標題: f(0)=1，f(m+n+1)=f(m)+f(n) [打印本頁]

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作者: tsyr    時間: 2015-4-4 22:59     標題: f(0)=1，f(m+n+1)=f(m)+f(n)

設f 是一個從實數到實數的函數，並滿足以下條件：
f(x)是連續的，f(0)=1，且對於所有實數m、n，f(m+n+1)=f(m)+f(n)。
證明 對於所有實數x，f(x)=1+x

同學問的問題~
同學的進展

(一)
(1) f(1)=f(0+0+1)=2f(0)=2=1+1 成立
(2)令x=k 時成立，f(k)=k+1
(3)當x=k+1 時
    f(k+1)=f(0+k+1)=f(0)+f(k)=k+1+1=(k+1)+1 成立
(4) 則f(x)=1+x 對所有正整數成立
(二)
(1)f(0)=f(-1+0+1)=f(-1)+f(0)
    則f(-1)=0
    f(-1)=f(-2+0+1)=f(-2)+f(0)
    則f(-2)=-1=-2+1 成立
(2)令x=-k 時成立，f(-k)=-k+1
(3)當x=-k-1時
    f(-k-1)=f(-2+k+1)=f(-2)+f(k)=-1-k+1=(-k-1)+1 成立
(4)則f(x)=1+x 對所有負整數成立

我的推廣:
擴充到所有有理數都成立了
不過要證明任意實數的話，可能要扯到和稠密性有關(我沒研究，不清楚，需要另請高明)
用上面的歸納法易證明，若實數a不滿足f(a)=a+1，則對於任意整數n，f(a+n)=a+n+1不成立
於是只要考慮x在(0,1)的區間即可
現在假設(0,1)內有一個有理數k不滿足f(k)=k+1，不妨設k=q/p，其中p和q為正整數且互質
則代入f(k+k+1)=2f(k)不等於2k+2，即2k+1不成立
同理得3k+2,4k+3,......nk+(n-1)都不成立(數學歸納易證)
此時若取n=p，則pk+(p-1)=q+p-1不成立，得出任意整數皆不成立，矛盾
於是由反證法得出，對於任意有理數x均須滿足f(x)=x+1
至於配合連續性和任意相鄰有理數之間有一有理數......之類的東西(可能有用)
我不是很清楚要怎麼完整證明，但很直覺的認為會成立~

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