( \frac25 = (0.0\overline{1100})_2 \))

因此 1 1 1 6 6 無法化為 3 3 3 3 3

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-9-27 07:52 AM 編輯 ]

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作者: cefepime    時間: 2015-9-27 00:57

感謝 寸絲老師的指導。

我的推理也類似這樣，並且得:

當且僅當題目的整數個數為 2ⁿ (n∈ N) 個時，原命題成立。

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作者: asking    時間: 2015-9-27 17:43

真是太感謝

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