標題: 104台南二中 [打印本頁]

---

作者: bugmens    時間: 2015-4-25 18:31     標題: 104台南二中

104.4.27感謝thepiano提醒
104第一次教師甄試數學科第十一題送分後成績公告

刊登日期：2015/4/27 下午 12:35:05
項　　目：最新消息
本次教師甄試數學科第十一題, 因無解故送分，如該題原已得分者，不重複加分，更正後分數如附件。
http://www.tnssh.tn.edu.tw/page. ... -A546-9A004C324CE9}


104.5.2版主補充
以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 48分
取11名參加複試，錄取1名
75,69,67,63,60,58,56,55,55,55,55(4名同分增額錄取)

其他
50~54分 8人
40~49分 25人
30~39分 33人
20~29分 22人
10~19分 15人
0~9分   1人
缺考    7人

共計 122 人


104.05.06 weiye 附加上官方公告版的第一題參考解答。官方說明：因多人致電至本校教務處詢問解法，故本校請原命題教師寫出參考答案供各位參考。

附件: 104台南二中.pdf (2015-4-25 18:31, 185.98 KB) / 該附件被下載次數 15616
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2785&k=840f4f7d06f1e1b0444fd36b6d500457&t=1713920407

附件: 104台南二中初試成績(更正).pdf (2015-4-27 13:22, 101.58 KB) / 該附件被下載次數 12561
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2786&k=c9bbda8b94abf99dc298871c43d43c76&t=1713920407

附件: 104台南二中_第一題官方版參考解答.pdf (2015-5-6 23:25, 527.08 KB) / 該附件被下載次數 13710
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2832&k=c6122da689dcad924dbfa4e43a9ca9b5&t=1713920407

---

作者: bugmens    時間: 2015-4-25 18:31

15.
如右圖，四邊形\( ABCD \)內接於一圓，且\( \overline{AB} \)為此圓的直徑，已知\( \overline{BC}=7 \)，\( \overline{CD}=\overline{DA}=3 \)，則直徑\( \overline{AB} \)之長。

\( \overline{AD} \)為半圓的直徑，且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \)，則\( \overline{AD}= \)？
(102松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8765)


17.
設\( \Delta ABC \)的三邊長為\( a,b,c \)，且\( a,b,c \)恰為方程式\( x^3-14x^2+62x-88=0 \)的三根，則\( \Delta ABC \)的面積為。
(103竹北高中，https://math.pro/db/thread-1916-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-4-25 07:13 PM 編輯 ]

---

作者: son249    時間: 2015-4-26 10:19     標題: 請問有解答可參考嗎？

各位先進，可提供答案嗎？

---

作者: leo790124    時間: 2015-4-26 18:18     標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請益填充4、6、7
謝謝

---

作者: Ellipse    時間: 2015-4-26 21:09

引用:

原帖由 leo790124 於 2015-4-26 06:18 PM 發表
請益填充4、6、7
謝謝

填4:
投影出一個橢圓,
在xy平面上,中心O(0,3/2)
a=1/2^0.5 , b=1/2
剩下就自己化簡囉

填7:
法1:算幾不等式
min 發生在 x ,y 一正一負
由算幾不等式得
(x^2+2y^2)/2 ≧ √2|xy|= -√2xy
(x^2+2y^2)≧ -2√2xy---------(1)
又x^2+2y^2=4-2xy---------(2)
由(1)&(2)得
4 - 2xy ≧ -2√2xy
整理得xy ≧ -2(√2+1)

法2:旋轉消去xy項

法3:參數法
法4:判別式 (鋼琴老師提供)
法5: Lagrange Mulipliers
參考http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=12333#p12333

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-27 08:41 PM 編輯 ]

---

作者: jyi    時間: 2015-4-26 22:18

第一題大家認為答案？

---

作者: farmer    時間: 2015-4-26 22:26     標題: 第11題有答案嗎?

第11題 有符合的答案嗎?
感覺沒有答案呢，該不會出錯了?
如果題目右邊改為 6x+97 的話，是會有兩解。
看有沒有人幫忙驗算一下囉。

第1題答案是61，改編自最近網路新聞流行的新加坡中學競賽題。

[ 本帖最後由 farmer 於 2015-4-26 10:38 PM 編輯 ]

---

作者: jackyxul4    時間: 2015-4-26 22:58     標題: 回復 7# farmer 的帖子

我用EXCEL驗算的結果是無解

圖片附件: Q11.png (2015-4-26 22:58, 5.5 KB) / 該附件被下載次數 8528
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2793&k=a32a36fba0ef5a0554df8fd2911a2863&t=1713920407

---

作者: thepiano    時間: 2015-4-26 23:00     標題: 回復 7# farmer 的帖子

第 11 題的確無解
但二中很聰明，不給參考答案......

---

作者: son249    時間: 2015-4-27 00:07     標題: 請幫我檢視答案

我個人有參加此次考試，回來再重算一遍的答案，請各位先進檢視一下。

圖片附件: 20150427_000309.jpg (2015-4-27 01:01, 974.44 KB) / 該附件被下載次數 9419
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2794&k=aadf0cb8509bed915e37463735f7c0ca&t=1713920407

---

作者: son249    時間: 2015-4-27 08:38     標題: 更正

不好意思！第3題更正為（6+2根號3/3，6-2根號3/3），第16題更正為5＜a<等於9

---

作者: thepiano    時間: 2015-4-27 13:15

官方公告第 11 題無解送分

---

作者: gamaisme    時間: 2015-4-28 14:52     標題: 回復 11# son249 的帖子

想請教一下第2題
小弟我算出來是
(pi/4+1/2)-(pi/8+1/2)=pi/8
好像剛好相反
為何會這樣?

---

作者: salbaer    時間: 2015-4-28 15:07     標題: 請問第八題如何解?謝謝

請問第八題如何解

---

作者: pretext    時間: 2015-4-28 17:09     標題: 請教填充第4.6題

填充第四可以猜測到投影是橢圓，所以就是直接找中心跟長短軸去解嗎？

填充第六圖形畫出來覺得旋轉體體積好像有重複，但不知道要怎麼去扣QQ

---

作者: pretext    時間: 2015-4-28 17:12     標題: 回復 14# salbaer 的帖子

第八題經過觀察可以發現有x-a的因式
所以因式分解之後朝著三個整數根的方向前進就可以了！

---

作者: thepiano    時間: 2015-4-28 18:13     標題: 回復 15# pretext 的帖子

填充第 4 題
前一頁有

填充第 6 題
把該區域切成旋轉時不會重疊的二塊再分別轉

---

作者: thepiano    時間: 2015-4-28 18:14     標題: 回復 13# gamaisme 的帖子

圖是分開的二塊，右邊面積是\(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\)，左邊是\(1-\frac{\pi }{8}\)，加起來

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-28 06:29 PM 編輯 ]

---

作者: pretext    時間: 2015-4-28 20:08     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

謝謝老師的回答！
不過是我沒問清楚 sorry
我是想說除了知道答案是橢圓然後找長短軸這個方法以外，有其他的方法嗎？還是這種題目都要先確認投影圖形？

---

作者: Ellipse    時間: 2015-4-28 20:55

引用:

原帖由 pretext 於 2015-4-28 08:08 PM 發表
謝謝老師的回答！
不過是我沒問清楚 sorry
我是想說除了知道答案是橢圓然後找長短軸這個方法以外，有其他的方法嗎？還是這種題目都要先確認投影圖形？ ...

斜圓的(對xy平面正射)投影就是橢圓喔

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-28 09:03 PM 編輯 ]

---

作者: gamaisme    時間: 2015-4-29 08:54     標題: 回復 18# thepiano 的帖子

多謝鋼琴老師
原來左上角還有一個1/2

---

作者: salbaer    時間: 2015-4-29 09:10     標題: 回復 16# pretext 的帖子

已解出...謝謝

---

作者: acc10033    時間: 2015-4-29 20:48

想問計算題第二題
謝謝

---

作者: tsusy    時間: 2015-4-29 21:27     標題: 回復 23# acc10033 的帖子

計算2，這類的方程式常常可以使用差分

利用差分，即令 \( b_{n} = a_{n+1} - a_n \), \( c_n = b_{n+1} - b_n \) for all \( n \in \mathbb N \)

算出 \( a_n \) 的前三項可得 \( a_1 =1, a_2= 3, a_3 =10, b_1 = 2, b_2 = 7, c_1 = 5 \)

原遞迴關係經兩次差分後得 \( c_{n+1} = 2 c_n +2 \) for all \( n \in \mathbb N \)

由 \( c_1 = 1 \) 可解得 \( c_n = 7 \cdot 2^{n-1} -2 \)，

再由 \( b_{n+1} = b_1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n c_n \) 及 \( a_{n+1} = a_1 + \displaystyle \sum_{k=1}^n b_n \)

可解得 \( b_n \), \( a_n \)

---

作者: mandy    時間: 2015-5-9 17:52

請教第16題 :
我的作法  : 判別式>=0 , 得到 a<=9
                    6^(alph)>1 , 6^(beta)>1 ---> [6^(alph)-1][6^(beta)-1 ]>0 ---->得到 a>5
                   所以 5<a<=9

跟#10 提供的答案不同

---

作者: mandy    時間: 2015-5-9 18:24

請教第5題

我的作法 :   期望值E =1*[6/7}+2[6/7]^2+3[6/7]^3+................
                     求出E=42
跟#10答案不同

---

作者: farmer    時間: 2015-5-9 23:09

引用:

原帖由 mandy 於 2015-5-9 06:24 PM 發表
請教第5題

我的作法 :   期望值E =1*[6/7}+2[6/7]^2+3[6/7]^3+................
                     求出E=42
跟#10答案不同

第5題你的答案錯了，
每一項都少乘了1/7，
因為你要乘的機率是"恰好"跑n圈的機率，
結果算成"至少"跑n圈的機率。

第16題的話，你的答案才對。

[ 本帖最後由 farmer 於 2015-5-10 07:30 AM 編輯 ]

---

作者: meifang    時間: 2015-6-4 19:15     標題: 想問填充12

請問填充12題要怎麼做？
另外差分我不是很會，想問計算第二題的詳細過程。
謝謝。

---

作者: tsusy    時間: 2015-6-4 19:47     標題: 回復 28# meifang 的帖子

計算 2. 換一個類似平移的作法

令 \( a_{n}=b_{n}-n^{2} \)，則 \( b_{n+1}=2b_{n}+2n+1 \)

令 \( b_{n}=c_{n}-2n \)，則 \( c_{n+1}=2c_{n}+3\Rightarrow  c_{n+1}+3=2(c_{n}+3) \)

而 \( a_n =b_n - n^2 = c_n -2n - n^2 \Leftrightarrow c_n = a_n + 2n +n^2 \)

\( c_{1}=2\cdot1+1^{2}+a_{1}=4 \)，又 \( c_{n+1}+3=2(c_{n}+3) \)，故 \( \left\langle c_{n}+3\right\rangle \) 為等比數列，其一般式 \( c_{n}+3=2^{n-1}\cdot(4+3) \)，

整理得 \( c_{n}=7\cdot2^{n-1}-3 \)，故 \( a_{n}=7\cdot2^{n-1}-3-2n-n^{2} \)。

---

作者: Ellipse    時間: 2015-6-5 10:40

引用:

原帖由 meifang 於 2015-6-4 07:15 PM 發表
請問填充12題要怎麼做？
另外差分我不是很會，想問計算第二題的詳細過程。
謝謝。

不得要領,解它會很辛苦的
一般大學的解法如下

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2015-6-5 10:44 AM 編輯 ]

圖片附件: 2015-06-05 10.37.17.jpg (2015-6-5 10:40, 751 KB) / 該附件被下載次數 6578
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2921&k=b9815c41cfdb63665c72c518db0bed1a&t=1713920407

---

作者: tenlong1000    時間: 2015-6-6 23:03     標題: 回復 28# meifang 的帖子

參考

附件: 計算2.pdf (2015-6-6 23:04, 114.33 KB) / 該附件被下載次數 6531
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2925&k=d29800e68b65509fbae65c7ff0078fc3&t=1713920407

---

作者: wrty2451    時間: 2016-2-3 21:23     標題: 回復 28# meifang 的帖子

參考一下

附件: 計算二.pdf (2016-2-3 21:24, 107.79 KB) / 該附件被下載次數 6913
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3203&k=e7634916be3dc961c22daaafecb9687b&t=1713920407

---

作者: anyway13    時間: 2016-9-4 12:00     標題: 請問第二題

想請問版上的老師 第二題圖形的面積

是有研究前面幾位老師的算法,可是

自己湊不出來   附件是用繪圖軟體畫出來的圖形

不規則的部分不知道該怎麼處理說? 謝謝

圖片附件: IMAG2168 (1).jpg (2016-9-4 12:00, 1006.78 KB) / 該附件被下載次數 5482
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3623&k=f8f87b07e14a3faeb570c8735233ce83&t=1713920407

---

作者: anyway13    時間: 2016-9-4 12:44     標題: 另請教第四題

空間概念很差  想請問版上老師一下

P(0,2,1)在z=0上的投影點不是(0,2,0)嗎?  長軸和短軸的長度

是在圓上先求半徑在乘上一個固定的常數嗎?   可以求一下計算在 z=0

上長短軸的過程嗎?  謝謝

---

作者: tsusy    時間: 2016-9-4 13:54     標題: 回復 33# anyway13 的帖子

填充2. 圖形很規則
(1) \( \sqrt{1-x^2} = y \) 是半圓
(2) 討論底數 \( 0<x+y<1 \) 及 \( x+y>1 \)
處理不等式即可

---

作者: anyway13    時間: 2016-9-4 14:04     標題: 回復 35# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師的講解!  感謝!

---

作者: thepiano    時間: 2016-9-4 17:04     標題: 回復 34# anyway13 的帖子

填充第 4 題
圓 C 中
與 z = 0 平行之直徑，投影成橢圓的長軸
與上述直徑垂直的直徑，投影成橢圓的短軸

圓心 C(0，3/2，3/2)、P(0，2，1)，P 關於 C 的對稱點 Q(0，1，2)
P 在 z = 0 之投影點為 P'(0，2，0)；Q 在 z = 0 之投影點為 Q'(0，1，0)
長軸長 = PQ 長
短軸長 = P'Q' 長

---

作者: cefepime    時間: 2016-9-4 18:54

填充題 4. 以直線 L : x = 0 ∩ y - z = 0 為軸，將點 P(0, 2, 1) 旋轉一圈得一圓 C，求圓 C 投影到 xy 平面所得的曲線方程式。


想法 1:

把桌面上一直徑 d 之圓盤頂起一銳角 θ，考慮其在桌面之投影橢圓的長, 短軸長 (分別為 2a, 2b)，易知 2a = d, 2b = d*cosθ。

嚴謹點說，長, 短軸分別為諸直徑之最大, 小投影，而投影角範圍為 [0, θ]。

本題 cosθ = 1/√2 (圖解或用法向量)，P 在 L 上的對稱點為 (0, 1, 2) (|斜率| = 1，直接代入即可)，故 C 的圓心 = (0, 3/2, 3/2)，r² = 1/2  

⇒ 橢圓中心 (0, 3/2)，a² = 1/2，b² = 1/4

⇒ 所求: x² + 2(y - 3/2)² = 1/2 即 x² + 2y² - 6y + 4 = 0。


想法 2:

所求即圓 C 上的點之 x, y 坐標滿足之方程式; 而圓 C 可用一平面與一球面之交集表示，消去 z 即為所求。

圓 C 所在的平面: y + z = 3 (點向式)。

圓 C:  y + z = 3 ∩ x² + y² + z² = 5 (= OP²，O 為原點)，代入消去 z 得 x² + y² + (3 - y)² = 5 即 x² + 2y² - 6y + 4 = 0。

本來尚需說明"其逆亦真"，但既知投影為橢圓，故省略。

(在此可逕取 O 為球心，OP 為半徑的球面是由於本題 O 在 L 上; 否則可取 L 上某點 Q 為球心，QP 為半徑之球面)


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-4 08:07 PM 編輯 ]

---

作者: anyway13    時間: 2016-9-4 20:07     標題: 回復 38# cafepime 的帖子

謝謝cafepime 老師 和鋼琴老師熱心地回復,

我會努力消化的

---

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0