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標題: 104木柵高工 [打印本頁]

作者: rueichi 時間: 2015-5-19 00:10 標題: 104木柵高工

填充：
密碼鎖三碼，分別由1,2,3組成，數字可重複，且有順序性，
若猜中兩個數字對且位子也對即可打開(EX:密碼(1,2,3)，猜(1,1,3)可打開，猜(3,1,1)不可打開)
則最少要猜幾次方能保證打開？

我的想法是選兩個位子各猜1.2.3，9種可能中必能打開，不過印象中好像可以更少?

附計算證明
1.(1)玩家與電腦玩猜拳，電腦出剪刀石頭布的機率皆為1/3，某人出剪刀石頭布的比例為3:2:5，求某人第一次就猜贏的機率為？
(2)玩家與電腦玩猜拳，電腦出剪刀石頭布的機率皆為1/3，某人出剪刀石頭布的比例為a:b:c，求某人第一次就猜贏的機率為？(可用a.b.c表達)

不知道有什麼思考錯誤，這題不是不管如何，反正只要電腦出拳機率為1/3，那第一次猜贏的機率恆為1/3嗎?

2 .1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+......+1/39-1/40=b/a
若某質數P可整除b，則P為?(寫出一個即可)並證明之

個人覺得題目出錯了，沒寫(a,b)=1，因為可擴分，這樣會有無限多的質數可整除b
另外想請問這題實際該如何做?
我寫到1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+......+1/39-1/40=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+......+1/39+1/40)-2(1/2+1/4+1/6+...+1/40)=1/21+1/22+1/23+1/24+1/25+......+1/39+1/40
然後就不會了

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2863&k=a71a3b50c4a708f0ce9a9f4b4353f530&t=1732258496

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2864&k=1a29d9eb35c1bba9aa5e4e5fcf2233d1&t=1732258496

作者: tsusy 時間: 2015-5-19 00:42 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

填充密碼鎖：亂構造出 5 次：(1,1,1), (2,2,2), (3,3,2) (2,3,3), (3,2,3)
說明：每組數字可開 7 組不同的密碼，而全部可能的密碼有27，因此至少要四次以上才有可能保證必定能開。

如果猜四組數字，有鴿籠原理可得必可找到其中兩組首位數字相同。而這兩組數字，可開的密碼會有重疊，分析可得這兩組數字至多開 12 個密碼。

再加上另兩組數字，可以的密碼，可得四組數字可開的密碼數不超過 26。

故四組數字時，必存在至少一組無法開啟的密碼

作者: thepiano 時間: 2015-5-19 07:31 標題: 回復 1# rueichi 的帖子

計算第 1 題
兩小題的答案都是\(\frac{1}{3}\)

計算第 2 題
的確要說明 a 和 b 互質，不然 P 可以是任意質數
做到\( \displaystyle \frac{1}{21}+\frac{1}{22}+\frac{1}{23}+\cdots +\frac{1}{40}\)後，就頭尾相加
易知 P 可為 61

作者: rueichi 時間: 2015-5-19 09:12 標題: 回復 2# tsusy 的帖子

原來是這樣!太漂亮了!
考完後有跑去查資料，都不甚理解，
看到寸絲老師簡單明瞭的解答終於懂了!
謝謝寸絲老師，學到寶貴的一課^_^

作者: rueichi 時間: 2015-5-19 09:15 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師

我考試的時候也有想到前後項相加，只是那時加完腦筋秀逗，沒看出關係，
現在終於豁然開朗了~

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-19 10:28 標題: 104木柵高工填充題 2題

1. P 為正三角形ABC 的內部一點，且PA=4, PB=6, PC=28^(1/2) 求正三角形ABC的邊長為多少?

2.若a為實數，且對於所有的x皆滿足 \( \displaystyle \bigg|\frac{x^2+ax+3}{x^2+x+2}\bigg|<2\) 求a的範圍

想請教這兩題謝謝

作者: rueichi 時間: 2015-5-19 12:12 標題: 回復 6#

原來直接做就可以了
想太多了
把錯的答案刪了
怕誤導大家

作者: thepiano 時間: 2015-5-19 12:18 標題: 回復 6# EZWrookie 的帖子

第1題
固定B點，旋轉三角形ABP，讓AB和CB重合
再利用餘弦定理可求出\(BC=2\sqrt{19}\)

第2題
\(\begin{align}
& \left| \frac{{{x}^{2}}+ax+3}{{{x}^{2}}+x+2} \right|<2 \\
& -2<\frac{{{x}^{2}}+ax+3}{{{x}^{2}}+x+2}<2 \\
& {{x}^{2}}+x+2>0 \\
& -2{{x}^{2}}-2x-4<{{x}^{2}}+ax+3<2{{x}^{2}}+2x+4 \\
& \\
& {{x}^{2}}+ax+3<2{{x}^{2}}+2x+4 \\
& {{x}^{2}}+\left( 2-a \right)x+1>0 \\
& {{\left( 2-a \right)}^{2}}-4<0 \\
& 0<a<4 \\
\end{align}\)
另一邊比照辦理
所求為\(0<a<4\)

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-19 13:14 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的解答
但第一題旋轉後利用餘弦定理這邊不太清楚。
假設選轉後的p點為\(P_1\)，那我有的角度是\(<PBP_1=60度\) 要怎麼求BC長呢

麻煩老師了

作者: wrty2451 時間: 2015-5-19 13:46 標題: 回復 9# EZWrookie 的帖子

旋轉60度解法

補面積解法

暴力解法(在考場壓力下沒多少人會這樣做吧...)

相關例題可以參考B大的筆記XD
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=1#pid3050

圖片附件: 42574.jpg (2015-5-19 13:46, 46.92 KB) / 該附件被下載次數 8923
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2856&k=ad616b53850bbdbfbdef62c7ad54cb23&t=1732258496

圖片附件: 42830.jpg (2015-5-19 15:08, 57.96 KB) / 該附件被下載次數 9119
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2857&k=c3c6b3ba097268aaa07825dd32553395&t=1732258496

圖片附件: 44848.jpg (2015-5-20 16:59, 49.82 KB) / 該附件被下載次數 8870
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2862&k=f17af45084fc57a02d4b8f76c56061a9&t=1732258496

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-19 14:47 標題: 回復 10# wrty2451 的帖子

謝謝冠老師撥冗回答。

作者: Superconan 時間: 2015-5-20 16:35

104學年度第1次教師甄試初試試題（數學科）.pdf
104學年度第1次教師甄試初試試題解答（數學科）.pdf

104.5.20版主補充
我將題目和解答移到第一篇去

作者: bugmens 時間: 2015-5-20 17:17

1.
《天地明察》是有關和算家澀川春海的傳記故事，也納入澀川春海與同時代日本算聖關孝和的競爭，將數學知識活動，譬如解題與出題等對話，極為成功地融入故事情節之中。下圖是該小說裡一道數學題目的插圖：
在一勾九寸、股十二寸的直角三角形內，有兩個直徑相同的圓，彼此相切，與邊也相切，如上圖所示。試求這兩個相同圓的半徑為　　　。
(102台北市國中聯招，http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 46&t=3043#p9287)
(103新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1913&page=1#pid10879)

洪萬生教授所寫的文章"《天地明察》：和算家澀川春海的數學故事漫畫"
連結已失效h ttp://museum.math.ntnu.edu.tw/fulltext/552_20121110173327.pdf
連結已失效h ttp://museum.math.ntnu.edu.tw/view.php?menuID=85

2.
設\( a \)為實數，若對於所有實數\( x \)，\( \displaystyle \bigg|\frac{x^2+ax+3}{x^2+x+2}\bigg|<2 \)恆成立，則\( a \)的範圍為　　　。
(102筆試二，臺灣師大大學部申請入學，http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)

8.
若\( \cases{a+b+c=1 \cr a^2+b^2+c^2=2 \cr a^3+b^3+c^3=3} \)，則\( a^4+b^4+c^4= \)　　　。
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)

計算證明二
設\( a,b \)為正整數且\( \displaystyle \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{39}-\frac{1}{40}=\frac{b}{a}. \)若有一質數\( P \)可整除\( b \)，則\( P \)可以為何(寫出一個即可)？並證明之。

If \( p \) and \( q \) are natural numbers so that:\( \displaystyle \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319} \),Prove that \( p \) is divisible by 1979.
(1979IMO，http://artofproblemsolving.com/community/c3806_1979_imo)
當初IMO題目也沒有分子分母要互質的條件

作者: jackyxul4 時間: 2015-5-20 20:12

填充題詳解

話說這明明有印到證明題的答案，怎不全部公布出來呢?

附件: 104木柵高工詳解.pdf (2015-5-20 20:12, 586.1 KB) / 該附件被下載次數 8123
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2865&k=882cc3363761e96d318c7e0cd81a69f2&t=1732258496

作者: larson 時間: 2015-5-22 16:41 標題: 計算2

如圖，分子為61的倍數

圖片附件: 1.png (2015-5-22 16:41, 19.27 KB) / 該附件被下載次數 5330
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2870&k=a59bc6e65fad5300d2ad9bf528829937&t=1732258496

作者: thepiano 時間: 2015-5-23 06:54 標題: 回復 15# larson 的帖子

分子的質因數分解
3637485804655193 = 61 * 757 * 3217 * 24486377

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