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標題: 104羅東高中第一次教甄 [打印本頁]
作者: Chen    時間: 2015-7-26 14:36     標題: 104羅東高中第一次教甄

104羅東高中第一次教甄部分試題

抱歉，有打錯，已更正！！

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作者: litlesweetx    時間: 2016-11-30 18:22

想請問6和7怎麼做??
謝謝~
作者: eyeready    時間: 2016-12-1 10:45     標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

在\(xy\)平面上，以拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)上的點\(P(a,b)\)為中心，作與\(y=-1\)相切的圓\(C\)，且記切點為\(M\)。設\(a>2\)，圓\(C\)與\(y\)軸相交於兩點\(H\)與\(L\)(\(L\)較\(H\)靠近原點)。扇形\(PLM\)(中心角較小的那一個)的面積記為\(S(a)\)，三角形\(\Delta PHL\)的面積記為\(T(a)\)，求\(\displaystyle \lim_{a\to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}\)。
[解答]
只想到這方法！
設\(\displaystyle P(t,\frac{1}{4}t^2),t>2\)
\(\displaystyle (x-t)^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=(\frac{1}{4}t^2+1)^2\)
令\(x=0\)
\(\displaystyle t^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4+\frac{1}{2}t^2+1\)
\((y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4-\frac{1}{2}t^2+1=(\frac{1}{4}t^2-1)^2\)
\(\displaystyle y-\frac{1}{4}t^2=\pm(\frac{1}{4}t^2-1)\)
\(y=1\)or\(\displaystyle \frac{1}{2}t^2-1\)
\(\displaystyle L(0,1),H(0,\frac{1}{2}t^2-1),M(t,-1)\)
\(T(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&0&t&0\cr 1&\frac{1}{2}t^2-1&\frac{1}{4}t^2&1}\right| |\;=\frac{1}{2}\left|\ -\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t\right|\)
\(S(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&t&t&0\cr 1&-1&\frac{1}{4}t^2&1} \right| |\;=\frac{1}{2}\left|-\frac{1}{4}t^3-t \right|\)
\(\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}=\lim_{t\to \infty}\left| \frac{-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t}{-\frac{1}{4}t^3-t} \right|=2\)

圖片附件: 螢幕快照 2016-12-01 上午10.42.32.png (2016-12-1 10:45, 43.77 KB) / 該附件被下載次數 7931
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3686&k=9652d1f2b36132e109794fc6f49a695d&t=1732269880

作者: litlesweetx    時間: 2016-12-1 12:01

可是s(a)不是扇形嗎??可是直接忽略嗎??
作者: eyeready    時間: 2016-12-1 13:30

當移動到無窮遠處時(θ趨近sinθ)，扇形面積可視為三角形面積
作者: eyeready    時間: 2016-12-3 08:27     標題: 回復 2# litlesweetx 的帖子

探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題
http://rportal.lib.ntnu.edu.tw:8 ... 102671a1108/content

第7題可參考上列網址是用papus定理算出(請全部圈選貼上網址)
另想請教第2和第4題


105.12.3版主修正連結
111.6.20版主修正連結
作者: thepiano    時間: 2016-12-3 12:37     標題: 回復 6# eyeready 的帖子

第4題
\(n\in N,a \in N,n\ge 3,0<a<10^n\)且\(10^{n+1}+a\)被\(10^n+a\)整除，試求\(a\)值。
[解答]
\(\left( {{10}^{n}}+a \right)\left| \left( {{10}^{n+1}}+a \right) \right.\)

令\({{10}^{n+1}}+a=k\left( {{10}^{n}}+a \right)\)，\(k=2,3,4,\cdots ,9\)

一一檢驗可知
\(\begin{align}
  & k=6,a=\frac{4}{5}\times {{10}^{n}} \\
& k=7,a=\frac{1}{2}\times {{10}^{n}} \\
& k=9,a=\frac{1}{8}\times {{10}^{n}} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2016-12-3 13:08     標題: 回復 6# eyeready 的帖子

第2題
\(n\in N\)，試解出方程式\((x+1)^n=x^n\)的所有根。(請化簡到最簡形式\(a+bi\)，其中\(a,b\in R\))
[解答]
\(\begin{align}
  & {{\left( x+1 \right)}^{n}}={{x}^{n}} \\
& {{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{n}}=1 \\
& 1+\frac{1}{x}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\ ,\ k=0,1,2,\cdots ,n-1 \\
& x=\frac{1}{\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}-1}\ ,\ k=1,2,\cdots ,n-1 \\
& =\frac{\left( \cos \frac{2k\pi }{n}-1 \right)-i\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}} \\
& =-\frac{1}{2}-\frac{\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}}i \\
\end{align}\)
作者: eyeready    時間: 2016-12-3 13:31     標題: 回復 8# thepiano 的帖子

令人欽佩，感謝鋼琴老師！
作者: satsuki931000    時間: 2021-2-5 12:15

這一份真的寫到懷疑人生
附上小弟算出的答案 還請各位先進指教指正
感覺會有很多錯誤 PS.前面幾樓的幾位老師回答的題目答案，也順便寫在這樓，方便參考

1.\(\displaystyle (\sqrt{5}+1)R \)，\(\angle{BAC}=cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}\)
2.\(2\sqrt{3}-2\)
3.Max:\(2\sqrt{3}\) min:4
4.\(\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)
5.(2) 5
6.2
7. (1) \(\displaystyle P(X_n=k)=\frac{k}{4}P(X_{n-1}=k)+\frac{5-k}{4}P(X_{n-1}=k-1 )\)
(2)\(\displaystyle \frac{781}{256} \)
(3)\(\displaystyle \frac{4^n-3^n}{4^{n-1}}\)
8.\(\displaystyle a=\frac{1}{8}\times 10^n,\frac{1}{2}\times 10^n,\frac{4}{5}\times 10^n \)
9.\(\displaystyle  \sqrt{3} \)
10.\(18\pi \)
11.\(\displaystyle-\frac{1}{2}-\frac{\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}}i \)
12.\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{60}\pi \)
13.\(\displaystyle\frac{4}{e}\)
14.\(\displaystyle\frac{9}{2}\)
15.\(\displaystyle\frac{8}{315}\)
作者: shihqua    時間: 2021-11-24 18:30

3.應該沒有最大值，最小值是2根號3
9.我算根號3(負的不合，a>0)
10.10兀/3
12.兀/60

想請問這幾題，與樓上有點出入
作者: thepiano    時間: 2021-11-24 22:18     標題: 回復 11# shihqua 的帖子

第 3 題
題目應把 x > 0，y > 0 改成 x ≧ 0，y ≧ 0，否則取不到最大值

第 9 題
小弟也是算 √3

第 10 題
您算成交集部份的體積了

第 12 題
上一頁 eyeready 老師有分享陳昭地教授的文章
探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題
http://www.sec.ntnu.edu.tw/Month ... 9C%88%E5%88%8A).pdf
答案是 (√2 / 60)π
作者: satsuki931000    時間: 2021-11-24 22:47

抱歉 小弟筆誤 第9題的確是\(\displaystyle \sqrt{3}\)
(今天複習101台南二中有一模一樣的題目)

第10題小弟是這樣算的 不知道對不對
依照題意可得\(\displaystyle \vec{OX}=(2a+1,2b,2c)\)，\(\displaystyle \vec{OY}=(2a-1,2b,2c)\)
令\(\displaystyle A=2a,B=2b,C=2c\)
可知在\(A-B-C\)坐標軸下的\(\displaystyle \vec{OX},\vec{OY}\)軌跡分別為兩個球包含其內部
\(\displaystyle C_1,C_2\)
\(\displaystyle C_1 : (A-1)^2+B^2+C^2\leq 4,C_2 : (A+1)^2+B^2+C^2\leq 4\)
可以算出其聯集的區域為\(\displaystyle 18\pi\)

接下來轉換回\(\ x-y-z \)坐標軸，可得在其座標軸上的聯集體積為\(\displaystyle \frac{9}{4}\pi\)
作者: shihqua    時間: 2021-11-24 22:52

引用:
原帖由 thepiano 於 2021-11-24 22:18 發表
第 3 題
題目應把 x > 0，y > 0 改成 x ≧ 0，y ≧ 0，否則取不到最大值

第 9 題
小弟也是算 √3

第 10 題
您算成交集部份的體積了

第 12 題
上一頁 eyeready 老師有分享陳昭地教授的文章
探討一道旋轉體體積的命題、解 ...
謝謝鋼琴老師，受益良多！
作者: shihqua    時間: 2021-11-24 22:54

引用:
原帖由 satsuki931000 於 2021-11-24 22:47 發表
抱歉 小弟筆誤 第9題的確是\(\displaystyle \sqrt{3}\)
(今天複習101台南二中有一模一樣的題目)

第10題小弟是這樣算的 不知道對不對
依照題意可得\(\displaystyle \vec{OX}=(2a+1,2b,2c)\)，\(\displaystyle \vec{OY} ...
恩恩，想請問為何要轉換回去呢?
作者: satsuki931000    時間: 2021-11-24 23:09     標題: 回復 15# shihqua 的帖子

因為我是假設A=2a，B=2b，C=2c去看球的體積
所以在A-B-C為座標軸的世界中求出的體積，要轉換回原本世界x-y-z的體積
我是這樣想的
作者: shihqua    時間: 2021-11-24 23:12     標題: 回復 16# satsuki931000 的帖子

satsuki931000老師你好，可是您不是有使用一開始的條件去控制A,B,C嗎?
作者: thepiano    時間: 2021-11-25 06:14     標題: 回復 13# satsuki931000 的帖子

第 10 題
不用轉換，答案是 18 π
作者: shihqua    時間: 2021-11-25 09:26

昨天思考後，把它想成將球左右平移即可
作者: enlighten0626    時間: 2021-11-30 23:17     標題: 回復 10# satsuki931000 的帖子

請教14&15題做法
作者: laylay    時間: 2021-12-1 10:11     標題: 回復 20# enlighten0626 的帖子

由三變數都是正數或零可知第一個式子是定然成立，可以刪除,
在第三個式子中令-x1+x2=r<=3 得到 x2=x1+r代入第二式子得x3<=3-x1-r/2
可得P=r+x3<=3-x1+r/2,因此取x1=0,r=3,x2=3,x3=3/2就可得P之最大值為9/2
作者: thepiano    時間: 2021-12-1 10:19     標題: 回復 20# enlighten0626 的帖子

第 15 題
題意不是很清楚
以黑色的三張牌為例
若前三次分別翻出黑 2、黑 1、黑 3，這樣可以嗎?
作者: enlighten0626    時間: 2021-12-1 14:06     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

似乎是可以 只要不要跳號就可
作者: thepiano    時間: 2021-12-1 19:29     標題: 回復 23# enlighten0626 的帖子

第 15 題
那黑色 3 張牌有 4 種排法，紅色 4 張牌有 4 * 2 = 8 種排法
先排黑色 3 張，紅色 4 張插入 4 個空隙，有 H(4，4) = 35 種排法
所求 = (35 * 4 * 8) / 7! = 2/9
作者: enlighten0626    時間: 2021-12-3 07:48

感謝樓上回覆的老師
作者: anyway13    時間: 2022-4-5 10:39     標題: 請問第五題黎曼和

版上老師好   請問第五題的黎曼和以下的過程  想問的是第一步到第二部 的分母  題目是不適應該為n^n  因為一個n不夠 要n個

先取對數ln，lim┬(n→∞) ln 1/n 〖[(n+1)(n+2)⋯(n+n)]〗^(1/n)
=lim┬(n→∞) ln〖[((n+1))/n  ((n+2))/n⋯((n+n))/n]〗^(1/n)
=lim┬(n→∞)  1/n[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+⋯+ln(1+n/n)]
=∫_0^1 ln(1+x)dx=[(x+1)ln(x+1)-x]∣_0^1
=[(1+1)ln(1+1)-1]-[(0+1)ln(0+1)-0]
=2ln2-1=ln4-1
還原對數ln，lim┬(n→∞)  1/n 〖[(n+1)(n+2)⋯(n+n)]〗^(1/n)=e^(ln4-1)=e^ln4/e=4/e
作者: thepiano    時間: 2022-4-5 11:11     標題: 回復 26# anyway13 的帖子

外面 1 個 n 進到 n 次根號裡就會變 n^n
作者: PDEMAN    時間: 2022-4-5 11:46     標題: 回復 26# anyway13 的帖子

也可以先提出n把分母的n消去，在取對數下去做!
作者: anyway13    時間: 2022-4-5 13:04     標題: 回復 27# thepiano 的帖子回復 28# PDEMAN 的帖子

謝謝鋼琴老師和PDEMAN老師,小弟知道哪裡犯傻了



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