標題:
例題：矩陣，馬可夫鏈
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作者:
weiye
時間:
2007-7-30 03:02
標題:
例題：矩陣，馬可夫鏈
引用:
一隻螞蟻站在一正四面體的一頂點A上，若螞蟻到其他三頂點B、
C、D的機率均為1/3，且到其他頂點的時間都為一分鐘，求六十分
鐘後回到原頂點A的機率為多少?
經過 n 分鐘之後，在 A,B,C,D 各點的機率如下：
馬可夫鏈 + Mathematica幫我偷懶
理論作法簡述：利用 eigenvalue 與 eigenvector把推移矩陣 A 化成 P^-1 * D*P 其中 D 為對角化矩陣，
則可方便求出 A^n = P^-1 * D^n * P。
可以參考大學線性代數的課本。
另解，高中排列組合與機率的作法，
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n 個框框兩兩相臨，用 A,B,C,D 四色塗之，相鄰塗異色，
且已知第一個與最後一個框框均為 A ，試求塗法有幾種？
設 n 個框框時，塗法有 f(n) 種，
則 f(3)=3, f(n)=3^(n-2)-f(n-1) ，故
f(n) = 3^(n-2) - 3^(n-3) + 3^(n-4) - ... + (-1)^(n-3)*3 = (等比級數求和公式帶入) = (3^(n-1)-3*(-1)^n) / 4
原題目所求 A,B,C,D 四點間移動 n 次後，回到 A 點之機率
＝ n+1 個框框兩兩相臨，用 A,B,C,D 四色塗之，相鄰塗異色，且已知第一個框為 A ，則最後一個框框亦為 A 之機率
＝ f(n+1) / 3^n
＝(3^n-3*(-1)^(n+1)) / 4*3^n
＝(1+(-1)^n * 3^(1-n)) / 4
當然除了看成是塗色，也可以看成是四個人(A,B,C,D)在傳球，由 A 開始互傳，傳了 n 次之後，球回到 A 手上的機率。
原題目來自：連結已失效h ttp://www.student.tw/db/showthread.php?t=116877
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