標題: [請教]證明 x/(2x+y)+y/(x+2y) <= c <= x/(x+2y)+y/(2x+y) [打印本頁]

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作者: Lingling02    時間: 2015-9-11 01:04     標題: [請教]證明 x/(2x+y)+y/(x+2y) <= c <= x/(x+2y)+y/(2x+y)

[證明]對任意正實數x,y，存在常數c使得不等式 x/(2x+y)+y/(x+2y) <= c <=  x/(x+2y)+y/(2x+y)

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作者: thepiano    時間: 2015-9-11 07:36     標題: 回復 1# Lingling02 的帖子

用相減法證明以下式子，再加上實數稠密性即可
\(\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{2x+y}\ge \frac{x}{2x+y}+\frac{y}{x+2y}\)

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作者: cefepime    時間: 2015-9-11 21:12

[證明] 對任意正實數 x, y，存在常數 c，使得不等式 x/(2x+y) + y/(x+2y) ≤ c ≤  x/(x+2y) + y/(2x+y) 成立。


( 題意可能還要求 c 的值，只要令 x = y 即知 c = 2/3 )

因對稱性，可不失一般性地令 x ≤ y，則 1/(x+2y) ≤ 1/(2x+y)

由排序不等式，可得 x/(2x+y) + y/(x+2y) ≤ x/(x+2y) + y/(2x+y) ... (*)

令 (*) 之左式 = p，右式 = q，由 p ≤ q， 有

3p ≤ 2p+ q ≤ 3q

故 3p ≤ 2 ≤ 3q

即  p ≤ 2/3 ≤ q

故 x/(2x+y) + y/(x+2y) ≤ 2/3 ≤ x/(x+2y) + y/(2x+y)

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