標題:
等腰三角與共線
[打印本頁]
作者:
bch0722b
時間:
2015-4-15 17:53
標題:
等腰三角與共線
ㄥFAB=ㄥFBA=ㄥEAC=ㄥECA=a,
ㄥXEF=XFE=b, ㄥTBC=ㄥTCB=a+b
證明: A, X, T 共線
這題想很久了...希望各位老師幫我忙，感激不盡!!!
作者:
bch0722b
時間:
2015-4-22 18:10
有老師知道什麼是幾何轉換中的:位似、旋似嗎?
作者:
cefepime
時間:
2015-4-24 17:57
雖然想不出樓主所期待的純幾何解法，姑且提出冗長的拙見以拋磚引玉，若有錯誤敬請指正。
明顯地，若 X 與 A 重合，命題成立。以下只考慮 X 與 A 相異的情形。
構想: 把圖形放在極坐標(複數坐標)上。以 A 為原點，表出 X 與 T 的(複數)值。若能證明: T/X 是實數，則
A, X, T 共線 (充要條件)。
先複習複數乘除法: Z
2
= Z
1
*(|Z
2
|/|Z
1
|)*(cosθ + i sinθ)，θ 是輻角差。理解為: Z
1
經過伸縮 |Z
2
|/|Z
1
|，再旋轉 θ，到達 Z
2
的位置。
現在把
圖形放在複數坐標上，圖形各點各自代表一複數(以"="表示)。不失一般性，令 A=0，B=2，C=2Z。
再令 Z
a
=
cos a + i sin a，
Z
b
=
cos b + i sin b，1/
Z
a
=
cos a - i sin a
，
Z
a
*
Z
b
=
cos(a+b) + i sin(a+b)
。
則
T = 2 + (Z-1)*sec(a+b)*Z
a
*Z
b
(先平移原點至 B，由 BC 中點出發，得到 T 的位置，再移回原點至 A; 以下其它點的取值法類似。)
F = (sec a) /
Z
a
(順時針)
E = Z*(
sec a)*
Z
a
X = (sec a) / Z
a
+ (1/2)*[ Z*Z
a
- 1/Z
a
]*(sec a)*(sec b)*Z
b
以下想證明
T/X 是實數。由於 Z 的任意性，猜想這個實數就是 Z 的係數比值: sec(a+b) / [(1/2)*(sec a)*(sec b)]。
基於這個觀察，為了簡化計算，分別自 T 與 X 中提出實數 sec(a+b) 與 (1/2)*(sec a)*(sec b):
T' = 2cos(a+b) + (Z-1)*Z
a
*Z
b
X' = 2(cos b) / Z
a
+ (Z*Z
a
- 1/Z
a
)*Z
b
以下只要證明 T' = X' 就大功告成了。
由於 T' 與 X' 含有"Z"的項係數相等，所以只要比較不含"Z"的部分。
[註: Z
a
= cos a + i sin a，
Z
b
=
cos b + i sin b，1/
Z
a
=
cos a - i sin a，
Z
a
*
Z
b
=
cos(a+b) + i sin(a+b)]
實部 (T' 不含 Z 項) = cos(a+b) = (cos a)*(cos b) - (sin a)*(sin b) = 實部 (X' 不含 Z 項)
虛部 (T' 不含 Z 項) = -(sin a)*(cos b) - (cos a)*(sin b) = 虛
部 (X' 不含 Z 項)
證畢。
作者:
bch0722b
時間:
2015-4-24 20:44
冗長的拙見真是太神拉!!!
謝謝cefepime老師!!
作者:
bch0722b
時間:
2015-4-30 21:18
純幾做法:
做點G與點H使:角GAB=角GBA=角HAC=角HCA=A+B，易知AGTH為平行四邊形。
在GA、HA上分別做I、J，使角IFA=角IAF=角IAE=角IEA=B，同理AIJX為平行四邊形。
且因AI:AJ=AB:AC=AG:AH，因此AGTH、AIJX為位似圖形，且位似中心為A
因此AXT三點共線。
作者:
cefepime
時間:
2015-4-30 23:29
謝謝樓主提供這個精彩的(也超越我背景知識的)解法!
提供個關於"三點共線的常用證明方法"連結與樓主分享。
http://baike.baidu.com/view/1042024.htm
(可再加上: 線段長 AB + BC = AC，笛沙格定理，與上述的複數坐標三法)
[
本帖最後由 cefepime 於 2015-5-1 12:41 AM 編輯
]
歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)
論壇程式使用 Discuz! 6.1.0
