標題: 104鳳山高中 [打印本頁]

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作者: tzhau    時間: 2015-5-3 15:03     標題: 104鳳山高中

如附件

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作者: 瓜農自足    時間: 2015-5-3 15:31     標題: 回復 1# tzhau 的帖子

想請教#3  #13

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作者: bugmens    時間: 2015-5-3 15:35

2.
坐標平面上，不等式\( |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y |\; \le 2 \)所圍成之區域面積為　　　。

滿足\(  |\; x |\;+|\; y |\;+|\; x+y-1 |\; = 1 \)的所有點\( (x,y) \)在坐標平面上所形成的區域面積為　　　。
(102松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8768)


9.
設\( P(x,y) \)為雙曲線\( 9x^2-16y^2=144 \)上一點，且\( P \)點在第一象限內，則\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\sqrt{x \vert\; 3x-4y \vert\;}= \)　　　。
(高中數學101第67單元　雙曲線(一)定義與標準式的演練題第6題)


13.
若三次方程式\( x^3-x^2+2x-3=0 \)的三個根分別為\( a,b,c \)，則\( \displaystyle \frac{a^3}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}+\frac{b^3}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}+\frac{c^3}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}= \)　　　。

設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
(102中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1576&page=1#pid7884)


15.
已知實數\( x,y,a,b \)滿足\( \cases{ax+by=1 \cr ax^2+by^2=2 \cr ax^3+by^3=8 \cr ax^5+by^5=100} \)，則\( ax^4+by^4= \)　　　。
類題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495
PTT數學版網友XII提供的速解法
設\( ax^4+by^4=x \)
計算\( \Bigg\vert\; \matrix{1 & 2 & 8 \cr 2 & 8 & x \cr 8 & x &100} \Bigg\vert\;=0 \)，求\( x \)

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作者: tzhau    時間: 2015-5-3 15:37     標題: 3、13.

第3題我算3-根號3，利用座標化找出直線方程式算的，第13我算-2，不曉得正不正確

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作者: tsusy    時間: 2015-5-3 20:11     標題: 回復 4# tzhau 的帖子

13 我也算 -2

根與係數有
\( a^2 +b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 1^2 -4 = -3 \Rightarrow b^2 + c^2 = -3 -a^2 \)

\( x=a^2, b^2, c^2 \) 時下式左式之值皆為 1，又為二次以下多項式，故

\( \displaystyle \frac{(x-b^{2})(x-c^{2})}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{(x-a^{2})(x-c^{2})}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{(x-a^{2})(x-b^{2})}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})}=1 \)

因此 \( \displaystyle \frac{3+a^{2}}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{3+b^{2}}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{3+c^{2}}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})}=0=\frac{1}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{1}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{1}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})} \)
(平方項及一次項係數)

再用 \( a^3 = a^2 - 2a +3 \), (b, c 亦同) 化簡所求 \( = \displaystyle \frac{-2a}{(a^{2}-b^{2})(a^{2}-c^{2})}+\frac{-2b}{(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})}+\frac{-2c}{(c^{2}-a^{2})(c^{2}-b^{2})} = 2\frac{ab^{2}-ac^{2}-ba^{2}+bc^{2}+ca^{2}-cb^{2}}{(a-b)(b-c)(c-a)(1-c)(1-b)(1-a)} \)

其中 \( (a-b)(b-c)(c-a) = ab^2 - ac^2 - ba^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2 \)，故所求 \( = \displaystyle \frac{2}{(1-c)(1-b)(1-a)} \)

分母之值為原三次多項式以 \( x=1 \) 代入，故得 \( \frac{2}{-1} = -2 \)

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作者: thepiano    時間: 2015-5-3 20:44     標題: 回復 5# tsusy 的帖子

第 3 題
小弟是算\(\frac{7+5\sqrt{3}}{13}\)

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作者: wuha0914    時間: 2015-5-3 21:42

想請問第7題
算紅球一直小於白球的總數
Catalan number 有組合的解釋方法嗎
因為一直不懂那個數字代表的涵義
網路上大多只有結論

第15題的速解法原理是?
所以有兩個解?
我用速解方法解類題似乎無法得到答案

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作者: leo790124    時間: 2015-5-3 21:44

請問  7  ,12 , 16  謝謝

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作者: leo790124    時間: 2015-5-3 21:46     標題: 回復 7# wuha0914 的帖子

15 提的另外一個解代回時會讓x y 沒有實數解  所以 那個解不合!!!!
我考試時也是用速解法  疑惑了許久!!!
不知道對不對

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作者: wuha0914    時間: 2015-5-3 21:53     標題: 回復 9# leo790124 的帖子

恩  我是用基本類推  帶入消去反覆得到答案的
只是覺得速解有點神乎奇技
想了解其思考的方向

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作者: farmer    時間: 2015-5-3 22:10

引用:

原帖由 leo790124 於 2015-5-3 09:46 PM 發表
15 提的另外一個解代回時會讓x y 沒有實數解  所以 那個解不合!!!!
我考試時也是用速解法  疑惑了許久!!!
不知道對不對

哪一個解會讓 x,y 沒有實數解?

速解法就是利用行列式的三列都滿足相同的遞回式，
運用行列式的運算可讓第三行全部為0

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作者: leo790124    時間: 2015-5-3 22:27     標題: 回復 11# farmer 的帖子

如果所求等於4 的話  會得到x+y= -3  xy=14  代入消去 y 就沒有實數解!!!
考場算的  有錯請指正謝謝

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作者: farmer    時間: 2015-5-3 22:31

引用:

原帖由 leo790124 於 2015-5-3 10:27 PM 發表
如果所求等於4 的話  會得到x+y= -3  xy=14  代入消去 y 就沒有實數解!!!
考場算的  有錯請指正謝謝

所求為4的話，x,y會滿足 x^2=-3x+14，
因此 x+y=-3 沒錯，但xy應為 -14 而不是14，
所以還是有兩實根。

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作者: leo790124    時間: 2015-5-3 22:38     標題: 回復 13# farmer 的帖子

已發現!!!!謝謝!!!!!

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作者: Ellipse    時間: 2015-5-4 11:04

填 13另解 :行列式解法~

圖片附件: 2015-05-04 11.02.44.jpg (2015-5-4 11:04, 772.17 KB) / 該附件被下載次數 5758
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作者: jackyxul4    時間: 2015-5-4 14:23

再傳一次，填充題的答案，沒成功的話就自己去學校下載了
連結已失效，h ttp://www.fssh.khc.edu.tw/news.asp?ItemID=5536


版主補充
附件有2mb的大小限制
只有站長有權限上傳2mb以上的附件
請耐心等候站長處理

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作者: weiye    時間: 2015-5-4 15:05     標題: 回復 16# jackyxul4 的帖子

其實..... 2MB 是論壇的程式限制，

我也沒有權限上傳超過 2MB（除非透過後端 FTP 上傳）。哈。

所以，我刪掉物理科解答，只留數學科解答了。

剛剛把解答附於首篇了。 ^__^

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作者: g112    時間: 2015-5-4 15:24

想請教第11題

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作者: jackyxul4    時間: 2015-5-4 15:50     標題: 回復 18# g112 的帖子

圖形對稱於x=1，要有奇數個交點則須通過頂點

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作者: g112    時間: 2015-5-4 16:47

引用:

原帖由 jackyxul4 於 2015-5-4 03:50 PM 發表
圖形對稱於x=1，要有奇數個交點則須通過頂點

了解,感謝
此外想問一下
如果我題目改成已知交奇數點,問a值以及交點個數的話
那這樣交點個數是否只能用畫圖求解?

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作者: jackyxul4    時間: 2015-5-4 20:11     標題: 回復 20# g112 的帖子

那樣的話應該會得到一個a的區間，沒有一個定值

by the way,這次檔案不到2MB，應該沒問題了吧

修正錯字

附件: 104鳳山高中詳解.pdf (2015-5-4 21:57, 642.33 KB) / 該附件被下載次數 8743
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作者: smileplus    時間: 2015-5-4 20:53     標題: 回復 21# jackyxul4 的帖子

詳解填充第三題的答案打錯了喔

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作者: farmer    時間: 2015-5-4 23:13

引用:

原帖由 g112 於 2015-5-4 04:47 PM 發表

了解,感謝
此外想問一下
如果我題目改成已知交奇數點,問a值以及交點個數的話
那這樣交點個數是否只能用畫圖求解?

是的，只能畫圖求解，
這樣的話 a= -1 或 -3，
a= -1 的話有一個交點，
a=-3 的話有3個交點。

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作者: farmer    時間: 2015-5-5 21:10     標題: 回復 21# jackyxul4 的帖子

信哥的詳解有許多漂亮的解法，
圖也畫得很漂亮，功德無量。

第12題
(4n+1)(5n+1) 為完全平方數，
且 4n+1 與 5n+1 互質，
因此 4n+1 與 5n+1 皆為完全平方數。
可一一代入嘗試，得到 4n+1=17^2=289 時，
5n+1=361=19^2。
或者設4n+1=a^2 ，5n+1=b^2
則 5*a^2-4*b^2=1，求a，b的正整數解，
此為pell 方程，其中 a,b的最小正整數解為 a=p(=1)，b=q(=1)，
考慮 ((根號5)*p+2*q) 的奇數次方，其係數即對照到 a，b 的通解。
下一組解應對照 ((根號5)+2) ^3，其係數分別為17與19。

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作者: pretext    時間: 2015-5-7 20:49     標題: 計算證明題

請問有老師可以提供計算證明題的證明嗎？
謝謝！

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作者: tsusy    時間: 2015-5-7 21:09     標題: 回復 25# pretext 的帖子

證明2. 注意到 \( xy = \frac{xyz}{z} \), \( yz = \frac{xyz}{x} \), \( zx = \frac{xyz}{y} \)，又 \( x,y,z \) 皆正

因此 \( xy, yz, zx \) 的大小排序與 \( \frac1z, \frac1x,\frac1y \) 相同，而與 \( z,x,y \) 的大小排序恰相反

\( (xy)^2, (yz)^2, (zx)^2 \) 及 \( z,x,y, \) 由排序不等式 (逆序和 \( \leq \) 亂序和)

得 \( x^2y^2z + y^2z^2x +z^2x^2y \leq x^2y^2x + y^2z^2y + z^2x^2z = x^3y^2 + y^3z^2 + z^3x^2 \)

應該有很多種證法，算幾或柯西應該都是可以走的路，我只是單純想玩一下排序而已

再補一個算幾，

\( \frac{4x^{3}y^{2}+2y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}}{7}+\frac{x^{3}y^{2}+4y^{3}z^{2}+2z^{3}x^{2}}{7}+\frac{2x^{3}y^{2}+y^{3}z^{2}+4z^{3}x^{2}}{7}\geq x^{2}y^{2}z+y^{2}z^{3}x+z^{2}x^{2}y \)

其中 \( 4x^3y^2 = x^3y^2 + x^3y^2 + x^3y^2 + x^3y^2 \)，其它項亦同

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作者: martinofncku    時間: 2015-5-9 07:04     標題: 回復 23# farmer 的帖子

如果用畫圖的方式，a=-1"好像"不會跟二次函數相交，可是如何確定呢？

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作者: farmer    時間: 2015-5-9 10:35

引用:

原帖由 martinofncku 於 2015-5-9 07:04 AM 發表
如果用畫圖的方式，a= -1"好像"不會跟二次函數相交，可是如何確定呢？

真的要嚴格確認的話，要將x分段討論，
右式的值恆>=1，且等號只成立在x=1 時，
當 -2<x<4 時，左式的值都<=1，因此在這段範圍內只有一解 x=1。
當x<= -2 或 x>=4 時，拆絕對值之後，可得x無實數解。

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