Math Pro 數學補給站

標題: 104台中女中 [打印本頁]

作者: wrty2451 時間: 2015-4-12 15:25 標題: 104台中女中

今年的台中的學校效率之高~!
但女中未公布計算題

104.4.14感謝thepiano提醒
1.本校104學年度教師甄試初試數學科試卷填充題第六題，經數學科甄選委員會再次研議後，判定該題之假設不成立，應予統一送分。
2.教務處召集數學科閱卷老師針對該題重新閱卷後，更新之成績單如附件。
3.試題疑義與更新後的成績複查至本日(4/14)上午11:00截止。
4.本日(4/14)中午召開教評會議定複試名單。
5.人事室將依據教評會的決議立即公告複試名單。
6.造成不便，敬請見諒。

以下資料提供以後的考生參考：

初試最低錄取成績39分，共18名
50,49,45,45,45,44,43,41,40,40,40,40,40,40,40,40,40,39

其他
30~38分 42人
20~29分 93人
10~19分 73人
0~9分 27人
缺考 0人

共計253人

附件: 104台中女中.pdf (2015-4-12 15:25, 56.24 KB) / 該附件被下載次數 15313
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2738&k=0f7a0038b5017139f18fe096210c2e8b&t=1732257394

附件: 104台中女中初試成績(更正).pdf (2015-4-14 16:09, 78.6 KB) / 該附件被下載次數 14145
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2744&k=1c40b7a06d38fd83df73bee4d6228c67&t=1732257394

作者: jackyxul4 時間: 2015-4-12 16:41 標題: 回復 1# wrty2451 的帖子

想請問第12題....的題目
lim那邊好模糊，偏偏我考試這題直接先跳過，沒印象

作者: bugmens 時間: 2015-4-12 17:31

2.
在\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\( D \)為\( \overline{AC} \)的中點，且\( \overline{BD}=\sqrt{3} \)，若\( \overline{AB}=k \)時，\( \Delta ABC \)的面積有最大值\( M \)。
[提示]
在\( \Delta ABD \)中，計算\( cosA \)。
\( \Delta ABC=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times{\overline{AC}}\times sinA \)

在△ABC中，\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，D為\( \overline{AC} \)的中點，且\( \overline{BD}=\sqrt{3} \)。試問當∠BAC為何值時，△ABC的面積有最大值？此面積最大值為何？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

8.
試求\( (x-3-2sin y)^2+(x^2-2cos y)^2 \)的最小值。
[提示]
\( (x,x^2) \)是拋物線\( y=x^2 \)上一點
\( (3+2siny,2cosy) \)是圓\( (x-3)^2+y^2=4 \)上一點
求兩點距離最小值的平方

設\( x,y \)為實數，則\( (x-2cosy)^2+(3x^2+9-2siny)^2 \)的最小值為？
(94全國高中數學能力競賽　新竹區，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)

9.
設\( \displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2} \)，\( f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x} \)，則\( f(x) \)最大值為。

若\( \displaystyle \frac{3}{4}\le x \le 2 \)且\( f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{4x-3} \)，則當\( x= \)？時\( f(x) \)有最大值為多少？
(100全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1163&page=1#pid3807)

12.
設數列\( a_n=\root 3 \of {n^2+2n+1}+\root 3 \of {n^2-1}+\root 3 \of {n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle S_{n+1}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{2n+1}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\root 3 \of {n^2}}\left( \frac{1}{S_{n+1}}+\frac{1}{S_{n+2}}+\frac{1}{S_{n+3}}+\ldots+\frac{1}{S_{2n}} \right) \)。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

設對所有的正整數\( n \)，\( a_n=\root 3 \of{n^2+2n+1}+\root 3\of {n^2-1}+\root 3\of {n^2-2n+1} \)，\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_5}+\ldots+\frac{1}{a_{997}}+\frac{1}{a_{999}}= \)
(95基隆市國中聯招)

15.
設多項式\( f(x)=x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \)，其中\( a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \)是集合\( \{\; 1,2,3,4,\ldots,10 \}\; \)中的七個相異元素，若\( x^3+x^2+x+1 \)是多項式\( f(x) \)的因式，試問有　　　個滿足條件的多項式\( f(x) \)。

試求有多少個相異的多項式\( f(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 \)同時滿足下列2個條件：
(1)\( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \)為集合\( \{\; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)中七個相異元素。
(2)\( f(x) \)可被\( x^3+x^2+x+1 \)整除。
(101家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1376&page=2#pid5843)

16.
試求\( \displaystyle sin^2(2015)+sin^2(2015+\frac{\pi}{2014})+sin^2(2015+\frac{2\pi}{2014})+\ldots+sin^2(2015+\frac{2013\pi}{2014}) \)之值為

設\( \displaystyle S=\sum_{k=0}^{90}sin^2 k^{\circ}=sin^2 0^{\circ}+sin^2 1^{\circ}+\ldots+sin^2 90^{\circ} \)，試求\( S \)之值。
(93高中數學能力競賽)

計算2.
一雙曲線，若直線L斜率為根號3/5和右支交於PQ2點且直線通過焦點，又PQ=8且OP和OQ垂直，求雙曲線方程式?

雙曲線的中心點在原點，兩個焦點皆在x軸上，有一條斜率為\( \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線通過右焦點並且交雙曲線於P,Q兩點，已知\( \overline{OP} \)垂直於\( \overline{OQ} \)且\( \overline{PQ}=4 \)，求雙曲線方程式。
(101家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1376&page=2#pid5862)

作者: weiye 時間: 2015-4-12 18:33

圖片附件: 填充第12題.jpg (2015-4-12 18:33, 329.9 KB) / 該附件被下載次數 11560
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2740&k=a30ff07d8ad282692a613dd4baa4c94b&t=1732257394

附件: 填充第12題.doc (2015-4-12 18:33, 48 KB) / 該附件被下載次數 13309
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2741&k=b077f44736d8fe6312e6928d8e5be00d&t=1732257394

作者: thepiano 時間: 2015-4-12 18:39 標題: 回復 4# weiye 的帖子

題目應該如站長大所示

作者: johncai 時間: 2015-4-12 18:42

有人有記計算題可以分享一下嗎？
謝謝

作者: natureling 時間: 2015-4-12 19:25

1. 已知一個二次函數通過3點(pi,m)(pi+1,n),(pi+2,L)，若對f(x)積分x從0到1值為Am+Bn+CL，試問(A,B,C)
2.一雙曲線，若直線L斜率為根號3/5和右支交於PQ2點且直線通過焦點，又PQ=8且OP和OQ垂直，求雙曲線方程式??
只記得大略是這樣...不知有沒有記錯!!!

引用:

原帖由 johncai 於2015-4-12 06:42 PM 發表
有人有記計算題可以分享一下嗎？
謝謝

作者: poemghost 時間: 2015-4-12 20:32

我記得第一題是從0積到2

好像是「Al+Bn+Cm」......應該是吧

引用:

原帖由 natureling 於 2015-4-12 07:25 PM 發表
1. 已知一個二次函數通過3點(pi,m)(pi+1,n),(pi+2,L)，若對f(x)積分x從0到1值為Am+Bn+CL，試問(A,B,C)
2.一雙曲線，若直線L斜率為根號3/5和右支交於PQ2點且直線通過焦點，又PQ=8且OP和OQ垂直，求雙曲線方程式??
只記得大略是 ...

作者: jackyxul4 時間: 2015-4-13 01:38 標題: 回復 2# jackyxul4 的帖子

填充題詳解

附件: 104台中女中詳解.pdf (2015-4-13 01:38, 572.96 KB) / 該附件被下載次數 17084
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2745&k=5f2ac9f149f81e0c22948b4babdfd859&t=1732257394

作者: 瓜農自足 時間: 2015-4-13 11:50 標題: 回復 9# jackyxul4 的帖子

幫忙更正一下第十題，用反演是沒錯的
但要注意本身\(z*(x+yi)=20\)這訊息告訴我們要再對\(x\)軸對稱應該才正確
個人想法，有錯還請指教

作者: jackyxul4 時間: 2015-4-13 12:23 標題: 回復 10# 瓜農自足的帖子

的確沒錯...因為我考試的時候知道答案是直線就代兩點求答案了，沒寫那麼詳細也就沒發現這個小錯誤XD

附件: 104台中女中詳解1.pdf (2015-4-13 12:23, 593.26 KB) / 該附件被下載次數 8832
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2746&k=fa83763a4880cb25347ed3af2724cd69&t=1732257394

作者: thepiano 時間: 2015-4-13 12:24

第11題另解
設\((x,y)\)為圓\((x-2)^2+(y-1)^2=5\)上一動點，且\((x,y)\)非原點，則所有複數點\(\displaystyle z=\frac{20}{x+yi}\)的軌跡方程式為　　　。

令
\(\begin{align}
& z=a+bi \\
& x+yi=\frac{20}{a+bi}=\frac{20\left( a-bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\
& x=\frac{20a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},y=-\frac{20b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\
& {{\left( \frac{20a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( -\frac{20b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-1 \right)}^{2}}=5 \\
& {{\left[ 20a-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ 20b+\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]}^{2}}=5{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}} \\
& 400{{a}^{2}}-80a\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+400{{b}^{2}}+40b\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \\
& 10{{a}^{2}}-2a\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+10{{b}^{2}}+b\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0 \\
& \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( -2a+b+10 \right)=0 \\
& 2a-b-10=0 \\
\end{align}\)
所求為\(2x-y-10=0\)

作者: weiye 時間: 2015-4-13 12:31

填充第７題另解（沒有比較快）
已知\(c\)為一實數，使方程式\(4x^3-24x^2+(47+c)x-(33+3c)=0\)恰好有一實根，求\(c\)值的範圍為　　　。

圖片附件: ex7.jpg (2015-4-13 12:36, 64.14 KB) / 該附件被下載次數 7516
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2747&k=4fb7865522393a11cf782659ba6a66e6&t=1732257394

作者: 瓜農自足 時間: 2015-4-13 15:49

#11 對吼...這招不錯喔
#12.#13樓的代數底子只能推了 !

作者: linteacher 時間: 2015-4-13 17:25 標題: 第6題題目有誤

第六題的\(g(x)\)不可能是2015次多項式，
滿足條件\(f(x+y)=f(x)+g(y)\)的\(f\)與\(g\)都是一次多項式，
題目應該不用給\(g(x)\)就可以做了。

不過這個錯誤也不影響結果就是了。

作者: leo790124 時間: 2015-4-14 11:15 標題: 回復 9# jackyxul4 的帖子

想請教第四題該如何解釋其想法呢??
謝謝

作者: cshuang 時間: 2015-4-14 11:23

第七題題目的方程式有\(cx\)和\(-3c\)
所以\(x\)代3試試看,就會發現題目設計的\(f(3)=0\)
提出\((x-3)\)後可以用二階的判別式求\(c\)的範圍

作者: jackyxul4 時間: 2015-4-14 11:59 標題: 回復 16# leo790124 的帖子

期望值的概念就是平均數
設想過一關的期望值是原來的\(a\)倍，那就好比現在在玩另一個100%都會變成\(a\)倍的遊戲
要過三關當然把\(a\)三次方就好了

作者: weiye 時間: 2015-4-14 12:15 標題: 回復 17# cshuang 的帖子

好快！超棒的想法！＠＠

作者: thepiano 時間: 2015-4-14 12:26 標題: 回復 15# linteacher 的帖子

填充第6題送分了

作者: weiye 時間: 2015-4-14 12:44

填充第2題另解：
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(D\)為\(\overline{AC}\)的中點，且\(\overline{BD}=\sqrt{3}\)，若\(\overline{AB}=k\)時，\(\Delta ABC\)的面積有最大值\(M\)，則數對\((k,M)=\)　　　。

圖片附件: ex2.jpg (2015-4-14 12:44, 57.53 KB) / 該附件被下載次數 7793
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2749&k=3f510cabc9ff816060a3d71983193585&t=1732257394

作者: t3712 時間: 2015-4-16 11:55

幫忙補充：填充六，後來送分。

SORRY，LAG了...囧

作者: hotking39 時間: 2015-4-16 16:51

請教一下填充13題，他條件沒說\(z>0\)，所以我去求出\(Z\)的範圍是\(-4\)到8
算出來體積是24
想請問這樣我少考慮到什麼嗎?

19是以\(z>0\)下去想的，但題目並沒有說\(Z\)不能是負的

作者: thepiano 時間: 2015-4-16 17:52 標題: 回復 23# hotking39 的帖子

應是 \(-2\le z<\frac{9}{2}\)，答案應該是24
不會吧，台中女中已經改過一次成績了……
一題 5 分，一來一往可能差 10 分

作者: farmer 時間: 2015-4-17 00:55 標題: 回復 23# hotking39 的帖子

ㄏㄏ，這次中女中搞笑了，
複試都報完名了，看來只能呼嚨過去。

作者: tsusy 時間: 2015-4-17 18:44 標題: 回復 25# farmer 的帖子

這也不算第一次發生~

請看傳送門 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5454
以及 36、37 樓

作者: Callmeluluz 時間: 2015-4-17 20:37 標題: 回復 17# cshuang 的帖子

請問何謂二階的判別式
能幫小弟指點迷津嗎感謝!!

作者: thepiano 時間: 2015-4-17 20:48 標題: 回復 27# Callmeluluz 的帖子

\(4x^3 - 24x^2 + (47 + c)x - (33 + 3c) = 0\)
\((x - 3)(4x^2 - 12x + c + 11) = 0\)

實根是 3，故\(4x^2 - 12x + c + 11 = 0\)無實根

作者: Callmeluluz 時間: 2015-4-17 21:02 標題: 回復 28# thepiano 的帖子

對不起我想太複雜了哈哈哈哈哈

作者: 小姑姑 時間: 2015-4-17 21:05 標題: 回復 28# thepiano 的帖子

很棒又簡單的解法，佩服，我想了好久，還想用微分做。

作者: thepiano 時間: 2015-4-17 21:18 標題: 回復 30# 小姑姑的帖子

那是 cshuang 老師的妙解，小弟也深感佩服，居然有如此的好眼力

作者: Chen 時間: 2015-4-28 09:04 標題: 104中女中填充第13題

這題，我想題目有誤或答案有誤！

原題目並無限制z的範圍，所以答案應為 48 * ( 1/2 ) = 24

若題目加上 z > 0 或 z ≧ 0, 那麼答案才會是 38 * ( 1/2 ) = 19

作者: thepiano 時間: 2015-4-28 09:42 標題: 回復 1# Chen 的帖子

這個之前討論過了，且該校早已公布錄取名單......
https://math.pro/db/thread-2208-3-1.html

另外，引述一下版主的名言，相同主題請合併討論

作者: qaz 時間: 2015-5-9 00:16

請問
第三題得詳解後面寫到
PQ^2=18√2+18

那為什麼會PQ=3√(2√2-2)而非3√(2√2+2) (雖然知道3√(2√2+2)太長不太可能)
請各位大大指點一下，謝謝

作者: thepiano 時間: 2015-5-9 06:47 標題: 回復 34# qaz 的帖子

信哥誤把餘弦定理的"-"打成"+"

作者: qaz 時間: 2015-5-9 11:53

原來如此
向量PE和向量EQ夾角是135度(所以是負的)
而也可以用餘弦來看
謝謝piano老師

作者: jackyxul4 時間: 2015-5-10 10:04 標題: 回復 35# thepiano 的帖子

這就是寫詳解跟考試的差別
寫詳解的時候常常都知道怎麼做，
反正也知道答案是什麼了，
就把答案擺上去，中間算式就沒有仔細去算了XD

附件: 104台中女中詳解.pdf (2015-5-10 10:04, 595.24 KB) / 該附件被下載次數 8139
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2838&k=ba036ebd08b7ca00431df30686b42737&t=1732257394

作者: farmer 時間: 2015-5-10 17:08 標題: 回復 37# jackyxul4 的帖子

考試的時候最怕粗心計算錯誤，
寫了80分的題目，結果因為每一題都草率地算，
就算計算量大，算到有點亂了也不甘心，硬著頭皮算下去，
結果一路錯，最後只拿一半，3、40分，
這樣不如好好地執行選題策略，把有把握的題目細心算好，
計算量大的題目先跳過，有時間再回頭好好地算，
如果能拿個5、60分，大概都是非常高的分數了。

這些都是老師會提醒學生的考試策略，
但實際上自己親身上陣的時候，
一不小心不甘心的情緒上身，
就陷在茫茫的計算大海之中了。

作者: maddux0706 時間: 2015-5-20 20:39

請問填充3
如果假設P(x,4-x)，Q(0,y)，其中4≧x≧2，3≧y≧0，
然後使用兩點間的距離公式計算PQ有機會算出來嗎？

作者: thepiano 時間: 2015-5-20 22:13 標題: 回復 39# maddux0706 的帖子

3.
四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{2}\)，\(\overline{BC}=4\)，\(\overline{CD}=3\)，\(∠B=45^{\circ}\)，\(∠C=90^{\circ}\)，點\(P\)在\(\overline{AB}\)上，點\(Q\)在\(\overline{CD}\)上，若\(\overline{PQ}\)平分四邊形\(ABCD\)的面積，則\(\overline{PQ}\)的最小值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
& ABCD=7 \\
& PQCB=\Delta CQP+\Delta CBP=\frac{1}{2}xy+\left( 8-2x \right)=\frac{7}{2} \\
& xy=4x-9 \\
& y-4=-\frac{9}{x} \\
& {{\overline{PQ}}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( 4-x-y \right)}^{2}} \\
& ={{x}^{2}}+{{\left[ x+\left( y-4 \right) \right]}^{2}} \\
& ={{x}^{2}}+{{\left( x-\frac{9}{x} \right)}^{2}} \\
& =2{{x}^{2}}+\frac{81}{{{x}^{2}}}-18 \\
& \ge 2\sqrt{2\times 81}-18 \\
& =18\sqrt{2}-18 \\
\end{align}\)
等號成立於\(x=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}\)
此時\(\overline{PQ}=3\sqrt{2\sqrt{2}-2}\)

作者: kyrandia 時間: 2015-8-19 15:15

引用:

原帖由 jackyxul4 於 2015-4-13 01:38 AM 發表
填充題詳解

大大你好.....填充14的解法為何不用說明三點共線必定發生(A-P-H).....難道是顯而易見....

作者: jackyxul4 時間: 2015-9-4 11:46 標題: 回復 41# kyrandia 的帖子

的確顯而易見，而且更顯而易見的是我有個符號打錯了.....

應該是大於或等於我打成小於或等於了

重新將這一題寫更詳細一點，連同動點的圖形也做出來

附件: 104台中女中詳解1.pdf (2015-9-4 11:46, 651.22 KB) / 該附件被下載次數 9208
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3072&k=485149ef59ef8ad04023513e207e9945&t=1732257394

作者: kyrandia 時間: 2015-9-4 17:40

引用:

原帖由 jackyxul4 於 2015-9-4 11:46 AM 發表
的確顯而易見，而且更顯而易見的是我有個符號打錯了.....

應該是大於或等於我打成小於或等於了

重新將這一題寫更詳細一點，連同動點的圖形也做出來 ...

大大你好.....你的意思我知道
我的疑惑是如何確定雙曲線和AA'有交點(除非有劃出精準雙曲線圖形,並發現A落在雙曲線內部裡,這部分可以用解點座標解決)
也就是您所說的"P點落在過 A 點與 L 垂直的線上。"如何明顯得知....這是我的疑惑...
還是謝謝你您的解說......感恩.....

作者: jackyxul4 時間: 2015-9-4 18:05 標題: 回復 43# kyrandia 的帖子

因為推導最小值會利用到"兩邊之和大於第三邊"的性質，所以才會說是"顯然"在共線的時候有極值

如果沒有交點，那題目應該會沒辦法求最小值。

作者: kyrandia 時間: 2015-9-4 19:09

引用:

原帖由 jackyxul4 於 2015-9-4 06:05 PM 發表
因為推導最小值會利用到"兩邊之和大於第三邊"的性質，所以才會說是"顯然"在共線的時候有極值

如果沒有交點，那題目應該會沒辦法求最小值。

大大你好....如果沒有交點的話我認為最小值還是存在.....(不知道好不好求而已.....)
我做了一個模擬....把A點移到雙曲線外面,此時AA'跟雙曲線沒有交點
當點在雙曲線上移動依序為P-Q-R 時, 所求的長度會遞減再遞增....由連續性變化可知最小值必定存在......
謝謝.....

圖片附件: 圖檔.png (2015-9-4 19:09, 276.49 KB) / 該附件被下載次數 5951
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3073&k=39301c9b1761c425c44a1ccb01c3fe4c&t=1732257394

作者: liusolong 時間: 2016-1-27 23:48

9.
設\(\displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2}\)，\(f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x}\)，則\(f(x)\)最大值為　　　。

想請問一下各位老師:
第九題，我用微分來做，所以\(f(x)\)有\(\displaystyle max= f(\frac{193}{66})=\sqrt{\frac{39}{22}}+2*\sqrt{\frac{104}{33}}\)，
這是我很自然會寫出的答案，
看到標準答案我可以化簡過去，但我無法一開始就"很直接"的轉換過去所給的答案: \(\displaystyle \sqrt{\frac{143}{6}}\)，
要如何看才會變得很自然呢? 謝謝

Ans 直接化簡而已，蠻直接的。
Sorry! 我不知如何刪文，所以變成自問自答。

作者: 羊羊 時間: 2016-4-23 00:48 標題: 回復 10# 瓜農自足的帖子

想請問為什麼要再對x軸對稱？
為什麼 x+yi 乘過去變成 x-yi ？

作者: cefepime 時間: 2017-3-9 02:59

(在拜讀 bugmens 老師的筆記 "三角形的面積" 時連結至此，對填充題 2 有些想法)

填充題 2 在 △ABC 中，AB = AC，D 為 AC 的中點，且 BD = √3。若 AB = k 時，△ABC 的面積有最大值 M，則數對 (k , M) = ?

解: 直接考慮由三條中線 (長度分別為 √3，√3，x) 所圍成的三角形面積最大值，其發生於兩條長度為 √3 之中線彼此垂直時，其值 = 3/2。

可從變動∠A 知此情形存在 [ 該兩中線夾角範圍: (0, π) ]，故 M = (4/3)*(3/2) = 2

這時第三條中線長 x = √3*√2 = √6，故 BC = 4/√6，則 k = √ [6+(2/3)] = (2√15)/3

或由 BC = (2/3)*√3*√2，再用中線定理求 k。

心得一: 若等腰三角形之腰上的中線長為定值 m，則當兩腰上的中線彼此垂直時，三角形有面積最大值 2m² /3

心得二: 本題題目的設定，易誘使解題者將三角形面積 M 表示為 k 的函數 ("直接處理所求")。嘗試跳脫這種直覺，或可另闢蹊徑。

作者: Superconan 時間: 2020-12-29 00:00

想請問計算這兩題
我是參考前面老師的分享，重新打字成檔案，不確定原本題目是不是這樣。

第一題
我算出\( (A , B , C) = ( \pi^2 - \pi + 1/3 , -3 \pi^2 + \pi + 1 , 2 \pi^2 - 4 \pi + 14/3 )\)
算法很暴力，也不知道答案正不正確，不知道老師們有沒有漂亮一點的方法。

第二題
這題不會，有看到前面有老師分享，但還是想先問一下在這條件底下的答案。

附件: 104台中女中計算證明題(記憶版).pdf (2020-12-29 00:00, 159.58 KB) / 該附件被下載次數 4687
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5710&k=5349284f8dc3ac861eb2331aebdd7132&t=1732257394

作者: nanpolend 時間: 2020-12-29 03:23 標題: 回復 49# Superconan 的帖子

計算一
令\(f(x)=ax^2+bx+c,a\)不為0
左邊積分值
右邊帶入三點
左右比較係數
\(\Delta\)為范德蒙（Vandermonde）行列式
用\(\Delta,xyz\)求\(A,B,C\)

作者: Lopez 時間: 2020-12-29 05:47 標題: 回復 49# Superconan 的帖子

作者: thepiano 時間: 2020-12-29 07:50 標題: 回復 49# Superconan 的帖子

計算第二題
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1264
上面的檔案是用 PQ = 4 做的
若 PQ = 8，答案是 x^2 / 4 - y^2 / 12 = 1

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0