Math Pro 數學補給站

標題: 104松山家商 [打印本頁]

作者: natureling 時間: 2015-6-9 21:51 標題: 104松山家商

.

附件: 20150605_104教甄-數學科題目卷(公告版) (1).pdf (2015-6-9 21:51, 246.49 KB) / 該附件被下載次數 8817
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2929&k=2375298ecd6e187a2376eefca33469ca&t=1714741147

附件: 20150605_104教甄-數學科參考答案(公告版).pdf (2015-6-9 21:51, 80.5 KB) / 該附件被下載次數 8585
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2930&k=9033a66f427291cec213fe2434d26e5a&t=1714741147

作者: wuha0914 時間: 2015-6-10 00:26

請問一下計算證明的最後一題要怎麼列式
感覺答案似乎要用n來表示?

作者: hunter214 時間: 2015-6-10 14:02

想請教一下填充第八題的想法…謝謝

作者: airfish37 時間: 2015-6-10 14:51

我也想請教填充8
我只會窮舉法一個一個列，想請教其他作法，感謝。

圖片附件: IMAG0213.jpg (2015-6-10 14:51, 1.02 MB) / 該附件被下載次數 5827
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2931&k=18416f662eca8af5b63e49dda93e40ac&t=1714741147

作者: airfish37 時間: 2015-6-10 15:02

想請教填充5的一個觀念，以下節錄自信哥老師之前給的連結文章
我的疑問如下：
題目求最小值，也就是圖檔中證明裡不等式 '' 等號 '' 成立時，
往前找，因為AB為最大邊，所以等號要成立的條件是三邊長必須相等。
但是原題的三邊長並不相等(5,6,7)，因此等號並不成立？故無最小值？而是最大下界？

104.6.20補充
題目出自103高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2125

圖片附件: 三角形極小值問題.jpg (2015-6-10 15:02, 67.77 KB) / 該附件被下載次數 5498
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2933&k=0e821d7222211a48bf010778b35f8692&t=1714741147

作者: wuha0914 時間: 2015-6-10 15:23 標題: 回復 6# airfish37 的帖子

P(B|A)=P(A交集B)/P(A)
P(A)*P(B|A)=P(A交集B)
P(2:0)*[P(0:0)+P(0:1)+P(1:0)+P(1:1)+P(1:2)]
=(1/8)*[1/8+1/4+1/8+1/4+1/8]
P(2:1)*[P(0:0)+P(1:0)+P(1:1)]
=(1/8)*[1/8+1/8+1/4]
P(1:0)*[P(0:0)+P(1:0)+P(1:1)]
=(1/4)*[1/8+1/8+1/4]
加總

作者: jackyxul4 時間: 2015-6-10 16:23 標題: 回復 5# airfish37 的帖子

關於這個問題我個人的看法是這樣的
因為題目允許P點為邊上的點，姑且不論直線上的點與直線是否垂直的問題
當P點在邊上，會使得PD、PE、PF可能為0的情況發生，
因此當P=B點，會有最小值是AC邊上的高

附件: 104松山家商詳解.pdf (2015-6-10 16:23, 310.55 KB) / 該附件被下載次數 8351
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2934&k=a0345c186e2ccf3dfb59b90d174ca233&t=1714741147

作者: valkyriea 時間: 2015-6-12 17:35 標題: 回復 2# wuha0914 的帖子

計算3如附圖，如有其他解法或有考慮不周之處歡迎討論

圖片附件: 123.png (2015-6-12 17:35, 23.71 KB) / 該附件被下載次數 6215
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2936&k=f17aad382adc277f68ef1e67bbd03ccb&t=1714741147

作者: thepiano 時間: 2015-6-12 20:17 標題: 回復 8# valkyriea 的帖子

微分的地方有小錯誤

作者: cefepime 時間: 2015-6-13 23:29

計算證明 3.，若欲採用微分法來解題，我的想法是:

令所求 DC = x 公里 (0 ≤ x ≤ 7)，AD = (7 - x) 公里，BD = √(x² + 25) 公里

總運費 f (x) = (7 - x) + n√(x² + 25)；題意即求在 0 ≤ x ≤ 7 範圍內，f (x) 的最小值。

f ' (x) = -1 + nx/√(x² + 25)

f ' (x) = 0 時，x = 5/√(n² -1) (唯一的駐點); 此時 f '' (x) > 0，故為極小值。

接著考慮 x 的取值範圍: 0 ≤ x ≤ 7，注意到當 n < √74/ 7，x = 5/√(n² -1) >7; 因此當 1 < n < √74/ 7，f (x) 的最小值由邊界值 f (0) 與 f (7) 中選取。這時由於 f (0) = 7 + 5n > 12，f (7) =  √74*n < 74/7 < 12，因此 f (7) 為此時的最小值。

綜上:

當 n  ≥ √74/ 7， DC =  5/√(n² -1) 公里

當 1 < n < √74/ 7， DC =  7 公里 (即 D=A)

以上的結果不知是否正確，請賜教。

作者: cefepime 時間: 2015-6-14 01:38

(續) 計算證明 3，初次解這類題目是在高中，當時物理學正教授幾何光學，因此有想過這種題目可以利用費馬原理來解。

由於光在介質中的速率與其折射率成反比，因此時間最短的光程即各介質折射率與在該介質路程乘積和的最小值。與本題比較，則"折射率"即為 1 與 n。即本題轉化為: 一光束在折射率 = 1 的介質中由 A 行進至 D，再於折射率 = n 的介質中由 D 行進至 B。若選擇 D 使該路徑符合折射的司乃耳定律 (n1sinθ1 = n2sinθ2)，則該 D 點即為所求。

不過，在用這種想法之前要注意到: 不同於"一般的折射問題"(其必存在符合司乃耳定律的路徑)，本題由於限制了入射角 = 90°，因此符合上述條件的 D 點未必存在 (即當 n 小於某值，使折射角 >∠ABC 時)，而這種情形下的 D 點即應取在A (註)。計算這個臨界 n 值: 1*1 = n*(7/ √74)，即 n = √74/7。

而在 n ≥ √74/ 7 時，令所求的 DC = x 公里，BD = √(x² + 25) 公里，則依司乃耳定律，有:

1*1 = n*(x/√(x² + 25))

得 x = 5/√(n² -1)

綜上:

當 n ≥ √74/ 7， DC = 5/√(n² -1) 公里

當 1 < n < √74/ 7， DC = 7 公里 (即 D=A)

註: 當 1 < n < √74/ 7，符合司乃耳定律的折射角 >∠ABC 時，如圖:

以 A 為中心，將 B 旋轉至"恰符合司乃耳定律"之 B' (即路徑 AB' 為理論上的折射線: 1 = n*cos∠B'AC)。因 A 在 BB' 的中垂線上，故 DB' < DB。由費馬原理，n*AB' < AD + n*DB'，從而 n*AB < AD + n*DB，因此這時的 D 點應取在A。

圖片附件: 104松山家商計算證明第3題.png (2015-6-14 06:02, 4.52 KB) / 該附件被下載次數 4949
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2937&k=5cb5c62f5730fdbb0f605a6c9edbc074&t=1714741147

作者: thepiano 時間: 2015-6-14 07:15

引用:

原帖由 cefepime 於 2015-6-13 11:29 PM 發表
當 1 < n < √74/ 7， DC = 7 公里 (即 D=A)

這樣的話，沒有走到水路，跟題目的 "可使由 A 城市經水路至 D 處，再由 D 處經公路至 B 點的總運費最小" 不合

cefepime 兄真是博學多聞

作者: valkyriea 時間: 2015-6-14 08:53 標題: 回復 9# thepiano 的帖子

忘了1/2，老是粗心真不好意思，謝謝鋼琴老師

C兄的另解真有意思，雖然有思考n倍的用處，但完全想不到如何下手，物理太差了

作者: cefepime 時間: 2015-6-14 10:13 標題: 回復 12# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的高見。

這個問題其實我有考慮過，不過思及 1. 純用微分或費馬原理解出 5/√(n² -1) 的過程，其實完全不必用到 AC = 7 公里這個條件 (或者說，無論 AC 距離為何皆為此答案)，那麼題目給出這個條件的目的為? (莫非就是想考解題者是否有想到討論特別情況? 畢竟實際生活應用上，AC必定是個確定的值，從而不一定適合於上述得到的答案); 2. 題目只說 "n 是大於1 的實數"，這使 x = 5/√(n² -1) 與 AC = 7 公里不能完全相容，1 < n < √74/ 7 時無法交代; 3. 實際應用上，是為了節省運費，如果結論是"完全不走水路最省錢"，似亦無不可行之理; 4. 類似之前在別題有高明提出的"線上的點可對該線做出垂足嗎?"的情況，有時公布的答案是否完全符合題目敘述或有疑義; 本題沒有走到水路的情形是否也可類比?

或許是自己的胡思亂想，看看學校會不會公布答案好了。

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0