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標題: 104羅東高中第2次 [打印本頁]
作者: johncai    時間: 2015-7-18 15:03     標題: 104羅東高中第2次

想問其中一題
\(x^2+y^2=1\)且\( \displaystyle \frac{16}{x^6}+\frac{2401}{y^6}=6561\)，求\( \displaystyle \frac{x}{y}\)。
謝謝
作者: thepiano    時間: 2015-7-18 15:33     標題: 回復 1# johncai 的帖子

考慮廣義柯西不等式
作者: johncai    時間: 2015-7-18 16:36

再問一題
有一四面體\(OABC\)，\(ABC\)為邊長4的正三角形，\( \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=a\)，\( \overline{OA}\)和\(\overline{BC}\)的距離為\(\sqrt{3}\)，求\(a\)
我算出來是\(\displaystyle \frac{8}{3}\)
但聽到的答案都不一樣@
所以想請教一下
謝謝
作者: thepiano    時間: 2015-7-18 17:48     標題: 回復 3# johncai 的帖子

您是對的
作者: pretext    時間: 2015-7-18 18:47

我也是算8/3
但我覺得這個答案不太合理...
作者: thepiano    時間: 2015-7-18 20:41     標題: 回復 5# pretext 的帖子

公垂線段的其中一個垂足不在線段\( \overline{OA} \)上，如此罷了
作者: superlori    時間: 2015-7-18 20:56     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

沒錯....
話說...這是92年指考甲一模一樣的題目
連數據都沒有變
作者: hb13256    時間: 2015-7-18 22:26     標題: 回復 1# johncai 的帖子

用兩次科西不等式
\( \displaystyle \Bigg[\; \left( \frac{4}{x^3} \right)^2+\left( \frac{49}{y^3} \right)^2 \Bigg]\; (x^2+y^2)\ge \left( \frac{4}{x^2}+\frac{49}{y^2} \right)^2 \)
\( \displaystyle \Bigg[\; \left( \frac{2}{x} \right)^2+\left( \frac{7}{y} \right)^2 \Bigg]\; (x^2+y^2)\ge (2+7)^2 \)


故\( \displaystyle \Bigg[\; \left( \frac{4}{x^3} \right)^2+\left( \frac{49}{y^3} \right)^2 \Bigg]\; (x^2+y^2) \ge ((2+7)^2)^2=6561 \)
"="成立於\( \displaystyle \frac{\left(\displaystyle \frac{4}{x^3}\right)}{x}=\frac{\left(\displaystyle \frac{49}{y^3} \right)}{y} \)且\( \displaystyle \frac{\left(\displaystyle \frac{2}{x} \right)}{x}=\frac{\left(\displaystyle \frac{7}{y} \right)}{y} \)
\( \displaystyle \frac{x}{y}=\frac{\sqrt{14}}{7} \)
作者: thepiano    時間: 2015-7-19 06:26     標題: 回復 8# hb13256 的帖子

其實這題的答案是\(\displaystyle \pm \frac{\sqrt{14}}{7}\)
作者: johncai    時間: 2015-7-19 12:06

成績公布了
根據成績
以下3題我應該錯了一題，但不知道錯哪一題，
題目或答案有錯請指正
謝謝

1.  A=0.ab(ab循環),B=0.aba(aba循環),a和b皆為1到9之整數,a<b,求A減B之min
2.  f(x)=x^2-2mx+2m+3>0恆成立,求m之範圍
3.  A(0,0),B(3,1+cos a),C(1+sin a,3),0<a<360度,求三角形ABC面積之min

提供我算的答案
1.  1/10989
2.  -1<m<3
3.  15/4 -根號2/2

[ 本帖最後由 johncai 於 2015-7-19 12:17 PM 編輯 ]
作者: pretext    時間: 2015-7-19 14:43     標題: 回復 10# johncai 的帖子

第二小題好像跟我的答案不一樣...
不知道這次取6個要幾分...
作者: liusolong    時間: 2015-7-19 15:59     標題: 請問這兩題的答案是? Thanks

畫出\( \displaystyle f(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{x^2(1-|\;x |\;^n)}{1+|\;x|\;^n} \)的圖形？

\( \left| \matrix{a_1&a_2&a_3&a_4&a_5 \cr b_1&0&b_3&b_4&b_5 \cr c_1&c_2&0&c_4&c_5 \cr d_1&d_2&d_3&0&d_5 \cr e_1&e_2&e_3&e_4&e_5} \right| \)展開後有幾項？
作者: thepiano    時間: 2015-7-19 17:15     標題: 回復 12# liusolong 的帖子

畫圖那題
\(\begin{align}
  & \left( 1 \right)\ \left| x \right|=1,f\left( x \right)=0 \\
& \left( 2 \right)\ \left| x \right|<1,f\left( x \right)={{x}^{2}} \\
& \left( 3 \right)\ \left| x \right|>1,f\left( x \right)=-{{x}^{2}} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2015-7-19 17:49     標題: 回復 12# liusolong 的帖子

行列式那題是64項
等高手來給妙解吧
作者: leo790124    時間: 2015-7-19 17:59     標題: 回復 10# johncai 的帖子

第二題她是說對所有\(x\)屬於\(R+\)恆成立!!!
所以我覺得答案應該不是\(-1<m<3\)

只是我也不知道怎麼修正T_T
作者: tsusy    時間: 2015-7-19 19:17     標題: 回復 12# liusolong 的帖子

行列式是鋼琴老師說的 64 沒錯。

全部展開至多 \( 5! = 120 \)，但其中有些為 0 利用取捨原理去扣
扣一個 0，加二個 0，再扣3個 0

故有 \( 5! - 4! - 4! -4! +3! +3! +3! - 2! = 64 \)
作者: thepiano    時間: 2015-7-19 20:37     標題: 回復 15# leo790124 的帖子

\(x\)是正實數的話，答案是\(-\frac{3}{2}\le m<3\)
作者: johncai    時間: 2015-7-19 22:08

把題目補齊
1.若3的10000次方的各位數和為A，A的各位數和為B，B的各位數和為C，求C
2.正三角形ABC內一點P,PA線段=6,PB線段=8,PC線段=10,求正三角形ABC面積
3.證明及敘述牛頓定理
4.空間中給A,B,C,D四點，求直線AB和直線CD的距離及公垂線端點坐標(請記得數據的補充)
5.一數列，a_1=-1,a_n+1=(1+a_n)/(3-a_n),求a_n一般項(以n表示)並證明
6.二項分配的題目(請記得的人補充)
7.(1)證明cos兀/7為8x^4+4x^3-8x^2-3x+1=0的根
(2)8x^4+4x^3-8x^2-3x+1=0有幾個實數根？
總共14題

順便提供我算的答案
1.  C=9
2.  正三角形ABC面積=25根號3+36
3.  略
4.  距離=(11根號21)/21
5.  a_n=(n-2)/n
6.  略
7.  略
題目及答案有錯請指正，謝謝

[ 本帖最後由 johncai 於 2015-7-19 11:29 PM 編輯 ]
作者: leo790124    時間: 2015-7-19 23:31     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

只想到\(f(0)=2m+3\)
要如何解釋判斷呢???
作者: liusolong    時間: 2015-7-20 00:00

請問畫圖的那一題，我題目是否有記錯?  因考場我在[-1, 1] 是畫0, 確定一下題目是否正確，還是自己答案寫錯了? Thanks
作者: hb13256    時間: 2015-7-20 00:57     標題: 回復 9# thepiano 的帖子

題目應該要補上\(x,y\)為正實數...
作者: thepiano    時間: 2015-7-20 07:37     標題: 回復 21# hb13256 的帖子

不需要，以下兩組均可滿足題意
\(\begin{align}
  & x=\frac{\sqrt{2}}{3},y=-\frac{\sqrt{7}}{3} \\
& x=-\frac{\sqrt{2}}{3},y=\frac{\sqrt{7}}{3} \\
\end{align}\)
作者: thepiano    時間: 2015-7-20 07:55     標題: 回復 19# leo790124 的帖子

(1)\(m=0,f\left( x \right)={{x}^{2}}+3>0\)，對所有正實數x，恆成立

(2)\(m<0,f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+2m+3\)圖形在y軸的左方
只要\(2m+3\ge 0,m\ge -\frac{3}{2}\)，對所有正實數x，\(f\left( x \right)>0\)就恆成立

(3)\(m>0,f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+2m+3\)圖形在y軸的右方
要\({{\left( -2m \right)}^{2}}-4\left( 2m+3 \right)<0,-1<m<3\)，對所有正實數x，\(f\left( x \right)>0\)才恆成立

故\(-\frac{3}{2}\le m<3\)
作者: hb13256    時間: 2015-7-20 12:06     標題: 回復 22# thepiano 的帖子

我意思是原本題目裡面有正實數這個條件
但原發問者沒有打出來
作者: cefepime    時間: 2015-7-20 15:22     標題: 回復 12# liusolong 的帖子

行列式那題，題意等同:

A,B,C,D,E 排一列，B 不排第 2，C 不排第 3，D 不排第 4 的方法數。
作者: leo790124    時間: 2015-7-21 12:42     標題: 回復 25# cefepime 的帖子

請問行列式那提要怎麼轉化成排列的概念呢？
有比較清楚的解釋為什麼可以這樣看嗎
作者: leo790124    時間: 2015-7-21 12:54     標題: 回復 18# johncai 的帖子

請問7的第二小題要怎麼看出四實根呢？
由第一小題只知道一實跟？
接下來？
謝謝
作者: tsusy    時間: 2015-7-21 14:52     標題: 回復 27# leo790124 的帖子

7.
若 \( 3\theta +4 \theta = \pi + 2n\pi \) (其中 n 為整數)，則 \( \cos 3\theta + \cos 4\theta = 0 \)

故 \( \displaystyle \cos \frac{2n+1}{7} \pi, n \in \mathbb{Z} \) 皆為方程式 \( 8x^{4}+4x^{3}-8x^{2}-3x+1 = 0 \) 之解。
作者: leo790124    時間: 2015-7-21 17:01     標題: 回復 28# tsusy 的帖子

謝謝老師
只想出第一小題 覺得有點可惜
作者: liusolong    時間: 2015-7-21 22:23     標題: 回復 26# leo790124 的帖子

應該說本來行列式的定義，有些書就是利用排列來定義的，可參考 Linear Algebra, Kolman ; Hill.  有些書(David Poole)是利用由第一列或第一行展開來定義，再利用拉普拉斯展開定理，可得知對任何一列或任何一行展開其值相同，就是我們常說的降階 。所以5階行列式展開(由排列的定義方式)有5! 項
作者: cefepime    時間: 2015-7-22 00:59     標題: 回復 26# leo790124 的帖子

我也不肯定這個想法的正確性，主要是看到16樓 寸絲 老師的高解後所聯想到。

想法:
由於行列式展開後的各項，相當於在各列取一元(但各元所在的行次不同)相乘。把這個敘述的"列"與"行"互換亦真。

把某列(或行)當一個"人"，那麼一個行列式的各項其實就對應於 " n 個人坐 n 個位子" 的一個方法。

題目等於問"不含 0 的項數"; 若各列依次命名為 A,B,C,D,E，則等同 "5個人坐5個位子，且 B 不坐第2， C 不坐第3， D 不坐第4" 的方法數。

[ 本帖最後由 cefepime 於 2015-7-22 01:07 AM 編輯 ]
作者: leo790124    時間: 2015-7-22 14:31     標題: 回復 31# cefepime 的帖子

謝謝老師們的回覆
有所收穫



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