Math Pro 數學補給站

標題: 104師大附中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2015-4-22 17:12 標題: 104師大附中

　

附件: 104師大附中.pdf (2015-4-22 17:13, 472.56 KB) / 該附件被下載次數 11899
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2779&k=bf3dafec9dee61940c5da6ec64cec8bf&t=1732278147

作者: tzhau 時間: 2015-4-22 17:30 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

好感人，還附上詳解。

作者: leo790124 時間: 2015-4-22 20:17 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請益第9題那是黎曼和的形式嗎
如何解讀？

謝謝

作者: tsusy 時間: 2015-4-22 21:43 標題: 回復 3# leo790124 的帖子

第9題
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{k^6-k(k-1)^5}{n^6}=\)　　　。
[解答]
對，是黎曼和，但非等差分割

分割的端點為 \(\displaystyle x_k = \frac{k^5}{n^5}, n=0,1,2,\ldots, n \)

取樣點為右端點 \( \xi_k = x_k \)

令 \( f(x) = \sqrt[5]{x} \)，則 \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \times \frac{k^5 - (k-1)^5}{n^5} = \sum_{k=1}^n f(x_k)(x_{k} - x_{k-1}) \)

取極限為 \( \int_0^1 f(x)dx = \frac56 \)

111.6.11補充
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

作者: leo790124 時間: 2015-4-22 22:37 標題: 回復 4# tsusy 的帖子

謝謝老師但不是很懂耶!!!!
有什麼文章可以參考的嗎
怎麼看出f(x)是五次根號x呢??

謝謝

作者: 瓜農自足 時間: 2015-4-22 22:51 標題: 回復 5# leo790124 的帖子

我有看懂~ 幫忙回答一下
會有開五次方主要是因為非均勻分割
而k/n 這一項其實是函數f (x_k) 的值，其中x_k=(k^5)/(n^5)
有錯請指正~!

作者: mandy 時間: 2015-5-4 20:46

請問第5題, 解答上(2) , 為什麼不考慮22<=x<=99 ? 而是考慮 32<=x<=99

作者: tsusy 時間: 2015-5-4 20:58 標題: 回復 7# mandy 的帖子

5(2) \( x^2 =1000 \) 時是首、尾數的分段點

作者: mandy 時間: 2015-5-5 16:53

看不懂第11題的解答,可以說明一下嗎?

作者: mandy 時間: 2015-5-5 17:33

第12題不懂解答寫的? 為什麼是2^5 ?

作者: t3712 時間: 2015-5-6 10:50

這次真的很棒

連計算證明題都公布而且有詳解

作者: czk0622 時間: 2015-5-6 14:07

分享一下第7題的其他解法

[ 本帖最後由 czk0622 於 2015-5-6 02:08 PM 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2015-5-6 14:07, 44.09 KB) / 該附件被下載次數 5433
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2830&k=1f012c4e36757a853db0f4c39c81a349&t=1732278147

作者: grace 時間: 2015-5-12 22:56

請問第11題的解法，看不懂官方詳解的說明...
有請各位高手幫忙說明了，謝謝!!

作者: thepiano 時間: 2015-5-13 00:38 標題: 回復 13# grace 的帖子

第 11 題
先簡化成四張牌 A1、A2、B1、B2 (字母相同者同色)

(1) 四張皆未知
先隨意翻開一張，假設是 A1，接著
(i) 有 1/3 的機率翻到 A2，再來就把 B1 和 B2 翻開，共翻了四張牌，期望值是 4 * (1/3)
(ii) 有 2/3 的機率翻到 B1 或 B2，假設翻到 B1，A1 和 B1 兩張都蓋起來，再來翻開二張未知牌的其中之一 (A2 或 B2)
假設翻到 A2，則依續翻開 A1、B1、B2，共翻了六張牌，期望值是 6 * (2/3)
E1 = 16/3

(2) 有一張已知
假設已知 A1 是哪一張，先從未知的三張隨意翻開一張
(i) 有 1/3 的機率翻到 A2，這樣共翻四張牌，期望值是 4 * (1/3)
(ii) 有 2/3 的機率翻到 B1 或 B2，假設翻到 B1，接著有 1/2 的機率翻到 B2，這樣共翻四張牌，期望值是 4 * (2/3) * (1/2)
(ii) 有 2/3 的機率翻到 B1 或 B2，假設翻到 B1，接著有 1/2 的機率翻到 A2，先蓋回二張牌，此時四張牌的顏色排序均已知，依續翻開，這樣共翻六張牌，期望值是 6 * (2/3) * (1/2)
E2 = 14/3

(3) 有二張已知
不管已知的兩張是同色或異色，總共都是翻四張牌
E3 = 4

接著推廣到六張牌 A1、A2、B1、B2、C1、C2
先翻開一張牌，假設是 A1
(1) 有 1/5 的機率翻到 A2，此時剩四張牌均未知，期望值是 (2 + E1) * (1/5)

(2) 有 4/5 的機率翻到 A2 以外的牌，假設是 B1，蓋回 A1 和 B1 這二張，接著有 2/4 的機率翻到 A2 或 B2，假設翻到 A2，接著翻開 A1，此時已翻了四次牌，剩餘的四張牌中，已知 B1 這張牌，期望值是 (4 + E2) * (4/5) * (2/4)

(3) 有 4/5 的機率翻到 A2 以外的牌，假設是 B1，蓋回 A1 和 B1 這二張，接著有 2/4 的機率翻到 C1 或 C2，假設翻到 C1，
接著有 1/3 的機率翻到 C2，此時已翻了四次牌，剩餘的四張牌中，已知 A1 和 B1 這二張牌，期望值是 (4 + E3) * (4/5) * (2/4) * (1/3)

(4) 有 4/5 的機率翻到 A2 以外的牌，假設是 B1，蓋回 A1 和 B1 這二張，接著有 2/4 的機率翻到 C1 或 C2，假設翻到 C1，
接著有 2/3 的機率翻到 A2 或 B2，假設翻到 A2，蓋回 C1 和 A2 這二張，翻開 A1 和 A2，此時已翻了六次牌，
剩餘的四張牌中，已知 B1 和 C1 這二張牌，期望值是 (6 + E3) * (4/5) * (2/4) * (2/3)

全部加起來是 26/3

話說這種題目在考場有幾個人可以做出來？

[ 本帖最後由 thepiano 於 2015-5-13 12:40 AM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2015-5-13 12:02 標題: 回復 14# thepiano 的帖子

第11題，個人覺得沒有很好算，但所幸只有六張牌，依各張牌第一次被翻出來的順序排，只有 90 種可能，可以暴力

AABBCC*6→6
AABCBC*6→8
AABCCB*6→8
ABABCC*6→8
ABACBC*6→10
ABACCB*6→8
ABBACC*6→8
ABBCAC*6 →10
ABBCCA*6 →8
ABCABC*6 →10
ABCACB*6 →10
ABCBAC*6 →10
ABCBCA*6 →10
ABCCAB*6 →8
ABCCBA*6 →8

*6 表小 ABC 互換，認真列出15種情況，再分別計算，也會得到 \( \frac{ 10\times 6 + 8 \times 8 + 6 }{15} = \frac{26}{3} \)

作者: thepiano 時間: 2015-5-13 12:45 標題: 回復 15# tsusy 的帖子

寸絲兄，您連暴力都是一種美學

作者: chiang 時間: 2015-12-22 13:20 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

不好意思，我看不懂第七題的解答
可以解釋一下嗎?
謝謝

[ 本帖最後由 chiang 於 2015-12-22 01:24 PM 編輯 ]

圖片附件: Q.jpg (2015-12-22 13:24, 90.98 KB) / 該附件被下載次數 6283
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3162&k=1cc1a44ddcbd1a138f878d667c066acc&t=1732278147

作者: thepiano 時間: 2015-12-22 13:54 標題: 回復 17# chiang 的帖子

因為兩人一次只能移動 1 格或 2 格或 3 格

作者: mathca 時間: 2015-12-22 14:07 標題: 回復 17# chiang 的帖子

令f(n)為中間有n格之走法(定義)，某人先動而提前結束之方法數，
n=0，甲先向右動1格==>結束 (可畫畫看，當甲乙間隔數0時)
n=1，甲先向右動1格，乙向左動1格==>結束  (可畫畫看，當甲乙間隔數1時)
   或  甲向右動2格==>結束
n=2，甲先向右動1格，乙向左動1格，甲向右動1格==>結束  (可畫畫看，當甲乙間隔數2時)
         甲先向右動1格，乙向左動2格==>結束
   或  甲先向右動2格，乙向左動1格==>結束
   或  甲先向右動3格==>結束
定義f(n)是n格、"其中一人動完"則結束方法數(不管甲或乙動，可參考上面n=0、1、2)，則
case1  甲第一步走1格，則後面剩下(n-1)格去走，方法數f(n-1).....根據定義....(n-1)個間隔讓其中一人走完
case2  甲第一步走2格，則後面剩下(n-2)格去走，方法數f(n-2).....根據定義....(n-2)個間隔讓其中一人走完
case3  甲第一步走3格，則後面剩下(n-3)格去走，方法數f(n-3).....根據定義....(n-3)個間隔讓其中一人走完
三種情況會兩兩互斥，組合起來，總和等於間隔n時的走法，則可列式f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)
可參考：99清水高中第10題(#10瑋岳老師解法)，
https://math.pro/db/viewthread.p ... B%E6%B8%85%E6%B0%B4
以上是參考99解法+個人理解+#17算式，若有不妥還請指教。

[ 本帖最後由 mathca 於 2015-12-22 02:13 PM 編輯 ]

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0