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標題: 104嘉義高中代理 [打印本頁]

作者: natureling 時間: 2015-5-23 21:58 標題: 104嘉義高中代理

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作者: 阿光 時間: 2015-5-25 11:48

想請教多選題2和填充題4和15, 謝謝

多選題2
實係數多項式不等式\( f(x)<0 \)的整數解共有\( k \)個，其中\( k \)為正整數，則下列敘述哪些是正確的？
(1)\( f(x) \)的次數必為奇數　(2)\(f(x)\)的最高次項係數必為正數　(3)\( f(x)<100 \)的整數解至少有\(k\)個　(4)\(f(x)>100\)的整數解必有無限多個　(5)\( f(2x)<0 \)的整數解至少有\(k\)個

作者: thepiano 時間: 2015-5-25 12:34 標題: 回復 2# 阿光的帖子

填充第15題
有一個四位數\(abcd\)滿足\( \cases{a<b \cr b>c \cr c<d} \)，如1327、2656、7801，滿足以上條件的四位數共有　　個。
[解答]
跟景美那題很像
(1) a < b 且 c < d：36 * 45 = 1620 個
(2) a < b = c < d：C(10，3) - C(9，2) = 84 個
(3) a < b < c < d：C(10，4) - C(9，3) = 126 個
所求 = 1620 - 84 - 126 = 1410 個

作者: thepiano 時間: 2015-5-25 12:41 標題: 回復 2# 阿光的帖子

填充第4題
在\( \Delta ABC \)中，\(M\)為\(\overline{BC}\)邊之中點，若\(\overline{AB}=2\)，\( \overline{AC}=5 \)，且\(∠BAC=120^{\circ}\)，則\(tan∠BAM=\)　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& BC=\sqrt{39},BM=\frac{\sqrt{39}}{2},AM=\frac{\sqrt{19}}{2} \\
& \cos \angle BAM=-\frac{1}{2\sqrt{19}},\sin \angle BAM=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{19}},\tan \angle BAM=-5\sqrt{3} \\
\end{align}\)

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-25 17:20

想請教填充題6.9.12.13.14題
謝謝版上的老師。

作者: thepiano 時間: 2015-5-25 20:41 標題: 回復 5# EZWrookie 的帖子

填充第6題
在\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=10 \)，\( \overline{AC}=8 \)，\( \displaystyle cos ∠BAC=\frac{3}{8} \)。設點\(P\)、\(Q\)分別在邊\( \overline{AB} \)、\( \overline{AC} \)上使得\( \Delta APQ \)面積為\( \Delta ABC \)面積之一半，則\( \overline{PQ} \)之最小可能值為　　　。
[解答]
\(\sin \angle BAC=\frac{\sqrt{55}}{8},\Delta ABC=5\sqrt{55}\)
令\(AP=x,AQ=y\)
\(\begin{align}
& \Delta APQ=\frac{1}{2}xy\sin \angle BAC=\frac{5}{2}\sqrt{55} \\
& xy=40 \\
& P{{Q}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\cos \angle BAC \\
& ={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-30 \\
& \ge 2xy-30 \\
& =50 \\
& PQ\ge 5\sqrt{2} \\
\end{align}\)

填充第9題
已知三角形\( ABC \)的三邊長滿足\( \overline{BC}^2+\overline{CA}^2=3 \overline{AB}^2 \)，則\( sin C \)的最大值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& \cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{3{{c}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{{{c}^{2}}}{ab} \\
& \sin C=\sqrt{1-\frac{{{c}^{4}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}\le \sqrt{1-\frac{{{c}^{4}}}{{{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2} \right)}^{2}}}}=\sqrt{1-\frac{{{c}^{4}}}{\frac{9}{4}{{c}^{4}}}}=\frac{\sqrt{5}}{3} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2015-5-25 21:42

第13&14題
請參考附件

填充第13題
設\(x\)的二次方程式\( (m-2)x^2+(m^2-4m+3)x-(6m^2-2)=0 \)有實根，且此二根的立方和為0，則\( m= \)　　　。

填充第14題
將一個半徑為5公分的鐵球，放入一個邊長10公分的正方體容器，再放入另一個小鉛球，然後蓋上正方體容器的蓋子，使蓋子與正方體完全密合，則小鉛球的最大半徑為　　　公分。

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作者: pretext 時間: 2015-5-25 23:42 標題: 第13題

我也是跟鋼琴老師算法一樣
不過我有個疑問
就是a^3+b^3=0
為什麼直接是a=-b
不需要考慮a^2-ab+b^2=0嗎？

作者: 阿光 時間: 2015-5-26 09:57

請教證明第2題,謝謝

作者: thepiano 時間: 2015-5-26 12:07 標題: 回復 8# pretext 的帖子

小弟本也想考慮\({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}=0\)
但要解四次方程，還要處理判別式(四次不等式)，就打退堂鼓了
用電腦檢驗的結果，只有m=3這個答案

作者: cuhi 時間: 2015-5-26 13:19 標題: 回復 9# 阿光的帖子

證明第2題
三角形\( ABC \)中，\( \overline{BC}=a \),\( \overline{CA}=b \),\( \overline{AB}=c \)，三邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{CA} \)、\( \overline{AB} \)上的中點各別為\(D\)、\(E\)、\(F\)，令\( \overline{AD}=m_a \)，\( \overline{BE}=m_b \)，\( \overline{CF}=m_c \)，證明：\( \displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge \frac{2}{\sqrt{3}}(am_a+bm_b+cm_c) \)。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-9-10 08:25 PM 編輯 ]

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作者: smileplus 時間: 2015-6-2 23:39 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

a^2-ab+b^2=0
a、b皆為實數
若以a為主，考慮判別式
則為(-b)^2-4b^2=-3b^2<0
所以a不為實根，不合

[ 本帖最後由 smileplus 於 2015-6-2 11:47 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2015-6-3 08:34 標題: 回復 12# smileplus 的帖子

沒想到要這樣做，感謝指導

作者: tsusy 時間: 2015-6-3 19:25 標題: 回復 12# smileplus 的帖子

引用:

原帖由 smileplus 於 2015-6-2 11:39 PM 發表
a^2-ab+b^2=0
a、b皆為實數
若以a為主，考慮判別式
則為(-b)^2-4b^2=-3b^2

填充 13. 這我也有想到，但沒有 a、b 皆為實數這件事

原題只說 x 的二次方程式有實根，並沒有說到二實根或二根皆為實根。

複係數的二次方程式，是有可能一實根一虛根的

作者: smileplus 時間: 2015-6-3 21:02 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

對耶，是我疏忽了，謝謝提醒
所以，還要考慮m為複數的時候
不好處理了

作者: thepiano 時間: 2015-6-3 22:01 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

查了一下，這題是 97 年能力競賽高屏區的題目，當年給的解答也是含混帶過

要找到一實根一虛根，立方和為 0，且要使該複係數方程式成立，應該很難

所以小弟認為題目應是少了"實係數方程式"這幾個字

作者: g112 時間: 2015-6-18 00:16

想請問一下第10題
滿足條件的有
(3,4)--->2次
(3,3,1)--->3次*2=6次
(3,2,2)--->3次
(3,2,1,1)--->6次
(3,1,1,1,1)--->5次

總共22次,還少6次

作者: stanley30203 時間: 2015-6-18 13:42 標題: 回復 17# g112 的帖子

(3,2,1,1) → 12次

作者: g112 時間: 2015-6-18 22:26

引用:

原帖由 stanley30203 於 2015-6-18 01:42 PM 發表
(3,2,1,1) → 12次

問了個白癡問題,腦殘計算錯了@@

作者: martinofncku 時間: 2015-9-10 00:25

請問老師二、7 我的做法, 是那邊錯了呢‧....................

填充第7題
一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有三份，活動直到三份獎品都被抽中為止。則在排第四位的人可以抽獎的情況下，排第五位的人可以抽獎的條件機率為　　　。

圖片附件: 09092015.png (2015-9-10 00:25, 12.48 KB) / 該附件被下載次數 5018
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3075&k=aee7a8aa2548af8b8db3f13f334d1f4e&t=1732309428

作者: superlori 時間: 2015-9-10 08:36 標題: 回復 20# martinofncku 的帖子

P(B│A)的公式就錯了.....

作者: martinofncku 時間: 2015-9-10 09:43 標題: 回復 21# superlori 的帖子

謝謝老師，不過，我只是把 P(A) 打錯成 P(B), 問題還是存在.......

作者: superlori 時間: 2015-9-10 11:06 標題: 回復 22# martinofncku 的帖子

你的(A交集B)算錯了
我自己是這樣算

(1) 前四人均沒中 4個X                C(4,0)*(1/2)^4
(2) 前四人1人中    3個X,1個O       C(4,1)*(1/2)^4
(3) 前四人2人中    2個X,2個O       C(4,2)*(1/2)^4

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