標題: 2002AMC澳洲數學能力檢定中級卷 [打印本頁]

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作者: 本次因數述    時間: 2015-2-3 22:51     標題: 2002AMC澳洲數學能力檢定中級卷

1， P是一個2002位數，可被18整除，若Q是P的數碼和,R是Q的數碼和，S是R的數碼和，請問S之值為何？？

答案是9，但不清楚由來，該如何判定S值是否唯一呢?

2，1+11+111+1111+………………+1111……111111
（加到第2002位數）
結果中，數碼1出現了幾次？？

這題沒什麼頭緒…………

請教各位高手了

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作者: tsusy    時間: 2015-2-3 23:23     標題: 回復 1# 本次因數述 的帖子

1. Q = P 的數碼和 \( \leq 2002 \times 9 = 18018 \)
同理估計 R, S，可得 \( R < 37, S < 18 \)
又正整數 S 為 9 的倍數，故 S = 9

2. 令其和為 A，則 \( 9A = ={\displaystyle \sum_{n=1}^{2002}}(10^{n}-1)=\frac{10^{2003}-10}{9}-2002 \)

因此 \( \begin{aligned}A=\frac{10^{2003}-46}{81}-222 & =\underbrace{123456790123456790\ldots123456790}_{222\text{個}1234567890}1234-222\\
& =\underbrace{123456790123456790\ldots123456790}_{222\text{個}1234567890}1012
\end{aligned} \)

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