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標題: 103台南一中數理暨語文資優班 [打印本頁]

作者: ycdye 時間: 2015-6-7 17:45 標題: 103台南一中數理暨語文資優班

老師們好，
想請教一下附件中台南一中數資班103年初試2題和複試3題，
煩請老師們指點，謝謝。

http://study.tnfsh.tn.edu.tw/fil ... 27-1.php?Lang=zh-tw

複選第一階段15.
設\(f(x)\)為實係數二次多項式，若\(f(x)=0\)有一根為2且\( f(f(x))=0 \)恰有一實根為4，求\(f(0)=\)？
(A)2　(B)4　(C)6　(D)8　(E)10

複選第一階段16.
一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分，面積分別為\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(R_4\)，且\(R_1>R_2>R_3>R_4\)，若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3，求\(R_1-R_2-R_3+R_4=\)？
(A)40　(B)44　(C)48　(D)52　(E)56

圓\(O\)中兩條互相垂直的弦將圓\(O\)分成四部分：\(S_1\)、\(S_2\)、\(S_3\)、\(S_4\)。若\(\overline{AB}\)和\(\overline{CD}\)的弦心距分別為3和5，則\((S_1+S_3)-(S_2+S_4)=\)　　　。
(109建功高中國中部，https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)

複選第二階段-填充題3.
如圖，有一長方形\(ABCD\)，\(\overline{AD}\)上有兩點\(G\)、\(H\)且\(\overline{AG}:\overline{GH}:\overline{HD}=3:5:7\)，\(\overline{BC}\)上有兩點\(E\)、\(F\)且\(\overline{BE}:\overline{EF}:\overline{FC}=1:1:1\)，\(\overline{AF}\)與\(\overline{BG}\)交於\(I\)、\(\overline{AE}\)與\(\overline{BG}\)交於\(J\)、\(\overline{AE}\)與\(\overline{BH}\)交於\(K\)、\(\overline{AF}\)與\(\overline{BH}\)交於\(L\)，若\(\overline{AB}=936\)、\(\overline{BC}=300\)，則四邊形\(IJKL\)的面積為何？

複選第二階段-計算證明題2.
試求\( \frac{\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{57}-\frac{1}{58}+\frac{1}{59}-\frac{1}{60}}
{\displaystyle \frac{1}{31 \cdot 60}+\frac{1}{32 \cdot 59}+\frac{1}{33 \cdot 58}+\ldots+\frac{1}{43 \cdot 48}+\frac{1}{44
\cdot 47}+\frac{1}{45 \cdot 46}}= \)？

複選第二階段-計算證明題4.
如圖，\(\overline{AC}=\overline{BC}\)，\(\overline{CD}⊥\overline{AB}\)於\(D\)，\(\overline{DE}⊥\overline{BC}\)於\(E\)，\(F\)為\(\overline{DE}\)的中點，\(\overline{AE}\)交\(\overline{CF}\)於\(H\)求證：(1)\(\Delta ABE \sim \Delta CDF\)　(2)\(\overline{CF}⊥\overline{AE}\)

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=3325&k=bbcd25d849493cd9191f77336f412d0d&t=1732294841

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作者: thepiano 時間: 2015-6-7 20:32 標題: 回復 1# ycdye 的帖子

第二部份第 2 題
分子部份
\(\begin{align}
& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{57}-\frac{1}{58}+\frac{1}{59}-\frac{1}{60} \\
& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{57}+\frac{1}{58}+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}-2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{58}+\frac{1}{60} \right) \\
& =\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+\cdots +\frac{1}{59}+\frac{1}{60} \\
& =\frac{91}{31\times 60}+\frac{91}{32\times 59}+\frac{91}{33\times 58}+\cdots +\frac{91}{45\times 46} \\
& =91\left( \frac{1}{31\times 60}+\frac{1}{32\times 59}+\frac{1}{33\times 58}+\cdots +\frac{1}{45\times 46} \right) \\
\end{align}\)

第二部份第 4 題
應是證明 △ABE 和 △CDF 相似

(1)
易知 △CDB 和 △DEB 相似
CD：BD = DE：BE
CD：(AB/2) = (2DF)：BE
CD：DF = AB：BE
又 ∠CDF = ∠ABE
故 △CDF 和 △ABE 相似

(2)
∠CFD = ∠AEB
∠CFE = ∠AEC
∠CFE + ∠AED = ∠AEC + ∠AED = 90 度
∠EHF = 90 度
CF 和 AE 垂直

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-6-7 08:44 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2015-6-7 22:29

第 16 題
一個半徑為10的圓被兩條互相垂直的直線分成四個部分，面積分別為\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(R_4\)，且\(R_1>R_2>R_3>R_4\)，若圓心到此兩條直線的距離分別為4和3，求\(R_1-R_2-R_3+R_4=\)？
(A)40　(B)44　(C)48　(D)52　(E)56
見圖
R_1 = A + B + C + R_4
R_2 = A + R_4
R_3 = B + R_4
R_1 - R_2 - R_3 + R_4 = C = 4 * 2 * 3 * 2 = 48

第一部分
第 3 題
AG = 60，GH = 100，AH = 160
BE = EF = 100，AF = 200
利用相似，可求出
△BIF 的高 = 720，面積 = 72000
△BLF 的高 = 520，面積 = 52000
△BJE 的高 = 585，面積 = 29250
△BKE 的高 = 360，面積 = 18000
IJKL = △BIF - (△BLF + △BJE - △BKE) = 8750

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作者: ycdye 時間: 2015-6-10 02:48

非常感謝thepiano老師！！
另想請問初試第15題是否有老師可以協助一下？謝謝大家~~

作者: tenlong1000 時間: 2015-6-11 13:43 標題: 選擇#15

數學15.pdf (134.06 KB) 答案有出入請參考

[ 本帖最後由 tenlong1000 於 2015-6-11 01:44 PM 編輯 ]

附件: 數學15.pdf (2015-6-11 13:44, 134.06 KB) / 該附件被下載次數 11837
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2935&k=d47df80f978a485da62dc18ca03ec181&t=1732294841

作者: 陳盈諭 時間: 2015-6-12 17:52 標題: 回復 5# tenlong1000 的帖子

我對這題的理解是

"恰有一實根為4"指的是指其中一個根為4。

你的答案，好像把它當成所有根都是4。

還是我理解錯了!!

但我也是覺得這題條件給的不夠。

我認為"領導係數不給定的話，會有無限多種可能"

可以考慮

f(x)=(x-2)(x-3) 或是 f(x)=(x-2)(2x-7)

都滿足條件，但f(0)不同。

[ 本帖最後由陳盈諭於 2015-6-12 06:42 PM 編輯 ]

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