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標題: 104全國聯招 [打印本頁]

作者: johncai 時間: 2015-5-9 14:14 標題: 104全國聯招

雖然沒考到
還是放上來討論一下^^

2015.05.14 weiye 註：官方公告疑義申複結果，填充題第 3 題「1235」或「無解」均給分

113.5.13補充
設\(a\in R\)，若\( a+log_2 3 \)，\( a+log_4 3 \)，\( a+log_8 3 \)是等比數列，求此等比數列的公比為　　　。
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=952&page=1#pid2527

附件: 104全國聯招.pdf (2015-5-10 20:35, 406.88 KB) / 該附件被下載次數 16600
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2836&k=cf23929d9f5d4ffc41638a14c80c4159&t=1732280906

附件: 104全國聯招試題疑義.pdf (2015-5-26 07:39, 395.47 KB) / 該附件被下載次數 13526
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2892&k=eef4b4b223cf874b9805739f5003e657&t=1732280906

作者: Ellipse 時間: 2015-5-9 18:19

引用:

原帖由 johncai 於 2015-5-9 02:14 PM 發表
雖然沒考到
還是放上來討論一下^^

填2:  (秒殺題)
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}=\)　　　。
[解答]
原式=∫ {0 to 1}  (1-x^2)^0.5 dx
所求=半徑1的圓面積*(1/4)
=Pi/4

計算1 :
(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)由(1)之結果，證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3 \of{abc}\)。
(3)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)且\(a+b+c=18\)，由(2)之結果，試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時之\(a\)，\(b\)，\(c\)之值。
[解答]
(1)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
法1:行列式法
參考10樓
(2)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
所以a^3+b^3+c^3>=3abc
(a^3+b^3+c^3)/3>=abc----------(*)
令A=a^3 ,B=b^3 ,C=c^3 代入(*)
(3) [(a+1)+(b+2)+(c+3)]/3 >=[(a+1)(b+2)(c+3)]^(1/3)
  .....

計算2:
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\)，\(∠C=\)？
[提示]
考古題(97中一中)
角C=(180度-54度)/3 =42度

計算3:
若\(x\)、\(y\)、\(z\)都是正數且滿足\(\displaystyle x+\frac{1}{y}=4\)，\(\displaystyle y+\frac{1}{z}=1\)，\(\displaystyle z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3}\)，求\(xyz\)的值？
[解答]
x+1/y=4------------(1)
y+1/z=1------------(2)
z+1/x=7/3---------(3)
(1)*(2)*(3)
(x+1/y)(y+1/z)(z+1/x)=xyz+1/(xyz)+x+1/y+y+1/z+z+1/x=28/3
[令t=xyz]
t+1/t+4+1+7/3=28/3
解得t=xyz=1

作者: jyi 時間: 2015-5-9 19:58

計算第一題(3)應該找最大值才對吧!

作者: jyi 時間: 2015-5-9 20:03

計算第一題(3)Ellipse大的算法應該求到最大值！不知道我有沒有弄錯，請指正！

作者: wuha0914 時間: 2015-5-9 20:19

多選第一題的A
貫軸跟共軛軸互換
不是
X=0→Y=0
Y=0→X=0
還是說他是問貫軸長跟共軛軸長?

已解決
原來貫軸長=貫軸
只是常看到的都是XX軸長
使我自己造成名詞的混淆了

作者: Ellipse 時間: 2015-5-9 20:39

引用:

原帖由 jyi 於 2015-5-9 08:03 PM 發表
計算第一題(3)Ellipse大的算法應該求到最大值！不知道我有沒有弄錯，請指正！

Sorry,剛沒注意看.題目應該打錯了~
由(2)的結果是算最大值=512, 此時a =7, b= 6, c=5

此題無最小值~

作者: arend 時間: 2015-5-9 20:41

單選好難
請教(1)(3) (7)(8)
謝謝

作者: tsusy 時間: 2015-5-9 20:42 標題: 回復 4# jyi 的帖子

(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)由(1)之結果，證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3\of{abc}\)。
(3)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)且\(a+b+c=18\)，由(2)之結果，試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時
之\(a,b,c\)之值。
[解答]
計算1(3) 沒錯，你是對的。題目出錯了，我來負責這個錯的題目

因 \( a>0, b>0 \)，所以有
\( (a+1)(b+2) = ab + 2a + b + 2 > a+b+2 \)

同樣的 \( a,b,c > 0 \) 也有
\( (a+b+2)(c+3) = ac + bc + 2c + 3a +3b +6 > 2a + 2b +2c + 6 = 42 \)

故 \( (a+1)(b+2)(c+3) > 42 \)

取 \( a=b, c = 18-2a \)，當 \( a \to 0 \) 時，\( (a+1)(b+2)(c+3) \to 2\cdot 21 =42 \)

由以上兩式，知 42 為最大小界，且 \( (a+1)(b+2)(c+3) \) 恆大於 42

故在此限制條件下，\( (a+1)(b+2)(c+3) \) 無最小值

作者: thepiano 時間: 2015-5-9 21:06 標題: 回復 7# arend 的帖子

單選第1題
設\(a_n=\sqrt{1\times 2}+\sqrt{2 \times 3}+\ldots+\sqrt{n(n+1)}\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n^2}\)之值為(A)0　(B)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(C)1　(D)\(\displaystyle \frac{3}{2}\)
[提示]
\(1+2+3+\cdots +n<{{a}_{n}}<2+3+4+\cdots +\left( n+1 \right)\)

作者: Ellipse 時間: 2015-5-9 21:07

計算1-(1)
試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
[解答]
法1:行列式法
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left|\ \matrix{a&c&b\cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=\left|\ \matrix{a+b+c&a+b+c&a+b+c \cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=(a+b+c)\left|\ \matrix{1&1&1\cr b&a&c\cr c&b&a} \right|\)
\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

作者: Home 時間: 2015-5-9 21:08 標題: 回復 7# arend 的帖子

當下沒有想出來，一放鬆好多題幾乎一看都會做了XD
果然不是考試型的

選擇1是否可以看成 Sigma 1/n 根號(k/n * k+1/n) = 積分 0~1 根號(x^2) = 1/2

選擇3 用角平分線先比出AD= 2/5 AB + 3/5 AC 伸縮K倍後 dot AB 即可算出K

作者: wuha0914 時間: 2015-5-9 21:10

今年感覺題目不難
可是好像多了點做不太完
請問其他老師有這個困擾嗎？

作者: Ellipse 時間: 2015-5-9 21:28

引用:

原帖由 wuha0914 於 2015-5-9 09:10 PM 發表
今年感覺題目不難
可是好像多了點做不太完
請問其他老師有這個困擾嗎？

還是有些秒殺題~多練題可提高解題速度~
像是單6
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，若\(a_1=1\)且\(\forall n \in N\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{3}a_n+2\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)的值為(A)\(-3\)　(B)\(\displaystyle -\frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(D)3
[解答]
令所求為K
解K=(1/3)K+2
得K=3 ,秒殺

作者: Ellipse 時間: 2015-5-9 21:48

引用:

原帖由 Home 於 2015-5-9 09:08 PM 發表
當下沒有想出來，一放鬆好多題幾乎一看都會做了XD
果然不是考試型的

選擇1是否可以看成 Sigma 1/n 根號(k/n * k+1/n) = 積分 0~1 根號(x^2) = 1/2

應該不是~此題用夾擠定理~

作者: Ellipse 時間: 2015-5-9 22:06

引用:

原帖由 arend 於 2015-5-9 08:41 PM 發表
單選好難
請教(1)(3) (7)(8)
謝謝

單(8)
\(\Delta ABC\)中，\(D\)為\(\overline{BC}\)上一點，設\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)分別為\(\Delta ABD\)、\(\Delta ACD\)、\(\Delta ABC\)的外接圓半徑，若\(R_1:R_2:R_3=1:2:3\)，則\(\overline{AB}:\overline{AD}:\overline{AC}=\)？(A)\(1:2:3\)　(B)\(3:1:2\)　(C)\(2:3:6\)　(D)\(3:2:6\)
[解答]
令AB=a ,AC=b ,AD=d
由正弦定理
d/sinB=2R_1=(令)t>0
d/sinC=2R_2=(令)2t
得d=t*sinB=2t*sinC------------(1)
又a/sinC=b/sinB=2R_3=(令)3t
得a=3t*sinC,b=3t*sinB---------(2)
由(1)&(2)可知a=(3/2)d ,b=3d
a:d:b=(3/2):1:3=3:2:6

作者: arend 時間: 2015-5-9 22:32 標題: 回復 15# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse老師,我做到一半,剩下幾分鐘就沒再想了,回家用別的發法也沒做出

作者: thepiano 時間: 2015-5-9 22:38 標題: 回復 7# arend 的帖子

單選第 7 題
小明口袋裡有2個白球，大華口袋裡有3個紅球，現在兩人自口袋裡隨機取一個球和對方交換，求交換三次後，小明口袋裡有1白球1紅球的機率為(A)\(\displaystyle \frac{17}{36}\)　(B)\(\displaystyle \frac{19}{36}\)　(C)\(\displaystyle \frac{23}{36}\)　(D)\(\displaystyle \frac{25}{36}\)
[解答]
用馬可夫鏈可做，但小弟懶得寫交換矩陣，交換三次而已，直接做

第一次交換後，小明必為一白一紅，大華必為一白二紅
第二次和第三次交換後，小明仍為一白一紅的情形有
(第二次小明拿出，第二次大華拿出)、(第三次小明拿出，第三次大華拿出)
(白，白)、(白，白)：機率 (1/2)(1/3)(1/2)(1/3) = 1/36
(白，白)、(紅，紅)：機率 (1/2)(1/3)(1/2)(2/3) = 2/36
(白，紅)、(紅，白)：機率 (1/2)(2/3)(1)(2/3) = 8/36
(紅，白)、(白，紅)：機率 (1/2)(1/3)(1)(1) = 6/36
(紅，紅)、(白，白)：機率 (1/2)(2/3)(1/2)(1/3) = 2/36
(紅，紅)、(紅，紅)：機率 (1/2)(2/3)(1/2)(2/3) = 4/36
加起來是 23/36

作者: terry90618 時間: 2015-5-10 13:00 標題: 回復 2# Ellipse 的帖子

請教一下計算2
我有算到a^2=c(b+c) 參考97中一中
但他直接下結論角A=2倍角C
這裡我不懂~~
是用兩倍角推的嗎??

作者: tsusy 時間: 2015-5-10 14:56 標題: 回復 18# terry90618 的帖子

計算2.
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\)，\(∠B=54^{\circ}\)，則\(∠C=\)？
相關考古題

100南科實中 \( \triangle ABC \) 中，若 \( (\overline{AB}+\overline{AC})(\overline{AB}-\overline{AC})=\overline{AB}\times\overline{BC} \)，\( \angle BAC=63^{\circ} \)，求 \( \angle ABC \)。
解答見 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1153&page=1#pid3711

97台中一中 \( \triangle ABC \) 中，已知 \( (\overline{AC}+\overline{AB})\cdot(\overline{AC}-\overline{AB})=\overline{AB}\cdot\overline{BC} \) 且 \( \angle BAC=75^{\circ} \)，求 \( \angle ABC \)。

100卓蘭實中、98嘉義高中已知 \( \triangle ABC \) 中最大角 \( \angle A \) 是最小角 \( \angle B \) 的 2 倍，且三邊長為連續的自然數，求 \( \triangle ABC \) 的三邊長。

100嘉義縣聯招今有一三角形，其三邊長為連續整數且有一角另之兩倍。求此三角三邊長。

作者: wrty2451 時間: 2015-5-10 15:15 標題: 回復 10# Ellipse 的帖子

原來可以這樣記，感謝橢圓兄分享，我記憶力不太好，每次遇到都要現場導一次浪費時間～
應該大家都是這樣做的：
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc\)
                           \(=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b)-3abc\)
                           \(=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)\)
                           \(=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3ac-3bc-3ab]\)
                           \(=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca]\)

作者: jackyxul4 時間: 2015-5-10 18:10

一樣，有答案的題目的詳解

又是一份考完才想到怎麼寫的題目

早知道就去考雄中複試了....

更新第9題、填充8

附件: 104全國聯招詳解.pdf (2015-5-11 09:38, 731.73 KB) / 該附件被下載次數 8804
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2839&k=ba1cb886855edd81b83b8ba776d9e81e&t=1732280906

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-10 19:27 標題: 回復 21# jackyxul4 的帖子

信哥老師好
想請教綜合題第四題，要如何看出所求是平行四邊形面積與sin、cos值得乘積呢?
這部分想不明白。

作者: jackyxul4 時間: 2015-5-10 19:45 標題: 回復 22# EZWrookie 的帖子

向量的加法性質，把OP拆成兩個向量的組合
sin跟cos只是障眼法

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-10 20:00 標題: 回復 23# jackyxul4 的帖子

阿! 懂了。
謝謝信哥老師的講解及無私的分享詳解。

作者: arend 時間: 2015-5-11 01:46 標題: 回復 21# jackyxul4 的帖子

可否說明一下填充6的想法
我在考時誤解為旁邊上下左右4個都可以
謝謝

作者: iammark 時間: 2015-5-11 03:28 標題: 填充8怪怪的

信哥老師您好
填充8怪怪的

作者: thepiano 時間: 2015-5-11 08:07 標題: 回復 26# iammark 的帖子

應是
\(\begin{align}
& {{\overline{{{G}_{1}}{{G}_{3}}}}^{2}}\text{=}\frac{1}{6}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+\frac{\sqrt{3}}{3}bc\sin A \\
& =\frac{1}{6}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+\frac{2\sqrt{3}}{3}\Delta ABC \\
& =\frac{1}{6}\left( 21+27+3 \right)+\frac{2\sqrt{3}}{3}\times \frac{9\sqrt{3}}{4} \\
& =13 \\
\end{align}\)

作者: larson 時間: 2015-5-11 09:12 標題: 長除法解計算一

如圖

圖片附件: 長除法.png (2015-5-11 09:15, 11.71 KB) / 該附件被下載次數 4752
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2842&k=0fd3a18ca4103af71f05dd97f85ccc19&t=1732280906

作者: jackyxul4 時間: 2015-5-11 09:36 標題: 回復 27# thepiano 的帖子

的確如此，這邊證明是直接抄自己之前寫的題目，好像是101年的南科實中

原來當時就寫錯了= ="

作者: jackyxul4 時間: 2015-5-11 09:38 標題: 回復 25# arend 的帖子

橫列中有6種狀況是有獎金的，分別是(1,6)(5,9)(4,8)(6,2)(9,7)(8,3)
計算期望值把這些數字加起來就是分子，1~9都出現至少一次，6、9、8出現兩次，所以計算為45+6+9+8 ；同理直行6種情況，計算為45+5+9+7

作者: Ellipse 時間: 2015-5-11 11:04

引用:

原帖由 larson 於 2015-5-11 09:12 AM 發表
如圖

這裡要先說明一下
含有x+y+z的因式
才用x+y+z去除

作者: arend 時間: 2015-5-11 20:54 標題: 回復 30# jackyxul4 的帖子

謝謝
是我會錯意了

作者: idontnow90 時間: 2015-5-12 22:04

想請教計算2...我參考了考古題的作法..但是仍有疑惑
還請知道的老師不吝指教..謝謝~~

圖片附件: 11256274_10206998621548454_1734007112_o.jpg (2015-5-12 22:04, 152.53 KB) / 該附件被下載次數 6217
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2846&k=7bde651fbbca8669a4067de31bdf09cd&t=1732280906

作者: thepiano 時間: 2015-5-12 22:44 標題: 回復 33# idontnow90 的帖子

參考一下小弟的做法
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3737

作者: Callmeluluz 時間: 2015-5-13 01:39 標題: 回復 33# idontnow90 的帖子

你的第二行有問題
如果AB/BC=PQ/OR
並不代表三角形ABC相似三角形PQR
必須還要再加上角B=角Q
你才能說三角形ABC相似三角形PQR

第二件事是你的圖有些許的誤差
BC^2-AB^2=AB*AC>0
所以BC>AB

有錯請指證感謝

作者: larson 時間: 2015-5-14 15:28 標題: 填充題第三題1235或無解均得分

h ttp://210.70.75.12/S02_Publish_Attachment/d7743833-c7a6-4fb2-9f6b-4a9b597407e7/104-2%E7%AD%86%E8%A9%A6%E8%A9%A6%E9%A1%8C%E7%96%91%E7%BE%A91040511.pdf　連結已失效

作者: tuhunger 時間: 2015-5-15 00:40 標題: 回復 13# Ellipse 的帖子

單選6 不用算,用看的
很容易看出第n項>2....
選項只有(D)的答案比2大

作者: gilion2001 時間: 2015-5-16 00:31 標題: 回復 33# idontnow90 的帖子

您好，提供您參考！謝謝您！敬祝喜悅自在順心安康

圖片附件: 104全國高中教甄數學005(計算證明2).jpg (2015-5-16 00:31, 112.93 KB) / 該附件被下載次數 4943
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2851&k=aefe76d3757c0f546113d952952a581c&t=1732280906

作者: grace 時間: 2015-6-9 13:24 標題: 填充3

不好意思..請問為何填充3寫"無解"會給分呢?
看了信哥老師提供的詳解，確實可以算出1235呀!
請各位老師可否提點一下呢?
謝謝大家~

作者: pretext 時間: 2015-6-9 13:32 標題: 回復 39# grace 的帖子

因為第二行填到38

作者: grace 時間: 2015-6-9 14:40 標題: 回復 40# pretext 的帖子

阿!所以題目的38改成34就對了嗎?
阿...抱歉..沒有注意到這件事...
謝謝pretext老師了!!

作者: tenlong1000 時間: 2020-11-27 09:49 標題: 104-全國高中教師聯招(詳解整理)

104-全國高中教師聯招詳解整理

附件: 104-全國高中教師聯招(詳解整理).pdf (2020-11-27 09:49, 212.57 KB) / 該附件被下載次數 4954
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5694&k=50372a837cf3dfdd877e4df5e103fb93&t=1732280906

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