標題: 請教正8面體的內切圓半徑 [打印本頁]

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作者: arend    時間: 2015-3-4 17:29     標題: 請教正8面體的內切圓半徑

如題:
設稜長為a,如
如何求出r=a/sqrt(6)
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2015-3-4 21:19     標題: 回復 1# arend 的帖子

參考林信安老師的圖，在第 8 頁的例題 2，其中內切球的半徑是 OG，而 G 是正△ADE 的重心
http://www.google.com.tw/url?sa= ... amp;bvm=bv.87519884,d.dGY

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作者: arend    時間: 2015-3-5 21:01     標題: 回復 2# thepiano 的帖子

謝謝 鋼琴師
為何 G 是正△ADE 的重心?
謝謝

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作者: thepiano    時間: 2015-3-5 22:38     標題: 回復 3# arend 的帖子

從正六面體(正方體)與其內切球來看是"重心"，正八面體應該也是
不然就定 O(0，0，0)，D(1，-1，0)，E(1，1，0)，A(0，0，√2) 去找切點

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作者: tsusy    時間: 2015-3-5 23:04     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

既然動了坐標，何不使用點到平面距離公式呢？

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作者: thepiano    時間: 2015-3-5 23:17     標題: 回復 5# tsusy 的帖子

那到後面就會用到了

寸絲兄，有不用坐標的說法嗎？

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作者: tsusy    時間: 2015-3-6 18:59     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

從對稱性的觀點來看，球心只能在正八面體的中心點，切點只能在八個正三角形面的中心(重心)

或者先接受球心只能在正八面體的中心點，令其為 O。 \( \triangle ABC \) 為正八面體的一面，M 為 \( \overline{BC} \) 中點，P 為球和 \( \triangle ABC \) 的切點。

則有 \( \overline{OP}\perp ABC \) 和 \( \overline{OM} \perp \overline{BC} \)，由三垂線定理有 \( \overline{PM}\perp\overline{BC} \)，故 \( \overleftrightarrow{PM} \) 為 \( \overline{BC} \) 中垂線(亦為中線)，同理可得 \( P \) 在三中線上。

半徑的計算則可由直角 \( \triangle AOM \) 的面積 \( \frac12 \overline{AO}\times\overline{OM} = \frac12 \overline{AM} \times \overline{OP} \)，其中 \( \overline{OP} \) 為內切球半徑。

各長度以正八面體之邊長表示則得 \( \frac12 \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a}{2} = \frac12 \frac{\sqrt{3}a}{2} \cdot r \) \( \Rightarrow r = \frac{a}{\sqrt{6}} \)

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作者: arend    時間: 2015-3-8 02:48     標題: 回復 7# tsusy 的帖子

謝謝tsusy老師的解釋

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